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1、1关于弦振动的求解方法李航一、无界弦振动1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题atxdtxattxu )(21)()(2),(在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为)(|),(| 0, ,0022xtuxutatt 由达郎贝尔公式，解在点 的值由初始条件在区间 内),(t ,atx的值决定，称区间 为点 的依赖区域，在 平面上，ax),(tx它可看作是过点 ，斜率分别 为的两条直线在 x轴上截得的区),(t1间。2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题 )2()(|
2、),(| 10,0022 ， xtuxu ttfatx2令 ，可将此定解分解成下面两个定解问题：),(,),(txVtUtxu(I) ， )(|),(| 0,0022xtuxutatx(II) ， 0|,| 0,),(022txutfat其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：。atxdtxattxU)(21)()(21),(对于问题(II)，有下面重要的定理。定理（齐次化原理）设 是柯西问题),(tx ， ),(|,0|22xfttatx的解 ，则 是问题(II)的解。)(tdV0),(,二、有界的弦振动方程1、分离变量法齐次条件的分离变量法（1）（2）（3）设 ，代入方程（1）得：)(),
3、(tTxXtu)(|),(|0,00,01022tlut tlxxatt 3)()( taTxX上式右端不含 ，左端不含 ，所以只有当两端均为常数时才能相等。xt令此常数为 ，则有：（4）0)( xX（5）)(2 tTat所齐次边界条件可得：（6）0)(,0)( lhXlX从而特征值问题:0)(,0)( lhlx对 的取值分三种情况 ， 进行讨论。,0这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。非齐次条件分离变量法分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏
4、，则不能采用分离变量法解。分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。如：4)(0,()(,(212xutgtlugtfatx设 ，通过适当选取 使新的未知函数满足齐),(,tWtV),(txW次边界条件，这只须使 满足：),(tx，(011tg)(,21tgtl即可。小结：分离变量法的解题步骤a， 令 )(),(tTxXtUb， 将试探解带入泛定方程。c， 将等式两边同时乘以 ，进行分离变量，获得两个常微分xua21方程。d， 由边界条
5、件，将 方程解出需要讨论本征值 （ ，）（X0）三种情况，获得本正值和本征函数。,0e， 写出 解的形式后与 一起构成 通解形式。)t(T）（ x),(txUf， 由初始条件确定待定系数。三、无界、有界，齐次、非齐次的通解方法傅里叶级数解法 ）（）（ ）（ 3)(|),(| 20,010,01022 xuxtlt tlxuatt 设 （4） ，其中构造 让其满足,tWVU ）（）（ tt),(BAtxV5（2）则： ）（）（）（）（， 5tsint-xt-)tx( AV所以对 有：),(txW ）（）（ ）（ 8)(|),(| 70,0 60,tit010222 xuxlWt tlxatt 令
6、）（）（ 9tksin),(0kTtx（9）式带回到（6）式）（）（ 9tkxsint),(0k1TtxW解出： 1n2thsi-t1k）（T整理出 ),(tx与 ),(tV构成 ),(xU的解，再带回到（3）是求出待定系数。小结：一般傅里叶级数的求解步骤1、 令 ，其中展开基 为对应齐次函数本征函0kk)x(t),(XTtxU）（ )x(kX数（由边界条件决定）2、 将 带入泛定方程后，将 也按 展0kk)x(t),(Ttx）（ ），（ txf)x(kX为傅里叶级数，比较等式两边，获得 的常微分方程。）（ tkT3、 将 带入初始条件，得到关于 方程的定解0kk)x(t),(XTtxU）（ ）（ tk条件。4、 解关于 的常微分方程。）（ tk15、 将 解的通解形式带回到 中即可。 （此时即）（ tkT0kk)x(t),(XTtxU）（为方程的解）
