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1、晶体结构III 固体物理导论第一章晶体结构Part I1.1 晶格（ Lattice）1.2 晶体的对称性1.3 典型的晶体结构Part II1.4 倒格子和布里渊区1.5 晶体结构的实验研究（ XRD）XRD: X-Ray Diffraction晶体结构III 固体物理导论作业 HW2 Dated: 13thSep., 20121.10. 使用 = 1.54 10-10m的 X射线照射晶体，a. 已知具有 fcc结构的 Al多晶 (111)面的衍射角为 38.4度，试求 (111)面的面间距。b. 已知具有 bcc结构的 Fe多晶 (110)面的衍射角为 44.6度，试求其晶胞长度。1.11
2、. 试给出金刚石的结构因子，并指出衍射强度消失的晶面指数。1.12. CsCl晶体，假定 Cs原子的原子散射因子是 Cl原子散射因子的 3倍，fCs= 3fCl，试求其几何结构因子。1.7. 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。1.8. 证明：倒格子原胞体积是 (2)3/，其中 是正格子原胞体积。1.9. 证明对于六角晶系， hkl面族的面间距为()cbalcakhkhadhkl=+= ,3422221.13. KCl晶体，求其几何结构因子，已知 fK= fCl，讨论消光性。晶体结构III 固体物理导论3旋转 -反演轴的对称操作它的对称性和 3度转轴加上垂直于
3、该轴的对称面 的总效果一样。因此，它不是一个独立的对称操作。晶体结构III 固体物理导论上次课简要复习9正点阵与倒点阵9倒点阵的特点1. 两个点阵的基矢之间相互正交2. 两个点阵原胞的体积互为反比关系3. 倒格矢垂直于正点阵的晶面族4. 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵（两个点阵互易）5. 倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性6. 正点阵的周期函数9 bcc和 fcc互为倒点阵9布里渊区（倒空间原胞）、界面方程可以按倒格矢 展开为傅立叶级数倒格矢晶体结构III 固体物理导论1.5 晶体结构的实验研究（ XRD）X射线衍射的历史晶体可以作为 X射线的衍射光栅奠定了固体物理基础！使 X射线衍射成为揭示物
4、质结构最重要的方法，发现了 Bragg定律晶体结构III 固体物理导论X射线的产生：高速电子流轰击金属，内层电子被击出高能级电子跃迁到低能级补充空位 , 能量以 X光的形式放出其波长与晶格常数 同一个量级 ，就成为探测晶体结构的有效方法。晶体结构III 固体物理导论X射线衍射虽然点群和空间群理论以及晶体点阵学说都是 19世纪提出的，但直到 1912年 Laue发现了晶体 X射线衍射现象之后才得以从实验上观测到晶体结构并证实了上述理论。普通光学显微镜受分辨率的限制，无法观测原子排列，使用 X光源，至今又没有可以使 X光聚焦的透镜，所以 只能依靠衍射现象来间接观测晶体中的原子排列 。至今为止，晶体
5、内部结构的观测还主要依靠 衍射现象 来进行。目前常使用的方法，除去 X射线衍射外，还有中子衍射和电子衍射（ 德布罗意 波长： 10 10 m），三种方法原理相同，但各有所长，经常互相配合使用。为探测晶体微观结构， X射线波长应与原子间距（ 0.1 nm）相当，要求光子能量约为 104eV产生衍射的极限条件是：（从布拉格方程推出）即能够被晶体衍射的 X射线的波长必须小于参与反射的晶面中最大晶面间距的 2倍常用 X射线的波长在 0.05-0.25nm之间晶体结构III 固体物理导论当一束 X射线照射到晶体上时，首先被电子所 散射 ，每个电子都是一个新的辐射源，向空间辐射出与入射波相同频率的电磁波，
6、可以认为一个原子系统的所有电子都近似地从原子中心发出散射波，所以 晶体的 X射线衍射就是晶体中处在不同位置上的原子向外辐射的电磁波相位不同、相互干涉的结果，是晶体原子的是晶体原子的有序排列有序排列，使某些方向上，使某些方向上散射波始终互相叠加、某些方向上的散射波始终相互抵消，而产生衍散射波始终互相叠加、某些方向上的散射波始终相互抵消，而产生衍射线射线 。因此 每种晶体的衍射花样都反映出晶体内部原子分布的规律 。一个衍射花样的特征可以概括为两个方面：一方面是衍射线在空间的分布规律（称之为衍射几何）；另一方面是衍射线的强度规律。衍射线在空间的分布规律是由布拉维格子决定的，而衍射线的强度则是由晶胞中
7、原子的种类、数量和位置所决定的 。晶体结构III 固体物理导论发生衍射的条件衍射条件的 Bragg定律假设弹性散射光的反射定律Bragg 把晶体对 X光的衍射当作由原子平面的反射。在反射方向上，一个平面内所有原子的散射波位相相同、相互叠加，当不同原子平面间的辐射波符合Bragg关系时，散射波在反射方向得到加强，形成衍射。只有入射的 10-310-5部分被每个面反射发生衍射的 Bragg 条件清楚地反映了衍射方向与晶体结构之间的关系n = 0, 1, 2,不可能用可见光晶体结构III 固体物理导论衍射条件的 Laue解释在晶体中任选一点 O为原点 , 考虑 O点处的原子与距离它处原子散射波之间的
8、光程差发生衍射的条件是Laue方程0kr1kr晶体结构III 固体物理导论Laue衍射条件： 当入射波矢和散射波矢相差一个倒格矢矢量时将发生衍射 。 Laue方程还有其它表示方式：弹性散射 ，波长数值不变，即波矢绝对值不变Laue 衍射条件就是布里渊区边界方程。换句话说：布里渊区界面是由 Laue方程决定的。晶体结构III 固体物理导论布里渊区边界方程（ Laue条件）的意义：1） 从某倒格点出发，凡是满足布里渊区边界方程的波矢的端点集合构成布里渊区界面 。2） 从某倒格点出发，凡波矢 k0端点落在布里渊区界面上的 X射线，都满足衍射极大条件 ，而且其衍射束在 k0-G方向上 。晶体结构III
9、 固体物理导论由 Laue条件推出 Bragg定律而 G0 = 2/d， d为面间距， k=2/Bragg定律弹性散射近似晶体结构III 固体物理导论Ewald球图解法对于给定的晶体，当入射波矢确定后，究竟在哪些方向可以观察到衍射呢？ Ewald 利用反射球作图法给出了符合 Laue条件的答案：以入射波矢端点为圆心，以 k为半径做反射球，凡落在球面上的 倒格点 都会满足 Laue方程，因为原点必然落在反射球上，所以从原点到落在反射球上的其它格点恰好是一个倒格矢，故 方向发生衍射。晶体结构III 固体物理导论三种 X射线晶体学实验方法 ：1. Laue方法：一个单晶固定在一束 连续波长的 X射线
10、 中，会在一些方向产生衍射斑点，在某些特定方向可以表现出 明显的对称特点，常用于单晶样品的定向。晶体结构III 固体物理导论晶体结构III 固体物理导论倒格子晶体至胶片距离晶体结构III 固体物理导论2. 旋转晶体法：单一波长的 X射线照射放在旋转头上的晶体，晶体通过自身旋转，使各晶面族满足衍射条件（相当于改变入射角）。这是用于晶体结构测定、确定原子位置最基本的方法。晶体结构III 固体物理导论3. 粉末衍射方法（ Debye-Scherrer方法）使用单色 X 射线照射粉末样品，由于粉末的随机分布，可以同时满足各晶面族发生衍射的条件。常用于 材料的物相分析 等。已经收集到超过 25000多种
11、晶体材料的标准粉末衍射图，只需要将 衍射结果和标准图进行比较，即可知道被测材料的结构。晶体结构III 固体物理导论影响衍射强度的因素可以分 2个层次进行分析1. 原子散射因子强度和方向有关一个原子有许多电子，它的原子散射因子定义为： 一个原子的相干散射振幅和一个电子的相干散射振幅之比 ：根据经典理论，电子受到电磁辐射，会发 生强迫振动，而辐射出与入射电磁波相同波长的电磁波，其强度由 Thomson公式给出：假设在正点阵的每个结点上有一个原子，电子局域在原子周围。它和原子中电子的分布、数目， X射线的波长以及发射角有关，各原子的原子散射因子数值可以在有关书中查到。一个原子的散射波强度如散射中心为
12、中性原子，则 fa为原子序数 Z。晶体结构III 固体物理导论2. 几何结构因子 ：如果 晶胞内只含有一个原子时， Bragg公式或 Laue条件给出的 d 值即可确定出晶胞大小和原子位置 ，但当晶胞包含两个以上的原子时，如 fcc或 bcc结构，金刚石， NaCl、 CsCl等情形就不同了，必须考虑晶胞中原子的 相对位相对位置置 和 原子种类不同原子种类不同 而带来的差异，因而定义 一个原胞内所有原子或离子的散射振幅和一个电子的散射振幅之比为晶胞 几何结构因子几何结构因子 ：如何确定各种晶体结构的几何结构因子是一件重要的事情，对了解晶体结构十分重要。下面我们分析晶胞内原子的相干散射，给 出几
13、何结构因子的一般表达式。晶体结构III 固体物理导论晶胞内两个原子的相干散射假定 O是晶胞的一个顶点，同时作为坐标原点，处在晶胞 A处的第 j个原子与处在 O点的原子散射波之间的光程差为：其相位差：如果发生衍射的是 (HKL) 晶面，则：S1S1晶体结构III 固体物理导论所以，一个晶胞内所有原子的相干散射振幅需要对所有原子求和：根据几何结构因子的定义，有：因为衍射测量的是衍射强度，它正比于：只需要将上式乘以共轭复数再开方即为结构因子的表达式结构因子有可能使 Laue条件允许的某些衍射斑点消失 (消光 )晶体结构III 固体物理导论在 X射线衍射分析中，晶体的特殊对称性起着重要作用，因此一般采
14、用惯用晶胞 。 fcc和 bcc可以看作是 sc加基元的结果。对于边长为 a 的立方格子，倒格矢可以写成：1） 简立方情形 ：只有 1个原子，坐标为： 000，所以 HKL为任意整数时，都能产生衍射。晶体结构III 固体物理导论2） 体心立方情形 ：晶胞内有 2个原子：显然， H+K+L偶数时H+K+L奇数时所以只有 H+K+L偶数的晶面才会显现衍射蜂，而 (100), (111), (210), (300), (221), (311) 等晶面的衍射峰消失。衍射面消光晶体结构III 固体物理导论3） 面心立方情形 ：四个原子：显然 H, K, L为全奇、全偶时， H+K, H+L, K+L 均
15、为偶数。H, K, L奇偶混杂时（ 2奇 1偶或 2偶 1奇） H+K, H+L, K+L 必定有 2个奇数，1个偶数，所以：只有当 H, K, L 为全奇或全偶的晶面才会显现衍射蜂 。 (100), (110), (210), (211), (300)等晶面衍射峰消失。,hklLaue k k K=方程 不是真正的衍射加强条件,因其含有消光点,必须采用几何结构因子来修正晶体结构III 固体物理导论晶体结构III 固体物理导论4） 金刚石结构情形 ：八个原子：434341,434143,414343,414141,02121,21021,21210,000习题 1.11容易写出其结构因子，并判断消光条件。金刚石的结构因子也可以写成两项的乘积，一项是面心立方的相因子，另一项可由面心立方结构沿对角线移动 1/4的对角线长度得到，这个因子是由这样两个原子，即一个在原点，一个在对角线 1/4长度距离的相位差，相当于 (0,0,0)和 (0.25,0.25,0.25)的相因子。这两个相因子的乘积就是金刚石结构的几何结构因子，消光条件就容易判断。位于 4条体对角线上晶体结构III 固体物理导论3. 影响衍射强度的其它因素 ：晶体的不完整性：对周期性的偏离，引起衍射峰展宽。温度
