高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

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1、高中数学讲义1思维的发掘 能力的飞跃知识内容1基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中n1m有 种方法，在第 类办法中有 种不同的方法那么完成这件事共有2mm种不同的方法又称加法原理1nN乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 个子步骤，做第一个步骤有 种不同的方法，做第二个n1步骤有 种不同方法，做第 个步骤有 种不同的方法那么完成这件事共有2种不同的方法又称乘法原理1nNm加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联

2、系的，即各个步骤都必须完成， 这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、 组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用2 排列与组合排列：一般地，从 个不同的元素中任取 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个n()mn n不同元素中取出 个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素）m排列数：从 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出() n个元素的排列数，用符号 表示Amn排列数公式： ， ，并且 (1)21mn nNm全排列：一般地

3、， 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列的阶乘：正整数由 到 的连乘积，叫作 的阶乘，用 表示规定： n !0!1组合：一般地，从 个不同元素中，任意取出 个元素并成一组，叫做从 个元素中任取() n个元素的一个组合m组合数：从 个不同元素中，任意取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中，nm()n任意取出 个元素的组合数，用符号 表示C组合数公式： ， ，并且 (1)21!C!()mn ,mnNn排列组合问题的常见模型 1高中数学讲义2 思维的发掘 能力的飞跃组合数的两个性质：性质 1： ；性质 2： （规定 ）Cmn11Cmmnn0C1n排列组合综合问题解排

4、列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分 类明确，层次清楚，不重不漏3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相 邻的元素“ 捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素” 内部排列5插空法：某些元素不相邻的

5、排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法： 个相同元素，分成 组，每组至少一个的分组问题把 个元素排成一排，从n()mn n个空中选 个空，各插一个隔板，有 111mnC7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之 别一般地平均分成 堆n（组），必须除以 ！，如果有 堆（组）元素个数相等，必须除以 ！m8错位法：编号为 1 至 的 个小球放入编号为 1 到 的 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小n球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特 别当 ，3，4，5 时的错位数各为2n1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为

6、 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此 类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考 虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答2具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分 类，分类后要验证是否不重不漏

7、；对于抽出部分元素进行排列的 问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处 理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题 ，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的 问题，需要构造模型典例分析排队问题【例 1】 三个女生和五个男生排成一排高中数学讲义3思维的发掘 能力的飞跃 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例 2】 个人站成一排：6其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？其中甲、乙两人

8、不相邻有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例 3】 7 名同学排队照相 若分成两排照，前排 3 人，后排 4 人，有多少种不同的排法？ 若排成两排照，前排 3 人，后排 4 人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ 若排成一排照，7 人中有 4 名男生，3 名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？高中数学讲义4 思维的发掘 能力的飞跃【例 4】 个队员排成一排，6共有多少种不同的排法？若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？若甲不能站排

9、头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例 5】 五个字母排成一排，若 的位置关系必须按 A 在前、B 居中、C 在后的原则，ABCDEABC共有_种排法（用数字作答） 【例 6】 用 1 到 8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 与 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有_ _个（用数字作答） 【例 7】 记者要为 名志愿者和他们帮助的 位老人拍照，要求排成一排， 位老人相邻但不排在522两端，不同的排法共有（ ）A 种 B 种 C 种 D 种14096070480【例 8】 名同学合影，站成前排 人后排 人，现摄影师要从后排 人中抽 人调

10、整到前排，若124882其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A B C D283C268CA286A85CA【例 9】 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两高中数学讲义5思维的发掘 能力的飞跃端，不同的排法共有（ ）A1440 种 B960 种 C720 种 D480 种【例 10】 在数字 与符号 五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列123， ， ，个数是（ ）A B C D61824【例 11】 计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩、4 幅油画、5 幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起

11、，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_种【例 12】 6 人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_种不同的排法（用数字作答）【例 13】 一条长椅上有 7 个座位，4 人坐，要求 3 个空位中，有 2 个空位相邻，另一个空位与 2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例 14】 位男生和 位女生共 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 位女生中有且只有36 3两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A B C D602821696高中数学讲义6 思维的发掘 能力的飞跃【例 15】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金 ”将五种不同属

12、性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示） 【例 16】 在 的任一排列 中，使相邻两数都互质的排1234567， ， ， ， ， ， 1234567， ， ， ， ， ，aa列方式共有（ ）种A B C D88612【例 17】 从集合 与 中各任取 2 个元素排成一排（字PQRS， ， ， 0123456789， ， ， ， ， ， ， ， ，母和数字均不能重复） 每排中字母 和数字 至多只能出现一个的不同排法种数是Q0_ （用数字作答）【例 18】 从集合 与 中各任取 个元素排成一排OPQRS， ， ， ， 0123456789，

13、， ， ， ， ， ， ， ， 2（字母和数字均不能重复） 每排中字母 和数字 至多只能出现一个的不同排法种OQ， 0数是_ （用数字作答）高中数学讲义7思维的发掘 能力的飞跃【例 19】 个人坐在一排 个座位上，问610 空位不相邻的坐法有多少种? 个空位只有 个相邻的坐法有多少种?43 个空位至多有 个相邻的坐法有多少种?2【例 20】 位男生和 位女生共 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 位女生中有且只有36 3两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A B C D602821696【例 21】 12 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到

14、前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）A B C D283C268A286A285CA【例 22】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 本，共 本将它们任意18地排成一排，左边 本恰好都属于同一部小说的概率是 _4高中数学讲义8 思维的发掘 能力的飞跃【例 23】 年 月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧为了支2071援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤某铁路货运站对列电煤货运列车进行编组调度，决定将这 列列车编成两组，每组 列，且甲与乙两列6 63列车不在同一小组如果甲所在小组 列列车先开出，那么这 列列车先后不同

15、的发车顺36序共有（ ）A 种 B 种 C 种 D 种31082142数字问题【例 24】 给定数字 、 、 、 、 、 ，每个数字最多用一次，012359可能组成多少个四位数？可能组成多少个四位奇数？可能组成多少个四位偶数？可能组成多少个自然数？【例 25】 用 0 到 9 这 10 个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例 26】 在 1，3，5，7，9 中任取 3 个数字，在 0，2，4，6，8 中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数【例 27】 用 排成一个数字不重复的五位数 ，满足12345， ， ， ， 12345aa， ， ， ，的五位数有多少个？45aaa， ， ，高中数学讲义9思维的发掘 能力的飞跃【例 28】 用 这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝0129， ， ， ，对值是 ，则这样的四位数共有多少个？【例 29】 用数字 组成没有重复数字的