《高中数学关于求圆锥曲线方程的方法复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学关于求圆锥曲线方程的方法复习（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、关于求圆锥曲线方程的方法高考要求 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤 定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2+ny2=1(m0,n0)
2、定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 典型题例示范讲解 例 1 某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一 部分，绕其中轴( 即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A 是双曲线的顶点，C、 C是冷却塔上口直径的两 个端点，B、B 是下底直径的两个端点，已知 AA=14 m，CC=18 m,BB=22 m,塔高 20 m 建立坐标系并写 出该双曲线方程 命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方 程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积 错解分析 建
3、立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程 解 如图，建立直角坐标系 xOy,使 AA在 x 轴上，AA 的中点为坐标原点 O， CC与 BB平行于 x 轴 设双曲线方程为 =1(a0,b0),则2yxa= AA=721又设 B(11,y1),C(9,x2)因为点 B、C 在双曲线上，所以有179,72bb由题意，知 y2y 1=20,由以上三式得 y 1=12,y 2=8,b=7故双曲线方程为 =1 9842x例 2 过点(1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上 且离心率为 的椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线 y= x 过21线段AB 的中点，同时
4、椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对 称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程 20 m 2 m 14 m 18 m C A B B C A CABBCA oy x1y=12xBAoy x命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题 错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键 技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将 A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线 AB 斜率的等式 解法二，用韦达定理 来源:高
5、&考%资(源#网 wxc解法一 由 e= ,得 ,从而 a2=2b2,c=b 2ac12ab设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x 12x 22)+2(y12y 22)=0, .)(211yxxy设 AB 中点为(x 0,y0),则 kAB= ,又(x 0,y0)在直线 y= x 上，y 0= x0,于是 =1,k AB=1,设 l 的方程为 y=x+1 02y右焦点(b,0) 关于 l 的对称点设为 (x,y), bbxy1 12解 得则由点(1,1b) 在椭圆上，得 1+2(1
6、b) 2=2b2,b2= 89,16a所求椭圆 C 的方程为 =1,l 的方程为 y=x+1 2968yx解法二 由 e= ,从而 a2=2b2,c=b ,22abac得设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x1),将 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k 2)x24k 2x+2k22b 2=0,则 x1+x2= ,y1+y2=k(x11)4k+k(x2 1)=k(x1+x2)2k= 21直线 l y= x 过 AB 的中点( ),则 ,解得 k=0，或2,11yx221kk= 1 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就
7、是 F 点本身，不能在椭圆 C上，所以 k=0 舍去，从而 k=1，直线 l 的方程为 y=( x1), 即 y=x+1,以下同解法一 例 3 如图，已知P 1OP2 的面积为 ，P 为线47段 P1P2 的一个三等分点，求以直线 OP1、OP 2 为渐近线且过点 P 的离 心率为 的双3曲线方程 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程 以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力 知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公 式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程 错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出P 1OP2 的面积是学生感到困难的 技巧与方法 利用
8、点 P 在曲线上和P 1OP2 的面积 建立关于参数 a、b 的两个方程，从而求出 a、b 的值 解 以 O 为原点，P 1OP2 的角平分线为 x 轴建立 如图的直角坐标系 来源:K.Com设双曲线方程为 =1(a0,b0)2yx由 e2= ，得 22)13()1bac3两渐近线 OP1、OP 2 方程分别为 y= x 和 y= x2设 点 P1(x1, x1),P2(x2, x2)(x1 0,x2 0),则 由 点 P 分 所 成 的 比 = =2,得 P 点坐3 11标为( ),又点 P 在双曲线 =1 上，所以 =1,32211294ay21219)(9)(axax即(x 1+2x2)
9、2(x 12x 2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2 ,4271342sin|211329ta2sin 234|,349| 12111 xOPPSxOxOPP又即 x1x2= 9由、得 a2=4,b2=9故双曲线方程为 =1 94yx例 4 双曲线 =1(bN)的两个焦点 F1、F 2，P 为双曲线上一点，2yxPP1P2o PP1P2oyx|OP|5,|PF 1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则 b2=_ 解析 设 F1( c,0） 、F 2(c,0)、P (x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(5 2+c2),即|PF 1|2+|PF2|2
10、50+2 c2,又|PF 1|2+|PF2|2=(|PF1| PF2|)2+2|PF1|PF2|,依双曲线定义，有|PF 1| PF2|=4,依已知条件有|PF 1|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c 250+2c 2,c 2 ,37又c 2=4+b2 ,b 2 , b2=1 5答案 1学生巩固练习 1 已知直线 x+2y3=0 与圆 x2+y2+x6y+m =0 相交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若OPOQ ，则 m 等于( )A 3 B 3 C 1 D 12 中心在原点，焦点在坐标为(0，5 )的椭圆被直线 3xy2=0 截得的弦的中点的2横坐标为 ，则椭圆方程为( )1 12
11、57 D. 1752C. B. A. 22 yxyx3 直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P，若过点 P 且以双曲线 12x24y 2=3 的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_ 4 已知圆过点 P(4，2)、Q (1，3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 ，则该圆3的方程为_ 5 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个焦点为 F，M 是椭圆上的任意点，| MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2，椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和M2，且 |M1M2|= ，试求椭圆的方程 3046 某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱高 4 米，在
12、建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长 7 已知圆 C1 的方程为(x 2)2+(y1) 2= ,椭圆 C2 的30方程为 2byax=1(ab0)， C2 的离心率为 ，如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点，且线段 AB 恰为圆 C12的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程 参考答案:1 解析 将直线方程变为 x=32y,代入圆的方程 x2+y2+x6y+m =0,BFEDCA得(32y) 2+y2+(32y )+m=0 整理得 5y220y +12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x 2,y2)则 y1y2= ,y1+y2=4 又P、Q 在直线 x=32y
13、 上，x 1x2=(32y 1)(32y 2)=4y1y26(y 1+y2)+9故 y1y2+x1x2=5y1y26(y 1+y2)+9=m3=0，故 m=3 答案 A2 解析 由题意，可设椭圆方程为 =1,且 a2=50+b2,2bxay即方程为 =1 250bxy将直线 3xy2=0 代入，整理成关于 x 的二次方程 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75 答案 C3 解析 所求椭圆的焦点为 F1(1,0), F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2| 欲使 2a 最小，只需在直线 l 上找一点 P 使|PF 1|+|PF2|最小，利用对称性可解 答案 =145yx4 解析
14、设所求圆的方程为(xa) 2+(yb) 2=r2则有 2222)3(|1rb27451302rar或由此可写所求圆的方程 答案 x 2+y2 2x12=0 或 x2+y210x8y+4=05 解 |MF| max=a+c,|MF|min=ac,则( a+c)(ac)=a 2c 2=b2,b 2=4,设椭圆方程为 142设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=x +m 将代入得 (4+a 2)x22a 2mx+a2m24a 2=0 设 M1(x1,y1)、M 2(x2,y2),M1M2 的中点为( x0,y0),则 x0= (x1+x2)= ,y0=x 0+m= 42代入 y=x,得 ,22a由
15、于 a24,m=0,由知 x1+x2=0,x1x2= ,24aFEDCBFEDCAoy x又|M 1M2|= ,3104)(2121xx代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为 =1 452yx6 解 以拱顶为原点，水平线为 x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM |=4，A 、 B 坐标分别为(10，4） 、(10 ， 4）设抛物线方程为 x2=2py ,将 A 点坐标代入，得 100=2p(4), 解得 p=12 5,于是抛物线方程为 x2=25y 由题意知 E 点坐标为(2，4)，E点横坐标也为 2，将 2 代入得 y=0 16,从而| EE|=( 0
