《江苏省常州市2020届高三数学上学期期中试题【含解析】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省常州市2020届高三数学上学期期中试题【含解析】（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、江苏省常州市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方3所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上，否则答题无效一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案写在答题卷对应栏目）1.已知集合，若，则_【答案】0或3【解析】【分析】由两集合的并集为A，得到B为A的子集，可得出m3或m，即可求出m的值【详解】ABA，BA，m3或m，解得：m0或3或1（舍去）故答案为：0或3【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本
2、题型，注意互异性的检验2.已知的定义域为，则的定义域为_.【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以-1log2x1，所以. 故f(log2x)的定义域为.3.已知函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（1）1，利用函数的单调性可得1x31，解可得x的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，f（x）为奇函数，若f（1）1，则f（1）1，f（x）在（，+）单调递减，且1f（x3）1，即f（1）f（x3）f（1），则有1x31，解可得2x4，即x的取值范围是2，4；故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是
3、将1f（x2）1转化为关于x的不等式4.已知在等差数列中，若，则_【答案】35【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，代入所求的式子化简求值即可【详解】由等差数列的性质得，7a435，故答案为：35【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题5.设是周期为的偶函数，当时，则_【答案】1【解析】【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论【详解】f（x）是周期为1的偶函数，f（）f（4）f（）f（），当0x1时，f（x）4x（1x），f（）4（1），故f（），故答案为：【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转
4、化是解决本题的关键6.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于_【答案】8【解析】【分析】函数图象平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果【详解】f（x）的周期T，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以k，kZ令k1，可得8故答案为：8【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型7.已知为第二象限角，sincos，则cos2_【答案】【解析】sincos，(sincos)2，2sincos，即sin2.为第二象限角
5、且sincos0，2k2k(kZ)，4k20或0，解得c-2或c可得c的取值范围是【点睛】本题考查导数运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题10.已知在正四棱锥中，若，则当该棱锥的体积最大时，它的高为_【答案】【解析】【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值【详解】设底面边长为a，则高h，所以体积Va2h，设y24a4a6，则y96a33a5，当y取最值时，y96a33a50，解得a0或a时，当a,则a时，体积最大，此时h，故答案为：【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函
6、数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题11.若在是减函数，则a的最大值是_.【答案】【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，kZ，得，kZ，取k0，得f（x）的一个减区间为，结合已知条件即可求出a的最大值【详解】解：f（x）cosxsinx（sinxcosx），由，kZ，得，kZ，取k0，得f（x）的一个减区间为，由f（x）在a，a是减函数，得，则a的最大值是故答案为：【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题12.已知，为正实数，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用结合基本不等式求解即可【详解】由题则则则当且
7、仅当即等号成立故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13.已知圆的半径为，若、为该圆的两条切线，其中、为两切点，则的最小值_【答案】【解析】【分析】结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答【详解】如图所示：设OPx（x0），则PAPB，APO，则APB2，sin，|cos2（12sin2）（x24）（1）x212812，当且仅当x2时取“”，故的最小值为812故答案为：【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力
8、14.设函数（且为常数，其中为自然对数的底数），则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可【详解】，故函数为奇函数又 故函数为增函数，等价为 或，解得，故不等式的解集是故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题二、解答题：（本大题共6小题，共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在直三棱柱中，为的中点，为上的一点，且（1）求证：平面；（2）求证：【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得即可证明（2）作CFAB，F为垂足，证
9、明面FCD,能证明DECD【详解】（1）几何体为直三棱柱，四边形为矩形设，则点O为的中点，又，即点E为的中点，又D为中点，在中，由三角形中位线定理得又平面，平面，平面（2）作CFAB，F垂足，因为，故F为中点，则直三棱柱，故面ABC面ABB1 A1，则CF面ABB1 A1，因为ABB1 A1为正方形，故A1B，又，面FCD,故【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养16.如图，在中，为边上的一点，（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得，进而求得，
10、再利用正弦定理求解即可（2）由正弦定理求，利用面积求得，再利用余弦定理和勾股定理求解即可【详解】（1）由，得由，得为锐角，则为钝角，即角B为锐角，由，得则在中，由正弦定理得，即，解得，（2）在中，由正弦定理得，即，解得由的面积为480，得，解得即由余弦定理得，在中，则由勾股定理的逆定理可知，【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题17.已知函数（1）当时，求的极值；（2）若在上是增函数，求的取值范围【答案】（1）的极小值；（2）【解析】试题分析：（1）当时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）在上是增函数，则在上
11、恒成立，从而，对任意的恒成立，即刻求解实数的取值范围试题解析：（1），当时，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值所以是的极小值（2）由（1）知，在上是增函数，对任意的恒成立，即，对任意的恒成立，当时，显然成立，当时，设，即，即，解得：，又，当时，即，对任意的恒成立，即，而当时，解得：，综上所述，实数的取值范围是考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中在上是增函数，转化为，对任意的恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题18.已知和满足，（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式；（3）设，记，证明：【答案】（1）证明见解析（2），（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由，两式相加减即可证明（2）由（1）解方程组得和的通项公式（3）利用错位相减求得，结合数列单调性即可证明【详解】（1）（其中），（其中），由与相加得，即（其中），又，故是以1为首项为公比的等比数列由与相减得，即（其中），又，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列（2）由（1）知，（其中），（其中），得，即，（），（3）（其中），即由上下两式错位相减得即即，也即又，即（其中），又因为函数（其中）
