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1、双曲线及其标准方程,1、我们知道,2. 引入问题：,椭圆,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a,如图(B)，,|MF2|-|MF1|=2a,上面 两条曲线合起来叫做双曲线,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,F, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距.,（2a |F1F2|）,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.,双曲线定义,思考：,（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？,（2）若2a |F1F2|,则轨迹是？,| |MF1| - |MF2| | = 2a,(1)两
2、条射线,(2)不表示任何轨迹,生活中的双曲线,生活中的双曲线,x,o,设P（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a,F1,F2,P,以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点为原点建立直角 坐标系,1. 建系.,2.设点,3.列式,|PF1 - PF2|= 2a,4.化简.,如何求双曲线的标准方程？,移项两边平方后整理得：,两边再平方后整理得：,由双曲线定义知：,设,代入上式整理得：,焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么,想一想,双曲线的标准方程:,焦点在x轴上,焦点在y轴上,问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,F ( c, 0),F
3、(0, c),x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。,焦点在x轴上,焦点在y轴上,练习：写出以下双曲线的焦点坐标（请注意焦点的位置）,F(5,0),F(0,5),例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双 曲线的标准方程.,2a = 6,c=5,a = 3, c = 5,b2 = 52-32 =16,所以所求双曲线的标准方程为：,根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：,解:,点P的轨迹为双曲线,课堂练习,1.写出适合下列条件的
4、双曲线的标准方程 1) a=4 ，b=3 ， 焦点在x轴上. 2）a= ，c=4 ，焦点在坐标轴上.,解：双曲线的标准方程为,使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合,解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.,例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.,如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则,即 2a=680，a=340,因此炮弹爆炸点的轨迹
5、方程为,例2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程,解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B，根据两圆外切的条件，,|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2根 据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2 的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：,例3、如果方程 表示双曲线，求m的范围,解（m-1)(2-m)2或m1,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),小结,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系：,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,作业 ： 一、 习题 2. 2A组 3、(1)(2),由方程定焦点：椭 圆看大小 双曲线看符号,
