《2020高考数学 最后突破抢分：第6讲 离散型随机变量及其分布列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学 最后突破抢分：第6讲 离散型随机变量及其分布列（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、读万卷书 行万里路 1 第 6 讲 离散型随机变量及其分布列 一、知识梳理 1随机变量的有关概念 (1)随机变量：将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对 应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X，Y来表示 (2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型 随机变量 2离散型随机变量的分布列及其性质 (1)概念： 设离散型随机变量X的取值为a1，a2， ， 随机变量X取ai的概率为pi(i1， 2，)，记作：P(Xai)pi(i1，2，)，或把上式列成表： 读万卷书 行万里路 2 Xai a1 a2 P(Xai) p1 p2 称为离散
2、型随机变量X的分布列，并记为X a1 a2 p1 p2 . (2)离散型随机变量的分布列的性质 pi0(i1，2，)； p1p21 3超几何分布 一般地，设有N件产品，其中M(MN)件次品，从中任取n(nN)件产品，用X表示 取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk) CkMCnk NM CnN (其中k为非负整数) 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布 常用结论 1随机变量的线性关系 若X是随机变量，YaXb，a，b是常数，则Y也是随机变量 2分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值 读万卷书 行万里路 3 (2)随机变
3、量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的 概率 二、教材衍化 1设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 1 12 1 6 1 3 1 6 p 则p_ 解析：由分布列的性质知， 1 12 1 6 1 3 1 6p1， 所以p1 3 4 1 4. 答案： 1 4 2有一批产品共 12 件，其中次品 3 件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出 的次品数X的所有可能取值是_ 解析：因为次品共有 3 件，所以在取到合格品之前取到次品数为 0，1，2，3. 答案：0，1，2，3 读万卷书 行万里路 4 3设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 3 m
4、 1 4 1 6 则P(|X3|1)_ 解析：由 1 3m 1 4 1 61，解得 m 1 4， P(|X3|1)P(X2)P(X4) 1 4 1 6 5 12. 答案： 5 12 一、思考辨析 判断正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的( ) 读万卷书 行万里路 5 (4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之 和( ) (5)从4名男演员和3名女演员中选出4人， 其中女演员的人
5、数X服从超几何分布 ( ) (6)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布( ) X 2 5 P 0.3 0.7 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 二、易错纠偏 常见误区|(1)随机变量的概念不清； (2)超几何分布类型掌握不准； (3)分布列的性质不清致误 1袋中有 3 个白球、5 个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A至少取到 1 个白球 B至多取到 1 个白球 C取到白球的个数 D取到的球的个数 解析：选 C.A，B 两项表述的都是随机事件，D 项是确定的值 2，并不随机；C 项是随 读万卷书 行万里路 6 机变量，可能取值为 0，1，2.故选 C.
6、2一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完 后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)_ 解析：X4表示从盒中取了 2 个旧球，1 个新球，故P(X4) C23C19 C312 27 220. 答案： 27 220 3设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量X去描述 1 次试验的成功次数， 则P(X0)_ 解析：由已知得X的所有可能取值为 0，1，且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X 0)1，得P(X0) 1 3. 答案： 1 3 离散型随机变量的分布列的性质(典例迁移) 设离散型随机变量X的分布列为 读万卷书 行万
7、里路 7 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X1 的分布列； (2)P(1X4) 【解】 由分布列的性质知： 020.10.10.3m1， 解得m0.3. (1)2X1 的分布列： 2X1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)P(1X4)P(X2)P(X3)P(X4)0.10.30.30.7. 【迁移探究】 (变问法)在本例条件下，求|X1|的分布列 解：|X1|的分布列： 读万卷书 行万里路 8 |X1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用分布列中各概率之
8、和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值 均为非负值 (2)若X为随机变量，则 2X1 仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变 量的值，再根据对应的概率写出分布列 1设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X 1 0 1 P 1 3 23q q2 则q的值为( ) A1 B 3 2 33 6 C. 3 2 33 6 D 3 2 33 6 读万卷书 行万里路 9 解析：选 C.由分布列的性质知 23q0， q20， 1 323qq 21， 解得q 3 2 33 6 . 2离散型随机变量X的概率分布规律为P(Xn) a n（n1）(n1，2，3，4)，其中 a是常数，则P(
9、 1 2X 5 2)的值为_ 解析：由 1 12 1 23 1 34 1 45 a1，知 4 5a1，得 a 5 4. 故P 1 2X 5 2 P(X1)P(X2) 1 2 5 4 1 6 5 4 5 6. 答案： 5 6 读万卷书 行万里路 10 超几何分布(典例迁移) 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方 法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理 暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有 6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随
10、机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列 【解】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M， 则P(M) C48 C510 5 18. (2)由题意知X可取的值为 0，1，2，3，4，则 P(X0) C56 C510 1 42， P(X1) C46C14 C510 5 21， P(X2) C36C24 C510 10 21， P(X3) C26C34 C510 5 21， 读万卷书 行万里路 11 P(X4) C16C44 C51
11、0 1 42. 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 【迁移探究 1】 (变问法)若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布 列 解：由题意可知X的取值为 1，2，3，4，5，则 P(X1) C16C44 C510 1 42， P(X2) C26C34 C510 5 21， P(X3) C36C24 C510 10 21， P(X4) C46C14 C510 5 21， P(X5) C56 C510 1 42. 因此X的分布列为 读万卷书 行万里路 12 X 1 2 3 4 5 P 1 42 5 21 10 21 5 21
12、1 42 【迁移探究 2】 (变问法)若用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人 数之差，求X的分布列 解：由题意可知X的取值为 3，1，1，3，5， 则P(X3) C44C16 C510 1 42，P(X1) C34C26 C510 5 21， P(X1) C24C36 C510 10 21，P(X3) C14C46 C510 5 21， P(X5) C56 C510 1 42. 因此X的分布列为 X 3 1 1 3 5 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数 读万卷书 行万里路 13 (2)超
13、几何分布的特征是：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若 干个个体，考查某类个体个数X的概率分布 (3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 (2020郑州模拟)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高 考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共 200 名司机，他们进行“爱心 送考”的次数统计如图所示 (1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数； (2)从这 200 名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X， 求X的分布列 解：(1)由统计图得 200 名司机中送考 1 次的有 20 人，送考 2 次
14、的有 100 人，送考 3 次 的 有 80 人 ， 所 以 该 出 租 车 公 司 的 司 机 进 行 “ 爱 心 送 考 ” 的 人 均 次 数 为 2011002803 200 2.3. (2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考 1 次，另一人送考 2 次”为事件A， “这两人中一人送考 2 次，另一人送考 3 次”为事件B， “这两人中一人送考 1 次，另一人送考 3 次”为事件C， “这两人送考次数相同”为事 读万卷书 行万里路 14 件D， 由题意知X的所有可能取值为 0，1，2， P(X1)P(A)P(B) C120C1100 C2200 C1100C180 C2200
15、100 199， P(X2)P(C) C120C180 C2200 16 199， P(X0)P(D) C220C2100C280 C2200 83 199， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 83 199 100 199 16 199 求离散型随机变量的分布列(师生共研) (2020安阳模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市 读万卷书 行万里路 15 场调查：先销售该产品 50 天，统计发现每天的销售量x分布在50，100)内，且销售量x 的分布频率 f(x) n 100.5，10nx10（n1），n为偶数， n 20a，10nx10（n1），n为奇数. (1)求a的值并估计销售量的平均数； (2)若销售量大于或等于 70，则称该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层抽样的方 法随机抽取 8 天，再从这 8 天中随机抽取 3 天进行统计，设这 3 天来自X个组，求随机变 量X的分布列及数学期望(将频率视为概率) 【解】 (
