《江苏省常州市2020届高三数学上学期期中试题【含解析】》由会员分享,可在线阅读,更多相关《江苏省常州市2020届高三数学上学期期中试题【含解析】(19页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、江苏省常州市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)注意事项:1本试题由填空题和解答题两部分组成,满分160分,考试时间为120分钟2答题前,请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方3所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上,否则答题无效一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案写在答题卷对应栏目)1.已知集合,若,则_【答案】0或3【解析】【分析】由两集合的并集为A,得到B为A的子集,可得出m3或m,即可求出m的值【详解】ABA,BA,m3或m,解得:m0或3或1(舍去)故答案为:0或3【点睛】此题考查了并集及其运算,以及集合间的包含关系,是一道基本
2、题型,注意互异性的检验2.已知的定义域为,则的定义域为_.【答案】【解析】因为函数的定义域为,所以-1log2x1,所以. 故f(log2x)的定义域为.3.已知函数在上单调递减,且为奇函数,若,则满足的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意,由函数奇偶性的性质可得f(1)1,利用函数的单调性可得1x31,解可得x的取值范围,即可得答案【详解】根据题意,f(x)为奇函数,若f(1)1,则f(1)1,f(x)在(,+)单调递减,且1f(x3)1,即f(1)f(x3)f(1),则有1x31,解可得2x4,即x的取值范围是2,4;故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,关键是
3、将1f(x2)1转化为关于x的不等式4.已知在等差数列中,若,则_【答案】35【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值,代入所求的式子化简求值即可【详解】由等差数列的性质得,7a435,故答案为:35【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用,关注下角标的和是关键,属于基础题题5.设是周期为的偶函数,当时,则_【答案】1【解析】【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系,进行转化即可得到结论【详解】f(x)是周期为1的偶函数,f()f(4)f()f(),当0x1时,f(x)4x(1x),f()4(1),故f(),故答案为:【点睛】本题主要考查函数值的计算,利用函数的周期性和奇偶性进行转
4、化是解决本题的关键6.设函数,将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于_【答案】8【解析】【分析】函数图象平移个单位长度后,所得图象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,容易得到结果【详解】f(x)的周期T,函数图象平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,所以k,kZ令k1,可得8故答案为:8【点睛】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,三角函数的周期定义的理解,由题确定平移了周期整数倍是关键,常考题型7.已知为第二象限角,sincos,则cos2_【答案】【解析】sincos,(sincos)2,2sincos,即sin2.为第二象限角
5、且sincos0,2k2k(kZ),4k20或0,解得c-2或c可得c的取值范围是【点睛】本题考查导数运用:求单调区和极值,注意运用转化思想,考查函数的零点问题解法,注意运用函数的极值符号,考查运算能力,属于中档题10.已知在正四棱锥中,若,则当该棱锥的体积最大时,它的高为_【答案】【解析】【分析】设出底面边长,求出正四棱锥的高,写出体积表达式,利用求导求得最大值时,高的值【详解】设底面边长为a,则高h,所以体积Va2h,设y24a4a6,则y96a33a5,当y取最值时,y96a33a50,解得a0或a时,当a,则a时,体积最大,此时h,故答案为:【点睛】本试题主要考查椎体的体积,考查高次函
6、数的最值问题的求法,准确计算是关键,是中档题11.若在是减函数,则a的最大值是_.【答案】【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式化简f(x),由,kZ,得,kZ,取k0,得f(x)的一个减区间为,结合已知条件即可求出a的最大值【详解】解:f(x)cosxsinx(sinxcosx),由,kZ,得,kZ,取k0,得f(x)的一个减区间为,由f(x)在a,a是减函数,得,则a的最大值是故答案为:【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,三角函数的求值,属于基本知识的考查,是基础题12.已知,为正实数,且,则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用结合基本不等式求解即可【详解】由题则则则当且
7、仅当即等号成立故答案为:【点睛】本题考查基本不等式求最值,考查配凑定值的技巧,是基础题13.已知圆的半径为,若、为该圆的两条切线,其中、为两切点,则的最小值_【答案】【解析】【分析】结合切线长定理,设出PA,PB的长度和夹角,并将表示成一个关于x的函数,然后根据求函数最值的办法,进行解答【详解】如图所示:设OPx(x0),则PAPB,APO,则APB2,sin,|cos2(12sin2)(x24)(1)x212812,当且仅当x2时取“”,故的最小值为812故答案为:【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力
8、14.设函数(且为常数,其中为自然对数的底数),则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】确定函数的奇偶性,利用单调性解不等式即可【详解】,故函数为奇函数又 故函数为增函数,等价为 或,解得,故不等式的解集是故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用,考查推理转化能力,是中档题二、解答题:(本大题共6小题,共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.如图,在直三棱柱中,为的中点,为上的一点,且(1)求证:平面;(2)求证:【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理得即可证明(2)作CFAB,F为垂足,证
9、明面FCD,能证明DECD【详解】(1)几何体为直三棱柱,四边形为矩形设,则点O为的中点,又,即点E为的中点,又D为中点,在中,由三角形中位线定理得又平面,平面,平面(2)作CFAB,F垂足,因为,故F为中点,则直三棱柱,故面ABC面ABB1 A1,则CF面ABB1 A1,因为ABB1 A1为正方形,故A1B,又,面FCD,故【点睛】本题考查异面直线垂直的证明,考查考查线面平行的证明,考查空间想象能力,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养16.如图,在中,为边上的一点,(1)求边的长;(2)若的面积为,求角的值【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用同角三角函数基本关系得,进而求得,
10、再利用正弦定理求解即可(2)由正弦定理求,利用面积求得,再利用余弦定理和勾股定理求解即可【详解】(1)由,得由,得为锐角,则为钝角,即角B为锐角,由,得则在中,由正弦定理得,即,解得,(2)在中,由正弦定理得,即,解得由的面积为480,得,解得即由余弦定理得,在中,则由勾股定理的逆定理可知,【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,考查同角三角函数基本关系,准确计算是关键,是中档题17.已知函数(1)当时,求的极值;(2)若在上是增函数,求的取值范围【答案】(1)的极小值;(2)【解析】试题分析:(1)当时,对函数求解,由导数确定函数的单调性,进而可求得函数的极值与极值点;(2)在上是增函数,则在上
11、恒成立,从而,对任意的恒成立,即刻求解实数的取值范围试题解析:(1),当时,在内单调减,在内单调增,在时,有极小值所以是的极小值(2)由(1)知,在上是增函数,对任意的恒成立,即,对任意的恒成立,当时,显然成立,当时,设,即,即,解得:,又,当时,即,对任意的恒成立,即,而当时,解得:,综上所述,实数的取值范围是考点:利用导数求解函数的极值;利用导数研究函数的单调【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用,解答中在上是增函数,转化为,对任意的恒成立是解答的关键,着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力,属于中档试题18.已知和满足,(1)证明:是等比数列,是等差数列;(2)求和的通项公式;(3)设,记,证明:【答案】(1)证明见解析(2),(3)证明见解析【解析】【分析】(1)由,两式相加减即可证明(2)由(1)解方程组得和的通项公式(3)利用错位相减求得,结合数列单调性即可证明【详解】(1)(其中),(其中),由与相加得,即(其中),又,故是以1为首项为公比的等比数列由与相减得,即(其中),又,则数列是以1为首项,以2为公差的等差数列(2)由(1)知,(其中),(其中),得,即,(),(3)(其中),即由上下两式错位相减得即即,也即又,即(其中),又因为函数(其中)