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1、1习题 11-1已知质点位矢随时间变化的函数形式为 其中 为常量求:(1)质点的(cosin)r=Rttj轨道;(2)速度和速率。解:(1) 由 ,知: , ,(cosin)r=RttjxsyR消去 t 可得轨道方程: 22xy质点的轨道为圆心在(0,0)处,半径为 R 的圆;(2)由 ,有速度:dvtsicosvttj而 ,有速率: 。122(n)()R1-2已知质点位矢随时间变化的函数形式为 ,式中 的单位为 m, 的单位为 s。求:4(3rtitjrt(1)质点的轨道;(2)从 到 秒的位移;(3) 和 秒两时刻的速度。0t10解:(1)由 ,可知 ,24(3)rtij2xy消去 t 得
2、轨道方程为: ,质点的轨道为抛物线。x2y(2)由 ,有速度:dv8vtij从 到 秒的位移为:0t11100(82)42rdtijdtij(3) 和 秒两时刻的速度为: , 。t )v1-3已知质点位矢随时间变化的函数形式为 ,式中 的单位为 m, 的单位为 s.求:(1)2rtijrt任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。解:(1)由 ,有: , ,有: ;drvt2vtijdvatai(2)而 ,有速率: 122() ,利用 有: 。tad21ttn221nt1-4一升降机以加速度 上升,在上升过程中有一螺钉从天花板上松落,升降机的天花板与底板相距为a,求螺钉从
3、天花板落到底板上所需的时间。解法一:以地面为参照系,坐标如图,设同一时间内螺钉下落的距离为 ,升降机上升的高度为 ,运1y2y动方程分别为(1)210yvtg(2)2a(3)1d(注意到 为负值,有 )y1y联立求解,有: 。2tga解法二:以升降机为非惯性参照系,则重力加速度修正为 ,ga利用 ,有: 。21dgtdt21-5一质量为 的小球在高度 处以初速度 水平抛出,求:mh0v(1)小球的运动方程;(2)小球在落地之前的轨迹方程;(3)落地前瞬时小球的 , , 。drtt解:(1)如图,可建立平抛运动学方程:, , ;0xvt21yhgt201()rvtihgtj(2)联立上面两式,消
4、去 t 得小球轨迹方程: (为抛物线方程) ;20xyhv(3) , ,201()rvtihgj0drigtjt即: ,jdt在落地瞬时,有: , 2g02rvig又 , 。v2220()xyv12200()ghtdv1-6路灯距地面的高度为 ,一身高为 的人在路灯下以匀速 沿直线行走。试证明人影的顶端作匀1hh1速运动,并求其速度 .2v证明:设人向路灯行走,t 时刻人影中头的坐标为 ,足的坐标为 ,1x2x由相似三角形关系可得: ,121xh 12hx两边对时间求导有: ,考虑到: ,12dxdxtht21dxvt知人影中头的速度: (常数) 。212vv影1-7一质点沿直线运动,其运动方
5、程为 (m),在 t 从 0 秒到 3 秒的时间间隔内,则质点24tx走过的路程为多少?解:由于是求质点通过的路程,所以可考虑在 03s 的时间间隔内,质点速度为 0 的位置:若 解得 ,tdtxv40vt1m2)2(01 8)4(33 。xx211-8一弹性球直落在一斜面上,下落高度 ,斜面对水平的倾角 ,问它第二次碰到斜面c0h30的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等,碰撞时人射角等于反射角) 。xy0vhOO1x21hh3解:小球落地时速度为 ,建立沿斜面的直角坐标系,以小球第一次落地点为坐标原点如图示,ghv20 (1)006cosvx 2006cos16costt
6、x (2)iny 0iningvy第二次落地时: ,代入(2)式得: ,vt0所以: 。2001cos6cos6480hxvtgcmg1-9地球的自转角速度最大增加到若干倍时,赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为 ,设赤道上重力加速度为 。2s/m4.3 2/s.9解:由向心力公式: ,2FR向赤道上的物体仍能保持在地球必须满足: ,而现在赤道上物体的向心力为:Fg向 Fma向 098016.73.4mga1-10已知子弹的轨迹为抛物线,初速为 ,并且 与水平面的夹角为 。试分别求出抛物线顶点及落0v0地点的曲率半径。解:(1)抛物线顶点处子弹的速度
7、,顶点处切向加速度为 0,法向加速度为 。cosx g因此有: ,22011(cos)vg;201cosv(2)在落地点时子弹的 ,由抛物线对称性,知法向加速度方向与竖直方向成 角,则: ,0v cosnag有: 则: 。2cosg20cosg1-11飞机以 的速度沿水平直线飞行,在离地面高 时,驾驶员要把物品投到前方/m10 m98h某一地面目标上,问:投放物品时,驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解:设此时飞机距目标水平距离为 有:x, tvx02gth联立方程解得: , 。mx4705.7arctnh1-12设将两物体 和 分别以初速 和 抛掷出去 与水
8、平面的夹角为 ; 与水平面的夹角为ABAvBAvBv,试证明在任何时刻物体 相对物体 的速度是常矢量。证明:两个物体初速度为 和 ,在任意时刻的速度为:0()cos(sin)AAvtigtjBBvgyx0v0vxna0vxyhO40000()(coss)(sinsi)BAABABAvtvvivj与时间无关,故 相对物体 的速度是常矢量。1-13一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动,物体初速为 ,而气球以速度s/m.490v匀速上升,问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少?s/m6.19v解:物体在任意时刻的速度表达式为: gtvy0故气球中的观察者测得物体的速度
9、代入时间 t 可以得到第二秒末物体速度: , (向上)29.8s第三秒末物体速度: 3v第四秒末物体速度: (向下) 。49.8ms1-14质点沿 轴正向运动,加速度 , 为常数设从原点出发时速度为 ,求运动方程xkva 0v。)(tx解: 由于是一维运动,所以,由题意: ,dt分离变量并积分有: ,得:001vk tkev0又 , 积分有:tkedtxdtxt )1(0tv1-15跳水运动员自 跳台自由下落,入水后因受水的阻碍而减速,设加速度 , .求m 2kva1m40运动员速度减为入水速度的 10%时的入水深度。解:取水面为坐标原点,竖直向下为 轴。x跳水运动员入水时的速度: ,smgh
10、v1420入水后速度减为入水速度的 10%时: ,0.tv列式: ,考虑到 ,有:2dvktdtxdxvtk2,xv010 m76.510ln1-16一飞行火箭的运动学方程为: ,其中 b 是与燃料燃烧速率有关的量,)1ln()ttbutx为燃气相对火箭的喷射速度。求:(1)火箭飞行速度与时间的关系;( 2)火箭的加速度。u解:看成一维运动,直接利用公式: , 有:dvtvat(1) , (2))1ln(btudtxvbu11-17. 质点的运动方程为: , , ,式中 为正的常量。求:cosRtsinyt2hzt、hR(1)质点运动的轨道方程;(2)质点的速度大小;(3)质点的加速度大小。5
11、解:(1)轨道方程为: , ,这是一条空间螺旋线。22Ryxthz空间螺旋线在 平面上的投影,是圆心在原点,半径为 R 的圆,其螺距为 。Oy h(2) , , ,tdtvxsincosydvtt 2zdvt ;2224hRzyx(3) tacostaysin0za 22yx6思考题 11-1点作曲线运动,其瞬时速度为 ,瞬时速率为 ,平均速度为 ,平均速率为 ,则它们之间的下vvvv列四种关系中哪一种是正确的?(1) ;(2) ;(3) ;(4)v, , , ,答:(3)1-2质点的 关系如图,图中 , , 三条线表示三个速度不同的运动问txabc它们属于什么类型的运动?哪一个速度大?哪一个
12、速度小? 答:匀速直线运动; 。abcv1-3结合 图,说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。t答:平均加速度表示速度 在 时间内的平均变化率,它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向,t而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。1-4运动物体的加速度随时间减小,而速度随时间增加,是可能的吗?答:是可能的。加速度随时间减小,说明速度随时间的变化率减小。 1-5如图所示,两船 和 相距 ,分别以速度 和 匀速直线行驶,它ABRAvB们会不会相碰?若不相碰,求两船相靠最近的距离图中 和 为已知。答:方法一:如图,以 A 船为参考系,在该参考系中船 A 是静止的,而船 B的速度 。vB是船 B
13、 相对于船 A 的速度,从船 B 作一条平行于 方向的直线 BC,它不与船 A 相交,这表明两船不v会相碰.由 A 作 BC 垂线 AC,其长度 就是两船相靠最近的距离 minrsinmiRr作 FD/AB,构成直角三角形 DEF,故有: ,vABsinisi在三角形 BEF 中,由余弦定理可得: )co(22Av。RvvrBAAB)cos(2insi2min 方法二:两船在任一时刻 的位置矢量分别为:tjir)in)cos(BA(BtsBvvR ji )sini()co- tvtABA 任一时刻两船的距离为: 22snscos( vrB令: 0)dt RvvABABAB 22)sini()c
14、oss(c。r )ni2min 1-6若质点限于在平面上运动,试指出符合下列条件的各应是什么样的运动? 7(1) , ;(2) , ;(3) ,0drtt0dvtt0datt答:(1) 质点作圆周运动; (2) 质点作匀速率曲线运动; (3) 质点作抛体运动。1-7一质点作斜抛运动,用 代表落地时,1t(1)说明下面三个积分的意义: ;111000d,dtttxyvv(2)用 和 代表抛出点和落地点位置,说明下面三个积分的意义:AB。BAr,r答: 表示物体落地时 x 方向的距离,tvtxd10表示物体落地时 y 方向的距离,tty1表示物体在 时间内走过的几何路程,10dtv1t抛出点到落地点的位移,BAr抛出点到落地点位移的大小,d抛出点到落地点位移的大小。BAr