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1、第六章 自回归滑动平均模型,主要内容:,第一节 滑动平均模型,第二节 自回归滑动平均模型,第三节 模型的识别和检验,第一节 滑动平均模型,一、一般滑动平均模型MA(q),滑动平均模型的一般形式MA(q)其中心化形式为:,式中:q,1,q,2,q,q各阶权重又称权重系数是待求的参数,t白噪声系列,在水文上仍假定为P-分布,均值为零,其参数仅有两个即标准差与偏态系数,没有Cv,二、参数估计,式中:样本序列的和r1,r2,rq(各阶自相关系数)均可由样本计算出。,由一般形式经推导可得到如下方程组:,三、 的计算,一般形式经变形可得:,其中:x1,x2,xn为已知中心化径流系列q,1,q,2,q,q,
2、已由上面解出,则,三、 的计算(2),利用这样计算得到t系列,系列1,2,n按照矩法估计:,四、一阶滑动平均模型,以中心化变量表示的MA(1)模型形式如下:,可由上述方法计算得到,五、二阶滑动平均模型,以中心化变量表示的MA(2)模型形式如下:,其 中,当r20时取+,当r20时取-,六、例:,同前,江西塞塘站有15年(1964-1978年)年径流资料,试建立MA(1)模型,并生成10年符合P型分布年径流系列。,例,计算步骤,1MA(1)模型的一般形式,2计算样本统计参数同前,例,计算步骤,3用公式计算参数,例,计算步骤,4由实测样本经中心化后分别计算t值,例,计算步骤,5计算Cs,6模型的确
3、定,例,计算步骤,7由模型模拟10项新系列,(1)先生成01均匀分布伪随机数10个作为P值,(2)由上述计算Cs查P离均系数 值表,得到相应的值,(3)代入上面公式可生成xt+1,同理生成xt+2,xt+10,计算结束,第二节 自回归滑动平均模型,一、一般自回归滑动平均模型,一般自回归滑动平均模型ARMA(p,q),若以中心化变量xt来表示,则:,当 时,即q=0时为自回归模型AR(p),当 时,即p=0时为自回归模型MA(q),二、ARMA(1,1)模型的参数估计方法,经推算可得到如下方程:,方程中,二、ARMA(1,1)模型的参数估计方法,则前式可由上述三个用实测样本估计的值算出1,1,1
4、,1,2,可采用图解法或迭代法求解1,1,2,三、Cs的计算,将一般形式变形为:,仿照MA(q)的计算t系列的方法,由实测的系列x1,x2,xn(中心化后的)及上面已计算出的1,1,1,1,利用上式计算出1,2,n系列,再利用Cs的矩法公式:,计算Cs,第三节 模型的识别和检验,对给定的水文序列,应选什么样的模型,是AR(p),MA(q)还是ARMA(p,q)?若选出一种模型,例如AR(p)模型,又如何确定阶数P。这样的问题在时间序列分析中叫做模型类型的选择及其形式的确定,可以统称为模型的识别。 通过识别确定模型,在由实测系列估计出模型中的参数,我们就初步得到了表征其随机变化的模型。对这种模型
5、,尚需作进一步检验,以验证是否符合模型的一些基本假定。,一、模型初步认别的原理和方法,在模型初步认别中,主要的依据是样本序列的自相关函数和偏相关函数。主要特点归纳如下:,(1) AR(p)序列,自相关函数k,随滞时k的增大逐步变小,自相关图呈拖尾状。它的偏相关函数k,k呈截尾状,单调或波动衰减趋向于零。在k=p处出现一个截止点,即在 时 ,当kp时k,k=0。,(1) AR(p)序列(如下图所示),(2) MA(q)序列,自相关函数k呈截尾状,k=q时出现一个截尾点,即在 时 ;当kq时k=0。相反,它的偏相关函数随阶数的增加而逐渐变小,呈拖尾状。单调或波动衰减趋向于零。,(3) ARMA(p
6、,q)序列,自相关函数和偏相关函数都没有截尾点,均以拖尾状而逐渐变小,趋向于零。,缺陷:,但由样本序列去估计自相关函数k和偏相关函数k,k抽样误差较大,难以直观判断,必须进行统计推断。例如,即使是出自AR(p)模型的序列,由于抽样的缘故在kp时由样本序列估计出的也不全会为零,而在零上下起伏,而用统计检验方法,推断出它们和零的差异并不显著,则可认为截尾点是k=p,从而推断序列为AR(p)序列。下面分别叙述MA(q),AR(p)和ARMA(p,q)模型识别的具体方法:,1MA(q)模型,由于kq时k=0,rk在kq时渐进服从 的正态分布(其中 为rk的方差D(rk)),根据正态分布的性质:,1MA
7、(q)模型,先假定q0如k q0,rk应明显不为零(k=1,2, q0) 而当q= q0时,k分别取q0+1,q0+2,q0+M(M可取左右)代入上式不等式,如果满足上式不等式,则统计满足个数占总数的比例,如果占总数M的68.3%或95%左右则可判断rk在q0处截尾,并初步认为序列是MA(q0)序列。,2AR(p)模型,对AR(p)序列,当kp时k,k=0;当kp时 将渐近服从 正态分布, 为的方差D( )。,同样找到p0,在p0前 (k取1,2, p0)明显不为零,而p= p0时,k分别取p0+1, p0+2, , p0+M(M可取左右)代入上式不等式统计满足上式不等式的个数占总数M的比例,
8、如在68.3%或95.0%左右可判断在p0处截尾,并初步认为序列是AR(p0)序列。,3ARMA(p,q)模型,对于这种混合模型,自相关函数和偏相关函数均无截尾的性质,认别较困难,一般识别p,q的方法可以从低阶到高阶逐个尝试,(p,q)分别取(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)然后分别进行参数估计,定出模型在检验这个模型是否被接受。若被接受,则模型确定;否则重新调整(p,q)直到接受为止。,二、模型识别的AIC准则,日本的赤池(Akaike)对于ARMA(p,q)模型中阶数p和q的确定提出了AIC准则:,式中:n为序列的长度;ln为自然对数, 为残差的方差,q=0为AR(p)模型 p
9、=0为MA(q)模型 使AIC达到最小值的模型被认为是可以接受的好模型。,对AR(p)模型,按AIC准则识别步骤:,(1)计算样本序列的自相关函数rk,(2)按递推计算自回归系数p,1,p,2, ,p,p,按AIC准则识别步骤:,(3)计算残差方差,(4)计算AIC,(5)根据不同P计算出相应的AIC(P)使AIC达到最小的P为我们所求,例,有序列n=45 采用AR(p)模型,分别计算得到AIC(k)值,如下:,试判断AR(p)的阶数p,p=14,三、模型的检验,原假设H0:t序列相互独立,统计量,M最大滞时,一般m取n/4左右,Q服从自由度为(m-p-q)的2分布,由样本1,2, ,m计算出
10、Q值,取值由2表查出2,若则接受原假设,认为t为独立序列的假设成立,反之不成立。,例,某站有44年径流序列,已识别出AR(1)模型。由样本序列,通过该模型算得t序列,进而算出它的自相关关系:r1()=-0.13, r2()=0.14, r3()=0.14,r4()=-0.09, r5()=0.04, r6()=0.18,r7()=-0.18, r8()=0.05, r9()=0.02,r10()=-0.09。,四、模型实用性的初步分析,选定的模型是否反映随机序列真实的统计特性,还必须在模型检验的基础上,作进一步的分析,即实用性分析。,若建立的模型是为了随机模拟,这是由模型而得的大量模拟序列,应
11、保持实测(样本)序列的主要统计特性。它们包括均值、方差(或变差系数)、偏态系数和一阶自相关系数。,分析方法:,1. 长序列法,由模型模拟出一个很长的模拟序列,例如模拟出长度N为10000,然后仅根据这一个长序列计算各项特征值,并与由实测系列计算的各项特征值进行比较。,2. 短序列法,由模型模拟出许多等长度的短序列,其长度和实测序列长度一样。,2. 短序列法,设有长度为n的m个模拟序列: 第一组模拟序列x1,1,x1,2,x1,n 第二组模拟序列x2,1,x2,2,x2,n 第 第m组模拟序列xm,1,xm,2,xm,n,对每一组序列分别估计它们的参数均值,Cv,Cs,r1,并分别计算各组参数的均值和标准差,2. 短序列法,由模拟序列计算出的参数与实测序列进行对比。随模拟序列长度N的增加模拟序列参数的均值愈趋近实测序列的参数。,本章结束,谢谢!,