《随机水文学第六章幻灯片》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机水文学第六章幻灯片（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章 自回归滑动平均模型,主要内容：,第一节 滑动平均模型,第二节 自回归滑动平均模型,第三节 模型的识别和检验,第一节 滑动平均模型,一、一般滑动平均模型MA(q),滑动平均模型的一般形式MA(q)其中心化形式为：,式中：q,1,q,2,q,q各阶权重又称权重系数是待求的参数,t白噪声系列，在水文上仍假定为P-分布，均值为零，其参数仅有两个即标准差与偏态系数，没有Cv,二、参数估计,式中：样本序列的和r1,r2,rq（各阶自相关系数）均可由样本计算出。,由一般形式经推导可得到如下方程组：,三、 的计算,一般形式经变形可得：,其中：x1,x2,xn为已知中心化径流系列q,1,q,2,q,q，
2、已由上面解出,则,三、 的计算（2）,利用这样计算得到t系列，系列1，2，n按照矩法估计：,四、一阶滑动平均模型,以中心化变量表示的MA(1)模型形式如下：,可由上述方法计算得到,五、二阶滑动平均模型,以中心化变量表示的MA(2)模型形式如下：,其 中,当r20时取+，当r20时取-,六、例：,同前，江西塞塘站有15年（1964-1978年）年径流资料，试建立MA（1）模型，并生成10年符合P型分布年径流系列。,例,计算步骤,1MA（1）模型的一般形式,2计算样本统计参数同前,例,计算步骤,3用公式计算参数,例,计算步骤,4由实测样本经中心化后分别计算t值,例,计算步骤,5计算Cs,6模型的确
3、定,例,计算步骤,7由模型模拟10项新系列,(1)先生成01均匀分布伪随机数10个作为P值,(2)由上述计算Cs查P离均系数 值表，得到相应的值,(3)代入上面公式可生成xt+1,同理生成xt+2,xt+10,计算结束,第二节 自回归滑动平均模型,一、一般自回归滑动平均模型,一般自回归滑动平均模型ARMA(p,q)，若以中心化变量xt来表示，则：,当 时，即q=0时为自回归模型AR(p),当 时，即p=0时为自回归模型MA(q),二、ARMA(1,1)模型的参数估计方法,经推算可得到如下方程：,方程中,二、ARMA(1,1)模型的参数估计方法,则前式可由上述三个用实测样本估计的值算出1,1，1
4、,1，2,可采用图解法或迭代法求解1,1，2,三、Cs的计算,将一般形式变形为：,仿照MA(q)的计算t系列的方法，由实测的系列x1,x2,xn（中心化后的）及上面已计算出的1,1,1,1，利用上式计算出1，2，n系列，再利用Cs的矩法公式：,计算Cs,第三节 模型的识别和检验,对给定的水文序列，应选什么样的模型，是AR(p)，MA(q)还是ARMA(p,q)？若选出一种模型，例如AR(p)模型，又如何确定阶数P。这样的问题在时间序列分析中叫做模型类型的选择及其形式的确定，可以统称为模型的识别。 通过识别确定模型，在由实测系列估计出模型中的参数，我们就初步得到了表征其随机变化的模型。对这种模型
5、，尚需作进一步检验，以验证是否符合模型的一些基本假定。,一、模型初步认别的原理和方法,在模型初步认别中，主要的依据是样本序列的自相关函数和偏相关函数。主要特点归纳如下：,(1) AR(p)序列,自相关函数k，随滞时k的增大逐步变小，自相关图呈拖尾状。它的偏相关函数k,k呈截尾状，单调或波动衰减趋向于零。在k=p处出现一个截止点，即在 时 ，当kp时k,k=0。,(1) AR(p)序列（如下图所示）,(2) MA(q)序列,自相关函数k呈截尾状，k=q时出现一个截尾点，即在 时 ；当kq时k=0。相反，它的偏相关函数随阶数的增加而逐渐变小，呈拖尾状。单调或波动衰减趋向于零。,(3) ARMA(p
6、,q)序列,自相关函数和偏相关函数都没有截尾点，均以拖尾状而逐渐变小，趋向于零。,缺陷：,但由样本序列去估计自相关函数k和偏相关函数k,k抽样误差较大，难以直观判断，必须进行统计推断。例如，即使是出自AR(p)模型的序列，由于抽样的缘故在kp时由样本序列估计出的也不全会为零，而在零上下起伏，而用统计检验方法，推断出它们和零的差异并不显著，则可认为截尾点是k=p，从而推断序列为AR(p)序列。下面分别叙述MA(q)，AR(p)和ARMA(p,q)模型识别的具体方法：,1MA(q)模型,由于kq时k=0，rk在kq时渐进服从 的正态分布（其中 为rk的方差D(rk)），根据正态分布的性质：,1MA
7、(q)模型,先假定q0如k q0，rk应明显不为零（k=1,2, q0） 而当q= q0时，k分别取q0+1，q0+2，q0+M（M可取左右）代入上式不等式，如果满足上式不等式，则统计满足个数占总数的比例，如果占总数M的68.3%或95%左右则可判断rk在q0处截尾，并初步认为序列是MA(q0)序列。,2AR(p)模型,对AR(p)序列，当kp时k,k=0；当kp时 将渐近服从 正态分布， 为的方差D( )。,同样找到p0，在p0前 （k取1,2, p0）明显不为零，而p= p0时，k分别取p0+1, p0+2, , p0+M（M可取左右）代入上式不等式统计满足上式不等式的个数占总数M的比例，
8、如在68.3%或95.0%左右可判断在p0处截尾，并初步认为序列是AR(p0)序列。,3ARMA(p,q)模型,对于这种混合模型，自相关函数和偏相关函数均无截尾的性质，认别较困难，一般识别p,q的方法可以从低阶到高阶逐个尝试，(p,q)分别取(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)然后分别进行参数估计，定出模型在检验这个模型是否被接受。若被接受，则模型确定；否则重新调整(p,q)直到接受为止。,二、模型识别的AIC准则,日本的赤池（Akaike）对于ARMA(p,q)模型中阶数p和q的确定提出了AIC准则：,式中：n为序列的长度；ln为自然对数， 为残差的方差,q=0为AR(p)模型 p
9、=0为MA(q)模型 使AIC达到最小值的模型被认为是可以接受的好模型。,对AR(p)模型，按AIC准则识别步骤：,（1）计算样本序列的自相关函数rk,（2）按递推计算自回归系数p,1,p,2, ,p,p,按AIC准则识别步骤：,（3）计算残差方差,（4）计算AIC,（5）根据不同P计算出相应的AIC(P)使AIC达到最小的P为我们所求,例,有序列n=45 采用AR(p)模型，分别计算得到AIC(k)值，如下：,试判断AR(p)的阶数p,p=14,三、模型的检验,原假设H0：t序列相互独立,统计量,M最大滞时，一般m取n/4左右,Q服从自由度为（m-p-q）的2分布,由样本1,2, ,m计算出
10、Q值，取值由2表查出2，若则接受原假设，认为t为独立序列的假设成立，反之不成立。,例,某站有44年径流序列，已识别出AR（1）模型。由样本序列，通过该模型算得t序列，进而算出它的自相关关系：r1()=-0.13， r2()=0.14， r3()=0.14，r4()=-0.09， r5()=0.04， r6()=0.18，r7()=-0.18， r8()=0.05， r9()=0.02，r10()=-0.09。,四、模型实用性的初步分析,选定的模型是否反映随机序列真实的统计特性，还必须在模型检验的基础上，作进一步的分析，即实用性分析。,若建立的模型是为了随机模拟，这是由模型而得的大量模拟序列，应
11、保持实测（样本）序列的主要统计特性。它们包括均值、方差（或变差系数）、偏态系数和一阶自相关系数。,分析方法：,1. 长序列法,由模型模拟出一个很长的模拟序列，例如模拟出长度N为10000，然后仅根据这一个长序列计算各项特征值，并与由实测系列计算的各项特征值进行比较。,2. 短序列法,由模型模拟出许多等长度的短序列，其长度和实测序列长度一样。,2. 短序列法,设有长度为n的m个模拟序列： 第一组模拟序列x1,1,x1,2,x1,n 第二组模拟序列x2,1,x2,2,x2,n 第 第m组模拟序列xm,1,xm,2,xm,n,对每一组序列分别估计它们的参数均值，Cv，Cs，r1，并分别计算各组参数的均值和标准差,2. 短序列法,由模拟序列计算出的参数与实测序列进行对比。随模拟序列长度N的增加模拟序列参数的均值愈趋近实测序列的参数。,本章结束,谢谢！,
