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1、拉氏变换作用:将微分方程转换为代数方程,使求解大大简化,拉氏变换是分析机电控制系统的基本数学方法之一。在此基础上,进一步得到系统的传递函数。,2 拉氏变换与反变换,2.1 拉氏变换定义,对于函数x(t)满足, (1)t=0时,x(t) 在每个有限区间上分段连续。,为原函数; 为象函数。,式中,s是复变数;,(2) 其中 是正实数,即x(t)为指数级的;则x(t)的拉氏变换存在,其表达式记作:,1 单位阶跃函数,2 指数函数,2.1.1简单函数的拉氏变换,根据欧拉公式,余弦函数,3 正弦函数,2.1.1 简单函数的拉氏变换,2.1.1 简单函数的拉氏变换,4 幂函数,2.1.1 简单函数的拉氏变
2、换,由洛必达法则:,所以:,2.1.1 简单函数的拉氏变换,5 单位脉冲函数,6 单位速度函数(斜坡函数),2.1.1 简单函数的拉氏变换,7 单位加速度函数,2.1.1 简单函数的拉氏变换,1 叠加定理(线性定理),若,则,2.2 拉氏变换的性质,例:,2 微分定理,推论:,(1),二阶导数的拉氏变换,(2)在零初始条件下,2.2 拉氏变换的性质,3 积分定理,式中,2.2 拉氏变换的性质,推论:,(1),(2)在零初始条件下,4 衰减定理,2.2 拉氏变换的性质,例:已知,求:,5 延时定理,2.2 拉氏变换的性质,例:求如下图的拉氏变换。,2.2 拉氏变换的性质,7 终值定理,注意:运用
3、终值定理的前提 是存在。,6 初值定理,2.2 拉氏变换的性质,8 时间比例尺改变的象函数(相似定理),例:求 的拉氏变换。,2.2 拉氏变换的性质,9 的象函数,10 的拉氏变换,2.2 拉氏变换的性质,12 卷积分的象函数,的卷积分的数学表示为:,11 周期函数的象函数,2.2 拉氏变换的性质,拉氏变换的应用,1、试求,4、试求图所示x(t)的拉氏变换。,拉氏变换的应用,拉氏变换的应用,简写为:,2.3 拉氏反变换,定义:,部分分式法求时间函数x(t):,将一个复杂的象函数X(s)分解成若干个简单的有理分式函数之和,然后由拉氏变换表一一查出对应的原函数,各原函数之和即为所求的x(t)。,2
4、.3 拉氏反变换,解:,部分分式法求时间函数x(t),一般机电系统,通常遇到如下形式的有理分式:,得零点:,得极点:,2.3 拉氏反变换,部分分式法求时间函数x(t),2.3 拉氏反变换,用部分分式法将上式分解为若干个简单分式之和,并分三种情况讨论。,1.只含不同单极点的情况,2.3 拉氏反变换,2.3 拉氏反变换,解:,2.3 拉氏反变换,2. 含有共扼复数极点时,令上式两边实部与虚部分别相等,即可求得a1和a2,a3至an单极点的算法一样。,2.3 拉氏反变换,2.3 拉氏反变换,可通过配方,化成如下正弦、余弦象函数的形式,然后求其拉氏反变换。,解:,令两边实部与虚部分别相等,得:,2.3 拉氏反变换,则:,2.3 拉氏反变换,3.含有多重极点时,2.3 拉氏反变换,设p1为r个重根,pr+1 、 、pn为单根,则可将X(s)展成:,根据拉氏反变换,2.3 拉氏反变换,解:,2.3 拉氏反变换,2.3 拉氏反变换,解:,方程两边取拉氏变换:,2.4 用拉氏变换解常系数线性微分方程,2.4 用拉氏变换解常系数线性微分方程,求解步骤,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程;,解代数方程,得到有关变量的拉氏变换表达式 ;,应用拉氏反变换,得到微分方程的时域解。,2.4 用拉氏变换解常系数线性微分方程,