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1、数学试卷 一、选择题 1. 若z的共轭复数,()2 (z f zizi i为虚数单位), 则(32 )fi等于 ( ) A.3i B.3i C.33i D.32i 2、已知等比数列 的前项和为, 且, 则数列的公比的值为 ( ) A、2 B、3 C、2 或-3 D、2 或 3 3、已知集合, 映射满足, 则这样 的映射个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4、已知，若那么与在同一 坐标系内的图像可能是 5、已知函数在上连续 , 则 A.2 B.1 C.0 D. 6、设 A,B 两地位于北纬的纬线上 , 且两地的经度差为, 若地球的半径为千米 , 且时速为 20 千米的轮船从A地到 B
2、地最少需要小时 , 则为 A.B.C.D. 7、已知为平面内的一个区域. 甲: 点; 乙: 点. 如果甲是乙的必要条件, 那么区域的面积 A.最小值为 2 B.无最大值 C.最大值为 2 D.最大值为 1 8、若一个四位数字的数, 前两位数字之积恰好等于后面两位数, 则称这个数为“吉积数”. 如 “0900”, “1909”, “9218”等都为“吉积数” . 某地汽车牌照某批次的号码前两位是固定的英文 字母 , 后面是四位数字, 丁先生买了新车,给汽车上牌照时最多有三次选择机会( 有放回地随机选择 号码 ). 丁先生选号时刚好是选这批号码的第一位, 如果他想选一个末尾数字没有4 的“吉积数”
3、, 则丁先生成功的最大概率最接近的值为 A.3% B.1% C.0.88% D.2.64% 9. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形, 阿基米德三角形 有一些有趣的性质,如: 若抛物线的弦过焦点, 则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上. 设抛物 线 2 2ypx0p, 弦AB过焦点 ,ABQ为其阿基米德三角形, 则ABQ的面积的最小值为 ( ) A. 2 2 p B. 2 p C. 2 2p D. 2 4p 10、若两条异面直线所成的角为, 则称这对异面直线为“理想异面直线对”, 在连结正方体各 顶点的所有直线中 , “理想异面直线对”的对数为 A.24 B
4、.48 C.72 D.78 二、填空题 11、若，则=_. 12、设直线与圆相交于两点 , 且, 则 _. 13、已知数列的通项公式为 _ 14、向量, , 满足, , , , 则 =_. 15、定义在R上的偶函数满足 : 对任意都有成立 ; ; 当且时, 都有. 则:( ) ; ( ) 若方程在区间上恰有 3 个不同实根 , 则实数的取值范围是 _. 三、解答题 16. 已知(cossin,3cos)mxxx u r ,(cossin,2sin)nxxx r , 其中0, 若函数 ( )f xm n rr ,且fx的对称中心到fx对称轴的最近距离不小于 4 1. 求w的取值范围 ; 2. 在
5、ABC中, ,a b c分别是角,A B C的对边 , 且1,2abc, 当w取最大值时 ,()1fA, 求 ABC的面积 . 17. 如图甲 ,直角梯形ABCD中,/ /ABCD,90DAB, 点M、N分别在AB、CD上 ,且 MNAB,MCCB,2BC,4MB, 现将梯形ABCD沿MN折起 , 使平面AMND与平面 MNCB垂直 (如图乙 ). 1. 求证 :/ /AB平面DNC; 2. 当DN的长为何值时 , 二面角DBCN的大小为30。 18、 ( 本小题满分13 分) 一个袋中有大小相同的标有1，2，3， 4，5，6 的 6 个小球，某人做如下 游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），
6、记下标号若拿出球的标号是3 的倍数，则得1 分， 否则得分 （）求拿4 次至少得2 分的概率； （）求拿4 次所得分数的分布列和数学期望 19、某工厂生产某种水杯, 每个水杯的原材料费、加工费分别为30 元、 m元(m 为常数 , 且 2m 3), 设每个水杯的出厂价为x 元(35x41), 根据市场调查, 水杯的日销售量与e x(e 为自然对数的底 数) 成反比例 , 已知每个水杯的出厂价为40 元时 , 日销售量为10 个. ( ) 求该工厂的日利润y( 元) 与每个水杯的出厂价x( 元) 的函数关系式 ; ( ) 当每个水杯的出厂价为多少元时, 该工厂的日利润最大, 并求日利润的最大值.
7、 20、设圆过点P(0,2), 且在轴上截得的弦RG的长为 4. (1) 求圆心的轨迹E的方 程; (2) 过点(0,1),作轨迹的两条互相垂直的弦、, 设、的中点分别为 、, 试判断直线是否过定点 ?并说明理由 . 21、已知抛物线的准线方程，与直线在第一象限相交于点 ，过作的切线，过作的垂线交 x 轴正半轴于点，过作的平行 线交抛物线于第一象限内的点，过作抛物线的切线，过作的垂线 交 x 轴正半轴于点，依此类推，在x 轴上形成一点列， ，设点的坐标为 （）试探求关于的递推关系式； （）求证：； （）求证： 参考答案 1. 答案： B 解析： 答案：2、 答案：3、 解析：略 答案：4、 解
8、析：略 答案：5、 解析：略 答案：6、 解析：略 答案：7、 解析：略 答案：8、 解析：略 9. 答案： B 解析： 答案：10、 解析：略 答案：11、 解析：略 答案：12、 答案：13、 解析：略 答案：14、 答案：15、 16. 答案： 1. 22 cossin2 3sincosfxm nwxwxwxwx u r r cos23 sin22sin2 6 wxwxwx , 0w 函数fx的周期 2 2 T ww , 由题意知 44 T 1 1 w 1w 又0w, 故w的取值范围是| 01 2. 由 1 知w的最大值为1,( )2sin(2) 6 f xx. ()1f A 1 sin
9、(2) 62 A 而 13 2 666 A, 5 2A 66 3 A 由余弦定理可知 222 cos 2 bca A bc 22 1bcbc 又2bc联立解得 1 1 b c 13 sin 24 ABC SbcA 解析： 17. 答案： 1. 2. 解法一 :过N作交NHBC延长线于H, 连DH, 平面AMND平面MNCB,DNMN, DN平面MBCN,BC平面MBCN, ,DNBCBC平面DNH 从而DHBC, DHN为二面角DBCN的平面角 . 由 4,2MBBC,90?MCB,知60?MBC, 3 3 4cos60?=33 sin 60?= 2 CNNH，, 由条件知 : 333 333
10、 tan, 33232 DN NHDDNNH NH 解法二 : 如图 , 以点N为坐标原点 , 以,NMNC ND所在直线分别作为x轴,y轴和z轴, 建立空间 直角坐标系Nxyz易得3,3,?NCMN 设DNa, 则(0,0,),(0,3,0),( 3, 4,0),( 3,0,0),( 3,0,)DaCBMAa. 设平面DBC的法向量 1 ( , , ),(0,3,),( 3,1,0)nx y z DCa CB uu u ruuu r , 则 1 1 30 30 DC nyaz CB nxy uuu r uuu r, 令1x, 则 3 3 3,yz a , 1 3 3 ( 1,3,)n a .
11、 又平面NBC的法向量 2 (0,0,1)n. 12 12 12 2 3 3 3 cos, 227 131 nn a n n n n a 即: 2 2 6279 13, 4 a aa , 又 3 0, 2 aa. 即 3 2 DN. 解析： 答案：18、 解析：（）设拿出球的号码是3 的倍数的为事件A，则，拿 4 次至 少得 2 分包括 2 分和 4 分两种情况 ， （）的可能取值为，则 ； ； 分布列为 -4 -2 0 2 4 p 答案：19、 答案：20、 解析：(1) 设圆心的坐标为, 如图过圆心作轴于 H, 则H为RG的中点 ,在中, 3 分 即6分 (2) 设, 直线AB的方程为( ) 则- - 由 - 得, , 9分 点在直线上, . 点 M的坐标为. 10 分 同理可得 : , , 点的坐标为. 11 分 直线的斜率为, 其方程为 ,整理得, 13 分 显然 , 不论为何值 , 点均满足方程 , 直线恒过定点. 14分 答案：21、 解析：（ I）由题意知： 由题意知联立得：，. 切线的斜率为，直线的斜率， 直线的方程为 令，得： （）由已知易得，直线的斜率， 直线的方程为：令得 当时，即： 当时，故 ( 用数学归纳法证明亦可) （III）由（ II ）知：. . (12分)
