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1、- 1 - 数学选修 2-2 综合测试题(答案) 一、选择题一、选择题 1 在 复 平 面 内 ， 复 数对 应 的 点 位 于 )21(iiz （B） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2定积分 2 2 0 sin 2 x dx 的值等于（ A ） A 1 42 B 1 42 C 1 24 D 1 2 3类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数， ( ) 2 xx aa S x ，( ) 2 xx aa C x ，其中0a ，且1a ，下面正确的运算公式是 （） ()( ) ( )( ) ( )S xyS x C yC x S y； ()( ) ( )( ) (
2、 )S xyS x C yC x S y； ()( ) ( )( ) ( )C xyC x C yS x S y； ()( ) ( )( ) ( )C xyC x C yS x S y； 4.已知为常数）在上有最大值 ，那么此函数在 32 ( )26(f xxxm m 2,23 上的最小值为（ A ） 2,2 A. -37 B-29 C-5 D-11 5.已知函数有极大值和极小值，则实数1)6()( 23 xaaxxxfa - 2 - 的取值范围是(C ) A B C 或 D21a63a3a6a1a 或2a 6设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜 2 23yxx 角的取值范围为，则点
3、 P 横坐标的取值范围为（ ）0 4 ， ABCD 1 1 2 ，10 ，01 ， 1 1 2 ， 7设曲线在点处的切线与直线垂直，则 1 1 x y x (3 2)，10axy a （ ） A2BCD 1 2 1 2 2 8 已知可导函数的导函数满足，则)(Rxxf )( xf)()( xfxf 当时，0 a 和（是 自 然 对 数 的 底 数 ） 大 小 关 系 为 )(af)0(fe a e （ A） A B)0()(feaf a )0()(feaf a C D)0()(feaf a )0()(feaf a 9.给出以下命题： 若( )0 b a f x dx ，则 f(x)0； 2 0
4、 sin4xdx ; 已 知( )( )F xf x， 且 F(x)是 以 T 为 周 期 的 函 数 ， 则 - 3 - 0 ( )( ) aa T T f x dxf x dx ； 其中正确命题的个数为( B ) A.1 B.2 C.3 D.0 10.已知函数 2 ( )f xxbx的图象在点(1,(1)Af处的切线的斜率为 3，数 列 )( 1 nf 的前n项和为 n S,则 2011 S的值为（D ） 2012 2011 . 2011 2010 . 2010 2009 . 2009 2008 .DCBA 二、填空题二、填空题 11、一同学在电脑中打出如下若干个圈: 若将此若干个圈依此规
5、律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的的个数是 14。 12若函数 2 4 ( ) 1 x f x x 在区间(21)m m，上是单调递增函数，则实数 m的取值范围是 答案：10m 13已知 111 ( )1() 23 f nn n N，用数学归纳法证明(2 ) 2 n n f时， 1 (2)(2 ) kk ff 等于 答案： 1 111 21222 kkk 14. 15. 三、解答题三、解答题 - 4 - 16、已知复数 满足（ 为虚数单位）求 z i i izzz 2 32 iz 解由已知得， iizzz 1 2 设 Ryxyixz , 代人上式得 ixiyx 12 22
6、所以，解得 12 1 22 x yx 2 3 2 1 y x 故iz 2 3 2 1 17. （1）求证：(1) 22 33()ababab; 证明：（1） 22 2abab, 2 32 3aa, 2 32 3bb ; 将此三式相加得 2 22 (3)22 32 3ababab, 22 33()ababab. （2）已知均为实数，且cba, ， 6 2, 3 2, 2 2 222 xzczybyxa 求证：中至少有一个大于 0.cba, 证明：（反证法） - 5 - 假设都不大于 0，即，则，cba,0, 0, 0cba0cba 因为 6 2, 3 2, 2 2 222 xzc zyb yxa
7、 03)1()1()1( ) 6 2() 3 2() 2 2( 222 222 zyx xz zy yxcba 即，与矛盾，故假设错误，原命题成立.0cba0cba 18、设函数（12 分） 3 2 ( )33 (0) 3 x f xxxa a （1）如果，点 P 为曲线上一个动点，求以 P 为切点的切1a ( )yf x 线斜率取得最小值时的切线方程； （2）若时，恒成立，求 的取值范围。 ,3 xaa ( )0f x a 解：（1）设切线斜率为 k,则。 2 ( )23.kfxxx 当当x x= =1 1时时，k k有有最最小小值值- -4 4 又。（6 分） 2929 (1),491),
8、123170 33 fyxxy 所所以以切切线线方方程程为为即即 ,3 ( )0 xaaf x 若若时时，恒恒成成立立，则则： 0330333 1(2)(3) (3 )0(3)0( )0 aaaaa faff a （ ）或或或或 （1），（2）无解，由（3）解得，综上所述。 6a 19设函数（ 是自然对数的底数）( )(1) , ( ) x f xex g xee （）判断函数零点的个数，并说明理由；( )( )( )H xf xg x （）设数列满足：，且 n a 1 (0,1)a 1 ()(), nn f ag anN - 6 - 求证：；01 n a 比较与的大小 n a 1 (1) n
9、 ea 解：（）( )(1) x H xee 令 0 ( )0,ln(1)H xxe 当时，在上是增函数 0 (,)xx( )0,H x ( )H x 0 (,)xx 当时，在上是减函 0 (,)x x ( )0,H x ( )H x 0 (,)x x 数 2 分 从而4 0 max0 ( )(0)(1)1(1)ln(1)2 x H xHexeeee 分 注意到函数在上是增函数，( )ln1k tttt 1, 从而( )(1)0,11k tke 又 从而 0 ()0H x 综上可知：有两个零( )H x 点 6 分 （）因为即 1 ()(), nn f ag a 1 (1)1 n a n ea
10、e 所以 7 1 1 (1) 1 n a n ae e 分 下面用数学归纳法证明(0,1) n a 当时，不等式成立1n 1 (0,1)a - 7 - 假设时，nk(0,1) k a 那么 1 1 (1) 1 k a k ae e 1011 kk aa eeee 1 0(1)1 1 k a e e 即 1 (0,1) k a 这表明时，不等式成立1nk 所以对， nN (0,1) n a 因为 1 (1)1 n a nnn eaaea 考虑函数 ( )1(01) x p xexx ( )10 x p xe 从而在上是增函数( )p x(0,1) ( )(0)0p xp 所以 1 (1)0 nn
11、 eaa 即 1 (1) nn eaa 20 已知函数)(3ln)(Raaxxaxf （）当时，求函数的单调区间；1 a)(xf （）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，)(xfy )2( , 2 (f 45 问 ： m 在 什 么 范 围 取 值 时 ， 对 于 任 意 的， 函 数2 , 1 t 在区间上总存在极值？)( 2 )( 23 xf m xxxg )3 ,(t （）当时，设函数，若在区间上2 a3 2 )2()( x ep xpxh, 1 e 至少存在一个，使得成立，试求实数 p 的取值范围 0 x)()( 00 xfxh - 8 - 解（）由知： )0( )1( )( x x
12、xa xf 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；1 a)(xf)1 , 0(), 1( （）由得到，故1 2 )( a xf2 a ， x xfxxxf 2 2)( , 3 2ln2)( 2)4(3)( ,2) 2 2()( 2 )( 22323 xmxxgxx m xxf m xxxg 因为在区间上总存在极值，且，所以，解)(xg)3 ,(t21 t 0)3( 0)2( g g 得： ，故当时，对于任意的，函数9 3 37 m9 3 37 m2 , 1 t 在区间上总存在极值。 )( 2 )( 23 xf m xxxg )3 ,(t （），令32ln2)( xxxfx x e x p p
13、xxfxhxFln2 2 )()()( 当时，由得到所以在上0 p, 1 ex , 0 ln2 2 , 0 x x e ppx, 1 e 不存在，使得成立； 0 x)()( 00 xfxh 当时 ， 因 为， 所 以0 p 2 2 22 )( x epxpx xF , 1 ex ，在上恒成立，故在上单调0 , 0 22 2 ppxxe0)( xF, 1 e)(xF, 1 e 递增。 ，由题意可知，解得，4)()( max e p peeFxF04 e p pe 1 4 2 e e p - 9 - 所以的取植范围是。p), 1 4 ( 2 e e 21.已知，设函数，0aaxaxaxf22ln)
14、( 2 )2( 2 1 )(axxg （I）求函数的最大值；)()()(xgxfxh （II）若 是自然对数的底数，当时，是否存在常数 、 ，使得不eea kb 等式对于任意的正实数 都成立？若存在，求出 、 的)()(xgbkxxfxkb 值，若不存在，请说明理由 解：（I） ， 2 2 1 ln)(xxaxh(0)x （2 分） x axax x x a xh )( )( x ), 0(aa),(a )(x h +0- )(xh 极大值 当时，函数取最大值； ax )(xh 2 lnaaa （4 分） （II）当时，的最大值是 0，ea )()()(xgxfxh 即，当且仅当xe时取等号， ( )( )f xg x （6 分） 函数和的图象在xe处有且仅有一个公共点，)(xf)(xg) 2 ,( e e - 10 - ，函数的图象在xe处切线斜率是，e x e xf2)()(xfekf ，函数的图象在xe处切线斜率是，exxg2)()(xgekg 和的图象在xe处有公共切线方程为，)(xf)(xg 2 3e xey （8 分） 设， 2 ln) 2 3 ()()( e xexe e xexfxF x exe e x e xF )( )( x ), 0(ee),(e ( )F
