《天津市河西区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题【含解析】》由会员分享,可在线阅读,更多相关《天津市河西区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题【含解析】(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、天津市河西区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若向量,向量,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由,则,代入运算即可得解.【详解】解:因为向量,向量,则,则,故选:C.【点睛】本题考查了向量减法的坐标运算,属基础题.2.设是椭圆上的一动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由椭圆的定义即可得解.【详解】解:设椭圆的两个焦点为,点为椭圆上的点,由椭圆的定义有:,故选:B.【点睛】本题考查了椭圆的定义,属基础题.3.抛物线的准线方程
2、是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】先将抛物线方程化为标准方程,再求抛物线的准线方程即可.【详解】解:由抛物线的方程为,化为标准式可得,即抛物线的准线方程是:,故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,重点考查了抛物线的准线方程,属基础题.4.中心在坐标原心、焦点在x轴,且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件,求得a、b、c的值,进而可得椭圆的标准方程【详解】由题可得,故,又焦点在轴上,所以所求椭圆的标准方程为,故选A【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,注意焦点的位置,属于基础题5.如图,在三棱柱中,为的
3、中点,若,则可表示为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】,故本题正确答案为6.已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由e=2得4=1+,=3.双曲线的渐近线方程为y=x,抛物线x2=2py的焦点是(0,),它到直线y=x的距离d=2=,p=8.抛物线方程为x2=16y.故选D.7.若两个向量,则平面的一个法向量为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设平面ABC的法向量为,根据数量积等于0,列出方程组,即可求解.【详解】设平面ABC的法向量为,则,即,令,则,即平面ABC的一个
4、法向量为,故选A.【点睛】本题主要考查了平面的法向量的求解,其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直,列出关于的方程组求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.8.已知抛物线的焦点为,为原点,点是抛物线的准线上的一动点,点在抛物线上,且,则的最小值为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出点坐标,作关于准线的对称点,利用连点之间相对最短得出为的最小值【详解】解:抛物线的准线方程为,到准线的距离为,故点纵坐标为,把代入抛物线方程可得不妨设在第一象限,则,点关于准线的对称点为,连接,则,于是故的最小值为故选B【点睛】本题考查了抛物线的简单性质,属于基础题9
5、.设分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线的左顶点,为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点,且满足,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线渐近线方程,然后求出,再利用向量数量积运算即可得解.【详解】解:由双曲线方程为,则其渐近线方程为,联立,解得或,即,又,则,则,解得,即,即,即,故选:B.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法,重点考查了双曲线的离心率,属中档题.二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,多空题只答对一空得3分,共30分.10.若向量,向量,且,则_,_.【答案】 (1). 1 (2). -2【解析】【分析】由题意可得,再求解即可.【
6、详解】解:由向量,向量,且,则,解得:,故答案为:1,-2.【点睛】本题考查了空间向量共线的坐标运算,属基础题.11.若双曲线上一点到左焦点的距离为4,则点到右焦点的距离是 .【答案】10【解析】试题分析:由双曲线方程可知,由定义得考点:双曲线定义点评:双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值等于12.若方程表示焦点在轴的椭圆,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由椭圆的几何性质可得,再解不等式组即可得解.【详解】解:由方程表示焦点在轴的椭圆,则,解得:,即,故答案为:.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属基础题.13.在空间直角坐标系中,则异面直线与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【
7、分析】先求出向量与所成角的余弦值,再求异面直线与所成角的余弦值即可.【详解】解:由,则,则向量与所成角的余弦值为,则异面直线与所成角的余弦值为,故答案为:.【点睛】本题考查了空间向量坐标运算,重点考查了空间向量的应用,属基础题.14.已知过点M(1,0)的直线AB与抛物线y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若OA,OB的斜率之和为1,则直线AB方程为_【答案】2x+y-2=0【解析】【分析】设直线AB的方程并代入抛物线方程,根据韦达定理以及斜率公式,可得的值,进而得到直线的方程【详解】依题意可设直线AB的方程为:x=ty+1,代入y2=2x得,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y
8、2=-2,y1+y2=2t,所以,解得,直线AB的方程为:x=+1,即2x+y-2=0故答案为2x+y-2=0【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用,以及直线方程的求解,其中设出直线的方程,代入抛物线的方程,利用韦达定理以及斜率公式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于中档试题15.在空间直角坐标系中,且,则的最小值是_,最大值是_.【答案】 (1). 0 (2). 8【解析】【分析】先利用空间向量数量积运算可得,再利用椭圆的参数方程求最值即可得解.【详解】解:因为,且,所以,即,设,则 ,又,则,故答案为:0,8.【点睛】本题考查了空间向量数量积运算,重点考查了椭圆的参数方
9、程,属中档题.三.解答题:本大题共3小题,共34分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且经过点.(1)求双曲线的方程;(2)求双曲线的实轴长,离心率,焦点到渐近线的距离.【答案】(1);(2)实轴长2,离心率为,距离为【解析】【分析】(1)由共渐近线双曲线方程的求法求解即可;(2)由双曲线方程及点到直线距离求解即可.【详解】解:(1)解:在双曲线中,则渐近线方程为,双曲线与双曲线有相同的渐近线,方程可化为,又双曲线经过点,代入方程,解得,双曲线的方程为. (2)解;由(1)知双曲线中,实轴长,离心率为,设双曲线的一个焦点为,一条渐近线方程为,即焦点
10、到渐近线的距离为.【点睛】本题考查了共渐近线双曲线方程的求法,重点考查了点到直线的距离,属基础题.17.如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,是的中点.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)若点在线段(不包含端点)上,且直线平面,求线段的长.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】【分析】(1)建立以为坐标原点,分别以所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系,再标出点的坐标,利用空间向量的应用即可得证;(2)求出平面的一个法向量,平面的一个法向量,再利用数量积公式求解即可;(3)假设棱上存在点,使平面,由求解即可.【详解】证明:(1)以为坐标原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直
11、角坐标系,设,则,则,设是平面的一个法向量,则由,得,取,得.,又平面,平面. (2)解:由(1)知是平面的一个法向量,又是平面的一个法向量.设二面角的平面角为,由图可知,,故二面角的平面角的余弦值为. (3)假设棱上存在点,使平面,设,则,由得,解得,则.【点睛】本题考查了空间向量的综合应用,重点考查了运算能力,属中档题.18.已知点A(0,2),椭圆E: (ab0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点. (1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当OPQ的面积最大时,求l的方程.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:设出,由直线的斜率为求
12、得,结合离心率求得,再由隐含条件求得,即可求椭圆方程;(2)点轴时,不合题意;当直线斜率存在时,设直线,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于零求得的范围,再由弦长公式求得,由点到直线的距离公式求得到的距离,代入三角形面积公式,化简后换元,利用基本不等式求得最值,进一步求出值,则直线方程可求.试题解析:(1)设,因为直线的斜率为,所以,. 又解得,所以椭圆的方程为.(2)解:设由题意可设直线的方程为:,联立消去得,当,所以,即或时.所以点到直线的距离所以,设,则,当且仅当,即,解得时取等号,满足所以的面积最大时直线的方程为:或.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.