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1、拉氏变换作用：将微分方程转换为代数方程，使求解大大简化，拉氏变换是分析机电控制系统的基本数学方法之一。在此基础上，进一步得到系统的传递函数。,2 拉氏变换与反变换,2.1 拉氏变换定义,对于函数x(t)满足， （1）t=0时，x(t) 在每个有限区间上分段连续。,为原函数； 为象函数。,式中，s是复变数；,（2） 其中 是正实数，即x(t)为指数级的；则x(t)的拉氏变换存在，其表达式记作:,1 单位阶跃函数,2 指数函数,2.1.1简单函数的拉氏变换,根据欧拉公式,余弦函数,3 正弦函数,2.1.1 简单函数的拉氏变换,2.1.1 简单函数的拉氏变换,4 幂函数,2.1.1 简单函数的拉氏变
2、换,由洛必达法则：,所以：,2.1.1 简单函数的拉氏变换,5 单位脉冲函数,6 单位速度函数（斜坡函数）,2.1.1 简单函数的拉氏变换,7 单位加速度函数,2.1.1 简单函数的拉氏变换,1 叠加定理（线性定理）,若,则,2.2 拉氏变换的性质,例：,2 微分定理,推论：,（1）,二阶导数的拉氏变换,（2）在零初始条件下,2.2 拉氏变换的性质,3 积分定理,式中,2.2 拉氏变换的性质,推论：,（1）,（2）在零初始条件下,4 衰减定理,2.2 拉氏变换的性质,例：已知,求：,5 延时定理,2.2 拉氏变换的性质,例：求如下图的拉氏变换。,2.2 拉氏变换的性质,7 终值定理,注意:运用
3、终值定理的前提 是存在。,6 初值定理,2.2 拉氏变换的性质,8 时间比例尺改变的象函数（相似定理）,例：求 的拉氏变换。,2.2 拉氏变换的性质,9 的象函数,10 的拉氏变换,2.2 拉氏变换的性质,12 卷积分的象函数,的卷积分的数学表示为：,11 周期函数的象函数,2.2 拉氏变换的性质,拉氏变换的应用,1、试求,4、试求图所示x（t）的拉氏变换。,拉氏变换的应用,拉氏变换的应用,简写为：,2.3 拉氏反变换,定义：,部分分式法求时间函数x（t）：,将一个复杂的象函数X(s)分解成若干个简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的原函数，各原函数之和即为所求的x(t)。,2
4、.3 拉氏反变换,解：,部分分式法求时间函数x（t）,一般机电系统，通常遇到如下形式的有理分式：,得零点：,得极点：,2.3 拉氏反变换,部分分式法求时间函数x（t）,2.3 拉氏反变换,用部分分式法将上式分解为若干个简单分式之和，并分三种情况讨论。,1.只含不同单极点的情况,2.3 拉氏反变换,2.3 拉氏反变换,解：,2.3 拉氏反变换,2. 含有共扼复数极点时,令上式两边实部与虚部分别相等，即可求得a1和a2,a3至an单极点的算法一样。,2.3 拉氏反变换,2.3 拉氏反变换,可通过配方，化成如下正弦、余弦象函数的形式，然后求其拉氏反变换。,解：,令两边实部与虚部分别相等，得：,2.3 拉氏反变换,则：,2.3 拉氏反变换,3.含有多重极点时,2.3 拉氏反变换,设p1为r个重根，pr+1 、 、pn为单根，则可将X(s)展成：,根据拉氏反变换,2.3 拉氏反变换,解：,2.3 拉氏反变换,2.3 拉氏反变换,解：,方程两边取拉氏变换：,2.4 用拉氏变换解常系数线性微分方程,2.4 用拉氏变换解常系数线性微分方程,求解步骤,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式 ；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,2.4 用拉氏变换解常系数线性微分方程,
