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1、数学试卷 一、选择题 1. 已知集合 |lg21Axx, 集合 2 |230Bx xx, 则AB等于 ( ) A.2,12 ? B.( 1,3) C.1,12 D.(2,3) 2. 已知复数z满足3izi,z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3. 计算sin35 sin65cos145 sin25等于 ( ) A. 3 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 3 2 4. 已知, l m是空间两条不重合的直线,是一个平面 , 则“m,l与m无交点”是 “lmP,l”的 ( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不
2、必要条件 5. 某年级的全体学生参加数学测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组依次 为:20,40),40,60),60,80),80,100,若低于 60 分的人数是 :150, 则该年级的学生人数是 ( ) A.600 B.550 C.500 D.450 6. 函数 2 lnlnfxxexex的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 7. 根据程序框图, 运行相应程序 , 则输出n的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8. 设抛物线 2 20ypx p的焦点为F, 过F点且倾斜角为 4 的直线l与抛物线相交于,A B两 点, 若以AB为直径的圆过点,2 2 p , 则
3、该抛物线的方程为( ) A. 2 2yx B. 2 4yx C. 2 8yx D. 2 16yx 9. 某几何体的三视图如图所示, 其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成, 侧视图由半圆和等腰直 角三角形组成 , 俯视图的实线部分为正方形, 则该几何体的表面积为( ) A.34 2 B. 421 C.42 D.41 10. 设函数sin0,0fxx的最小正周期为, 且 8 fxf , 则下列说法 不正确的是 ( ) A.( )f x的一个零点为 8 B.( )f x的一条对称轴为 8 x C.fx在区间 35 , 88 上单调递增 D.+ 8 fx是偶函数 11. 已知函数( )f x是定义在R
4、上的偶函数 , 当0 x时,fx为减函数 , 则不等式 13 2 log25log 8fxf的解集为 ( ) A. 541 | 216 xx B. 13 | 2 x x C. 541 | 26 xx或 13 2 x D. 5 | 2 x x或 4113 162 x 12. 已知F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点 , 过点F向C的一条渐近线引垂线, 垂足 为A, 交另一条渐近线于点B. 若OFFB, 则C的离心率是 ( ) A. 2 3 3 B. 6 2 C.2 D. 2 二、填空题 13. 若变量, x y满足 310 3110 2 xy xy y , 则2z
5、xy的最大值为 _ 14. 在钝角三角形ABC中,3,3,30ABBCA, 则ABC的面积为 _ 15. 如图 , 在ABC中,ADAB,2,1DCBDAD uuu ru uu r uuu r , 则AC AD uuu r uuu r 的值为 _ 16. 已知函数 ln,0 21,0 x x fx xx , 若方程fxax有三个不同的实数根, 则a的取值范围是 _ 三、解答题 17. 已知数列 n a为等差数列 , n S为其前 n项和 , 135 8,30aaS 1. 求数列 n a的通项公式 ; 2. 已知数列 n b满足24 n nn ba, 求数列 n b的前n项和 n T 18. 如
6、图 , 在三棱柱 111 ABCA B C中, 四边形 11 AA B B为菱形 ,ABACBC D、E、F分别为 1111 ,A B CCAA的中点 . 1. 求证 :DE P平面 1 A BC; 2. 若平面ABC平面 11 AA B B, 求证 : 1 ABCF 19. 某产品按行业质量标准分成五个等级,A B C D E, 现从一批产品中随机抽取20件, 对其等级 进行统计分析 , 得到频率分布表如下: 等级 ABCDE 频数ab0.45c0.1 1. 若所抽取的20件产品中 , 等级为A的恰有2件, 等级为B的恰有4件, 求c的值 ; 2. 在1的条件下 , 将等级为 A的2件产品记
7、为 12 ,A A, 等级为B的4件产品记为 1234 ,B BBB, 现从 121234 ,A ABBBB这6件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同), 写出所有可能的 结果 , 并求这两件产品的等级不相同的概率 20. 设 12 ,FF分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点 ,M是椭圆C上一点 , 且 2 MF与 x轴垂直 , 直线 1 MF在y轴上的截距为 3 4 , 且 21 3 MF=MF 5 . 1. 求椭圆C的方程 ; 2. 已知直线:lykxt与椭圆C交于E、F两点 ,且直线l与圆 22 7712xy相切 , 求OE OF u uu r
8、uu u r (O为坐标原点 ) 21. 已知函数( )lnf xaxx 1. 讨论( )f x的单调性 ; 2. 当1,0,1ax时,2 x fxx em恒成立 , 求正整数m的最大值 22. 在直角坐标系xOy中, 曲线 1 C的参数方程为 3 2 5 4 2 5 xt yt (t为参数 ). 曲线 22 2: 40Cxyy, 以坐标原点为极点, 以x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 若点P的极坐标为 22, 4 1. 求曲线 2 C的极坐标方程 ; 2. 若 1 C与 2 C相交于M、N两点 , 求 11 PMPN 的值 . 23. 已知2fxxm mR 1. 当0m时, 求不等式25fxx
9、的解集 2. 对于任意实数x, 不等式 2 22xfxm成立 , 求m的取值范围 . 参考答案 1. 答案： C 解析： 2. 答案： A 解析： 3. 答案： D 解析： 4. 答案： B 解析： 5. 答案： C 解析： 6. 答案： A 解析： 7. 答案： B 解析： 8. 答案： B 解析： 9. 答案： A 解析： 由三视图可得该几何体的上半部分是底面圆半径为1、高为 2 的半圆柱 , 下半部分为正四棱锥, 底面 边长为 2、斜高为2, 则该几何体的表面积为 1 2 4223 4 2 2 . 10. 答案： C 解析： 11. 答案： C 解析： 12. 答案： A 解析： 13.
10、 答案：9 解析： 14. 答案： 3 3 4 解析： 15. 答案：3 解析： 16. 答案： 1 0, e 解析： 17. 答案： 1. 设等差数列 n a的公差为d 联立 13 5 8 30 aa S , 即: 1 1 228 5 1030 a ad 解得 : 1 2 2 a d 2(1) 22 () n ann nN 2. 由2442 nn nn ban可得4 n n bn 231 1 42 43 4(1) 44 nn n TnnL 2311 41 42 4(2) 4(1)44 nnn n TnnnL 得 2311 3444444 nnn nTnL 14(1 4 ) 4 14 n n
11、n 114 4 33 n n 1314 4 99 n n n T 解析： 18. 答案： 1. 证明 : 设 11 ,AB A B相交于点O, 连接,OD OC 因为,O D分别为 111 ,A B A B中点 , 所以 1 ODBBP, 且 1 1 2 ODBB 因为 11 AACCP, 11 AACC,E是 1 CC的中点 所以,CEOD CEODP, 即ODEC是平面四边形 所以OCDEP 又OC平面 1 A BC,DE平面 1 A BC 所以DE P平面 1 A BC 2. 证明 : 因为四边形 11 AA B B为菱形 . 所以 11 ABA B 取AB中点M, 连接,MF MC,
12、又,MF分别为,AB AA. 的中点 . 所以 11 ,MFA B ABMFP, 因为平面ABC平面 11 AA B B. ABC为等边三角形, 所以CMAB 又CM平面ABC, 平面ABC平面 11 ,AA B BAB 所以CM平面 11 ,AA B B 1 CMAB 所以 1 AB平面CMF, 所以 1 ABCF 解析： 19. 答案： 1. 由题意可得 : 2 0.1 20 a, 4 0.2 20 b,1(0.10.2+0.45+0.1)=0.15c 2. 由题意可得 , 所有可能的结果为 121112131421 (,),(,),(,),(,),(,),(,)AAA BA BA BA
13、BA B, 222324121314232434 (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)ABABABBBB BBBBBBBBB共15种情况 , 任取两件产品中等级不同的共有8种情况 . 所以 , 任取两件产品等级不同的概率为 8 15 P 解析： 20. 答案： 1. 设直线 1 MF与y轴的交点为N 3 4 ON 2 MFx轴 在 12 F F中 2 1 2 ONMFP 2 3 2 MF 又 2121 3 2 , 5 MFMFa MFMF 2 33 42 MFa 2a 又 2 2 b MF a 2 3b 椭圈C的标准方程为 : 22 1 43 xy 2. 设
14、1122 (,),(,)E xyF xy, 联立 22 1 43 ykxt xy 整理可得 : 222 (34)84120kxktxt; 2 121222 8412 , 3434 ktt xxx x kk 22222 (8)4(34)(412)144481920ktkttk 解得 : 22 34tk 1212 OE OFx xy y uuu r uu u r 1212 ()()x xkxtkxt 22 1212 (1)()kx xkt xxt 222 222 2 222 (1)(412)834 343434 ktk ttk t kkk 22 2 712(1) 34 tk k 又直线l与圆 22
15、 7712xy相切 , 故有 : 2 12 7 1 b k 22 7 1 12 kb 22 2 7 712 12 0 7 41 12 bb OE OF b uuu r uu u r 解析： 21. 答案： 1. 由题意得函数( )f x的定义域为(0,) 易得 :( )1 aax fx xx 当0a时,( )0fx此时函数( )f x在(0,)上单调递减 当0a时, 令( )0fx, 解得0 xa, 则函数( )f x在0,a上单调递增 令( )0fx, 解得xa, 则函数( )f x在,a上单调递减 2. 当1,0,1ax时,ln(2) x xxx em恒成立 ,即(2)ln x mx ex
16、x恒成立 令( )(2)ln x F xx exx, 则 1 ( )(2)1 xx Fxex e x 1 (1) xx ex x 1 (1)() x x e x 0,1x 10 x 令 1 ( ) x h xe x 2 1 ( )0 x h xe x ( )h x在0,1上单调递增 又 1 2 0, (1)1 0 2 hehe 存在 0 1 ,1 2 x , 使 0 ()0h x 即 0 (0,)xx时,( )0Fx, 函数( )F x在 0 (0,)x上为减函数 当 0,1 xx时,( )0Fx, 函数( )F x在 0,1 x上为增函数 故 0 xx为函数( )F x的极小值点 , 亦是最小值点 0 ()0h x 0 00 0 1 ,ln x exx x 0 0000 ()(2)ln x F xxexx 000 0 1 (2)xxx x 0 0 2 21x x 令 2 ( )21
