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1、数学试卷 一、选择题 1. 若集合|320 ?AxRx, 2 |230BxR xx, 则AB ( ) A.|1xR x B. 2 | 1 3 xRx C. 2 |3 3 xRx D.|3xR x 2. 若复数()(34 )aii的实部与虚部相等, 则实数a ( ) A.7 B.-7 C.1 D.-1 3. 执行如图所示的程序框图, 输出的 k 值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4. 若函数 2 ,0 3 ( ) ( ),0 x x f x g x x 是奇函数 , 则 1 2 f ( ) A. 2 3 3 B. 2 3 3 C. 2 9 D. 2 9 5. 正三棱柱的三视图如图所示
2、, 该正三棱柱的表面积是( ) A.3 3 B. 9 3 2 C.63 D.62 3 6. 已知二次函数 2 ( )f xaxbxc. 则“0a”是“( )0fx恒成立”的 ( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7. 已知O是正方形ABCD的中心 . 若DOABAC u uu ruu u ruuu r , 其中,R, 则 ( ) A.2 B. 1 2 C.2 D.2 8. 如图 , 在长方体 1111 ABCDA B C D中, 1 2AAAB,1BC, 点P在侧面 11 A ABB上 .满足到 直线 1 AA和CD的距离相等的点P ( )
3、 A.不存在B.恰有 1 个C.恰有 2 个D.有无数个 二、填空题 9. 函数 1 ( ) ln f x x 的定义域是 _ 10. 已知,x y满足条件 1 1 10 xy xy x , 则2zxy的最小值为 _ 11. 已知抛物线 2 8yx的焦点与双曲线 2 2 2 1(0) x ya a 的一个焦点重合, 则a_; 双曲线的渐近线方程是_ 12. 在ABC中,7b,5c, 2 3 B, 则a_ 13. 能够说明“存在不相等的正数,a b, 使得abab”是真命题的一组,a b的值为 _ 14. 某班共有学生40 名, 在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项, 有些人会其中
4、 的两项 , 没有人三项均会. 若该班 18 人不会打乒乓球,24 人不会打篮球 ,16 人不会打排球 , 则该班会 其中两项运动的学生人数是_ 三、解答题 15. 设等差数列 n a的公差不为0, 2 1a, 且 236 ,aa a成等比数列 1. 求 n a的通项公式 ; 2. 设数列 n a的前n项和为 n S, 求使35 n S成立的n的最小值 16. 函数( )2coscos 3 f xxxm的部分图象如图所示 1. 求m的值 ; 2. 求 0 x的值 17. 某企业2017年招聘员工 , 其中,A B C D E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例( 精确 到1%) 如下 : 岗
5、位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女 A269167 0 62 0 40 B4012 0 30 0 202 C17757 0 32 0 184 D4426 0 59 0 38 E32 0 67 0 3 总计533264 0 50 0 467 1. 从表中所有应聘人员中随机选择 1人, 试估计此人被录用的概率 ; 2. 从应聘E岗位的6人中随机选择2人. 记X为这2人中被录用的人数, 求X的分布列和数学期望; 3. 表中,A B C D E各岗位的男性、女性录用比例都接近( 二者之差的绝对值不大于5%), 但男性 的总录用比例却明显高于女性的总录用比例. 研究发现 , 若只考虑其
6、中某四种岗位, 则男性、女性的 总录用比例也接近,请写出这四种岗位.( 只需写出结论) 18. 如图1, 在ABC中 ,D E分别为,AB AC的中点 ,O为DE的中点 , 2 5ABAC,4BC. 将ADE沿DE折起到 1 A DE的位置 , 使得平面 1 A DE平面 BCED, 如图2 1. 求证 : 1 AOBD; 2. 求直线 1 AC和平面 1 A BD所成角的正弦值 3. 线段 1 AC上是否存在点F, 使得直线DF和BC所成角的余弦值为 5 3 ?若存在 , 求出 1 1 A F AC 的值 ; 若不存在 ,说明理由 19. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab
7、 的离心率为 2 2 , 以椭圆C的任意三个顶点为顶点的三角形 的面积是2 2 1. 求椭圆C的方程 ; 2. 设A是椭圆C的右顶点 , 点B在x轴上 . 若椭圆C上存在点P, 使得90APB o , 求点B横坐标 的取值范围 . 20. 已知函数 1 ( )ln x f xeax x ，其中aR 1. 若曲线( )yf x在1x处的切线与直线 x y e 垂直，求a的值； 2. 当(0,ln 2)a时，证明 :( )f x存在极小值 参考答案 1. 答案： D 解析： 2. 答案： B 解析： 3. 答案： C 解析： 4. 答案： A 解析： 5. 答案： D 解析：根据几何体的三视图得该
8、几何体是底面为正三角形，边长为2，高为 1 的正三棱柱， 所以该三棱柱的表面积为 故答案为： D 6. 答案： B 解析： 7. 答案： A 解析： 8. 答案： B 解析：设P到AB的距离为x, 到 1 AA的距离为y, 则P到直线CD的距离为 2 1x, y 2 1yx, 即 22 11 ,yxy又01y1,0,yx此时只有一个B点满足 , 故选 :B. 9. 答案：(0,1)(1,) 解析： 10. 答案：5 解析： 11. 答案：3;30 xy 解析： 12. 答案：3 解析： 13. 答案： 3 ,3 2 解析： 14. 答案： 22 解析： 15. 答案： 1. 设等差数列 n a
9、的公差为d,0d, 因为 236 ,aa a成等比数列 , 所以 2 326 aaa . 即 2 (1)14dd, 解得 2d, 或0d ( 舍去 ). 所以 n a的通项公式为 2 (2)23 n aandn 2. 因为23 n an, 所以 2 121 ()() 2 22 nn n n aan aa Snn 依题意有 2 235nn, 解得7n. 使35 n S成立的n的最小值为8. 解析： 16. 答案： 1. 依题意 , 有 2 1 3 f , 所以 2 2coscos1 33 m, 解得 1 2 m. 2. 因为 1 ( )2coscos 32 f xxx x 131 2coscos
10、sin 222 xxx 2 1 3 sincoscos 2 xxx 31 sin 2cos2 22 xxsin 2 6 x 所以( )f x的最小正周期 2 2 T 所以 0 27 326 x 解析： 17. 答案： 1. 因为表中所有应聘人员总数为5334671000, 被该企业录用的人数为264 169433, 所以从表中所有应聘人员中随机选择 1人 , 此人被录用的概率约为 433 1000 P 2.X可能的取值为0,1,2 因为应聘 E岗位的6人中 , 被录用的有4人 , 未被录用的有2人, 所以 2 2 2 6 1 (0) 15 C P X C , 11 24 2 6 8 (1) 1
11、5 C C P X C , 2 4 2 6 2 (2) 5 C P X C 所以X的分布列为 : X012 P 1 15 8 15 2 5 1824 ()012 151553 E X 3. 这四种岗位是:,B C D E 解析： 18. 答案： 1. 证明 : 因为在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点 , 所以DEBCP,ADAE. 所以 11 A DA E, 又O为DE的中点 , 所以 1 A ODE 因为平面 1 A DE平面BCED, 且 1 AO平面 1 A DE, 所以 1 AO平面BCED, 所以 1 AOBD. 2. 取BC的中点G, 连接OG, 所以OEOG. 由1得 11
12、 ,AOOE AOOG,. 如图建立空间直角坐标系Oxyz. 由题意得 , 1(0,0, 2), (2,2,0),(2, 2,0),(0, 1,0)ABCD. 所以 111 (2, 2, 2),(0, 1, 2),(2,2,2)ABADAC uuu ru uu u ruuur . 设平面 1 A BD的法向量为( , , )nx y z, 则 1 1 0 0 n A B n A D uu ur uu uu r 即 2220 20 xyz yz 令1x, 则2y,1z, 所以1,2, 1n. 设直线 1 AC和平面 1 A BD所成的角为, 则 1 1 1 2 2 sincos, 3 n AC
13、n AC n AC u uu r uuur uuu r. 所以直线 1 AC和平面 1 A BD所成角的正弦值为 2 2 3 . 3. 线段 1 AC上存在点F适合题意 . 设 11 AFAC uuu u ruuur , 其中0,1. 设 111 (,)F xy z, 则有 111 (,2)(2,2 , 2 )F xy z, 所以 111 2 ,2 ,22xyz, 从而(2 ,2,22 )F, 所以(2,21,22 )DF uuu r , 又(0, 4,0)BC uuu r , 所以 222 4 21 cos, 4(2 )(21)(22 ) DFBC DF BC DFBC uuu r uuu
14、r u uu r u uu r uu u r u uu r. 令 222 21 5 3 (2)(21)(22 ) , 整理得 2 3720, 解得 1 3 , 舍去2. 所以线段 1 AC上存在点F适合题意 , 且 1 1 1 3 A F AC 解析： 19. 答案： 1. 设椭圆C的半焦距为c. 依题意 , 得 2 2 c a ,2 2ab, 且 222 abc 解得2,2ab. 所以椭圆C的方程为 22 1 42 xy . 2. “椭圆C上存在点P, 使得90APB o ”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P, 使得 0PA PB u u u r uuu r 成立”. 依题意 ,(2,0)
15、A. 设( ,0)B t,(, )P m n, 则 22 24mn, 且(2,) (,)0mntmn, 即 2 (2)()0m tmn 将 2 24 2 m n代入上式 , 得 2 4 (2)()0 2 m m tm. 因为22m, 所以 2 0 2 m tm, 即22mt 所以2222t, 解得20t, 所以点B横坐标的取值范围是( 2,0) 解析： 20.1.( )f x的导函数为 2 111 ( )ln xx fxeaxe xxx 2 21 ln x eax xx 依题意，有(1)(1)feae, 解得 2. 由 2 21 ( )ln x fxeax xx 及0 x e知 ,( )fx与
16、 2 21 lnax xx 同号 令 2 21 ( )lng xax xx , 则 22 33 22(1)1 ( ) xxx g x xx 所以对任意(0,)x，有( )0g x，故( )g x在(0,). 单调递增 因为(0,ln 2)a，所以(1)10ga， 11 ln0 22 ga ， 故存在 0 1 ,1 2 x ，使得 0 ()0g x ( )f x与( )fx在区间 1 ,1 2 上的情况如下： x 0 1 , 2 x 0 x 0 (,1)x ( )fx 0 ( )f x 极小值 Z 所以( )f x在区间 0 1 , 2 x 上单调递减，在区间 0 (,1)x上单调递增 所以( )f x存在极小值 0 ()0f x
