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1、数学试卷 一、填空题 1.已知集合1,0,31A，|0,RBx xx,则ABI . 2.已知复数 (2i)(1i)a的实部为0,其中 i 为虚数单位 ,则实数 a 的值是 _. 3.函数2log1yx的定义域为 . 4.已知直线 1: 210laxya和 2:3 (2)50lxay平行，则实数a 的值为 . 5.设命题: 4p x;命题 2 :540q xx,那么p是q的条件 .（选填 “ 充分不必要 ” 、 “ 必要不 充分 ” 、“充要 ” 、“既不充分也不必要” ） 6.在ABC中，角,A B C的对边分别为, ,a b c, 2,2, 4 abA,则B . 7.已知函数 2 log,
2、0 ( ) 22,0 x x f x xx ,若 1 ( ) 2 f a,则实数a . 8.设曲线( )lnf xaxx 的图象在点(1, (1)f处的切线斜率为2,则实数a的值为 . 9.若“ 1 ,2 2 x，使得 2 210 xx成立 ” 是假命题，则实数的取值范围是 . 10.在平面直角坐标系xOy 中，将函数 sin(2) 3 yx的图象向右平移 (0) 2 个单位长度后 ,得到 的图象经过坐标原点，则的值为 . 11.已知 4 cos(),00 x xx f x x ，若关于x的方程 |( ) |50f xax恰有三个不同的实数解， 则满足条件的所有实数a的取值集合为 . 二、解答
3、题 15.己知,为钝角，且 33 sin,cos2 55 . (1)求 tan的值： (2)求 cos() 的值 . 16.已知 |4,|3,(23 )(2)43ababab rrrrrr . (1)求 a r 与 b r 的夹角； (2)求 |ab rr ； (3)若 ()( )abab rrrr ,求实数的值 . 17.在ABC中, ,a b c分别为角, , A B C所对边的长，(sinsin)()(sinsin)aABcbBC . (1)求角 C 的值； (2)设函数 3 ( )cossin() 34 f xxx，求()f A 的取值范围 . 18.在平面直角坐标系xOy 中，己知圆
4、C: 22 240 xyxyF，且圆 C 被直线320 xy 截得的弦长为2. (1)求圆 C 的标准方程； (2)若圆 C 的切线 l 在x轴和y轴上的截距相等，求切线l 的方程； (3)若圆 22 : ()(1)2Dxay上存在点 P，由点 P 向圆 C 引一条切线，切点为M，且满足 2PMPO ,求实数a的取值范围 . 19.如图，在P 地正西方向 16cm 的 A 处和正东方向2km的 B 处各一条正北方向的公路AC 和BD， 现计划在 AC 和BD路边各修建一个物流中心E 和 F. (1)若在 P 处看,E F的视角45EPF,在 B 处看 E 测得45ABE,求,AE BF； (2
5、)为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF,设EPF，公路PF的每千米建 设成本为 a 万元，公路PE的每千米建设成本为8a 万元 .为节省建设成本，试确定,E F的位置，使 公路的总建设成本最小. 20.已知函数 2 ( )() e x f xxab 在 0 x 处的切线方程为10 xy ,函数( )(ln1)g xxkx. (1)求函数( )f x 的解析式； (2)求函数( )g x 的极值； (3)设( )min( ), ( ) (min,F xf xg xp q 表示,p q中的最小值 )，若( )F x 在 (0,) 上恰有三个零点， 求实数 k 的取值范围 . 参考答
6、案 1.答案： 0,1,3 解析： 2.答案： 2 解析： 2 (2i)(1i)i2i2i2(2)iaaaaaQ , 令 20a 得 2a . 3.答案： 2,) 解析： 4.答案： -1 解析：Q两线平行， 12 kk ， 1(2) 3 a a ， 12 3 a a ， 2 230aa， 3a或-1， 当3a，两线重合，故舍. 综上1a. 5.答案：充分不必要 解析： 6.答案： 6 解析：解 :ABC中，由正弦定理可得 sinsin ab AB , 221 ,sin sin2 sin 4 B B , 6 B或 5 6 B(舍去 ). 7.答案：2 或 3 4 解析： 8.答案： 3 解析：
7、 9.答案： (,22 解析：若 1 ,2 2 x，使得 2 210 xx成立是假命题，即 1 ,2 2 x，使得 1 2x x 成立是假 命题，由 1 ,2 2 x，当 2 2 x时，函数取最小值2 2 ，故实数的取值范围为(,2 2 . 10.答案： 6 解析： 11.答案： 172 50 解析： 4 cos() 65 , 3 sin() 65 , 24 sin(2)2sin()cos() 36625 , 27 cos(2)2cos ()1 3625 , sin(2)sin(2) 1234 217 2 sin(2)cos(2) 23350 . 12.答案： 4 3 解析：本题主要考查平面向
8、量线性运算和数量积. 1 () 2 BDACABACAC u uu ruuu ru uu ru uu ru uu r 2 11 22 AB ACAC uuu ruu u r ， 2 2 ()BCABAC u uu ruuu ruu u r 2 224ACAB AC u uu ru uu r ， 2 3,5AB ACAC u uu ruu u r ， ()CEABACAEAB u uu ru uu ruuu ru uu ruu u r 21 3 AB ACAC uuu ruu u r 54 3 33 . 13.答案： (,33, );U 解析： 14.答案： 55 e,2, ln52 解析： 1
9、5.答案： (1)因为 3 cos2 5 ， 2 cos22cos1， 所以 23 2cos1 5 ，解得 21 cos 5 因为为钝角，所以 5 cos 5 从而 212 5 sin1cos1 55 所以 2 5 sin 5 tan2 cos5 5 (2)因为为钝角， 3 sin 5 ， 所以 2234 cos1sin1( ) 55 从而 cos()coscossi 4532 52 5 ()() 555525 nsin 解析： 16.答案： (1)由题意得 : 22 (23 )(2)48343ababaabb rrrrrr rr 又4,3ab rr Q 1 648cos2743,cos 2
10、a b r r 0, 3 Q (2) 22 2 )237ababaabb rrrrrr rr （ (3)()(),() ()0abababab rrrrrrrr Q 22 () ()0ababaababb rrrrrr rr rr 10 310, 3 解析： 17.答案： (1)在ABC中， 因为(sinsin)()(sinsin)aABcbBC ， 由正弦定理 sinsinsin abc ABC ， 所以()()()a abbc cb 即 222 abcab， 由余弦定理 222 2coscababC ，得 1 cos 2 C 又因为 1 2 m n u rr ，所以 2 3 C (2)因为
11、 3 ( )cossin() 34 f xxx 2133 sincoscos 224 xxx 133 sin 2(cos21) 444 xx 1 sin(2) 23 x 1 ()sin(2) 23 f AA 由(1)可知 2 3 C，且在ABC中，ABC 所以 0 3 A，即 2 33 A 所以 0sin(2)1 3 A，即 1 0() 2 f A 所以()f A 的取值范围为 1 (0, 2 解析： 18.答案： (1)由题意得 : 圆 22 :240C xyxyF，即 22 (1)(2)5xyF 5F，圆心坐标为( 1,2) ， 2 5rF 又Q 圆心到直线的距离 22 | 1232 |
12、1 1( 1) d 又Q 弦长为 2， 222 1,3drF 圆 C 的标准方程为 22 (1)(2)2xy. (2)因为直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距相等， 若直线 l 过原点，则假设直线l 的方程为,ykx 即0kxy， 因为直线 l 与圆 C 相切， 2 2 2 2,420,26, 1 k drkkk k 直线 l 的方程为(26)y x 或 (26)yx 若直线 l 不过原点，切线l 在 x 轴和 y轴上的截距相等， 则假设直线l 的方程为1, xy aa 即0 xya 因为相切， 22 12 2,12,3 11 a draa或1a 直线 l 的方程为30 xy或10 xy 综
13、上所述直线l 的方程为(26)y x 或 (26)y x 或 30 xy或10 xy. (3)假设 P 点坐标为 ( , )x y ，Q 点 P满足 2PMPO 22 2,PMPO Q 直线PM与圆 C 相切，且 M 为切点， 222 ,PMPCr 22 22,POPC 2222 2()(1)(2)2,xyxy 22 2430,xyxy即 22 (1)(2)8,xy 又Q 点 P又在圆 22 ()(1)2xay上 两圆有公共点且不能内切 22 21)( 21)3 2,a（ 222 1)( 21)1)92aa（恒成立， 22 1)93 2,1)9,aa（ 24.a 解析： 19.答案： (1)
14、在 RtABE中，由题意可知 18,45ABABE，则18AE 在 RtAPE 中， 189 tan 168 AE APE AP ， 在 RtBPF 中 tan 2 BFBF BPF BP 因为45 ,EPF所以135APEBPF 于是 tantan tan() 1tantan APEBPF APEBPF APEBPF 9 82 1 9 1 8 2 BF BF 所以34BF 答：18kmAE，34kmBF (2)由公路 V 的成本为公路PF的成本的 8倍,所以 8PEPF 最小时公路的建设成本最小. 在 RtPAE 中，由题意可知APE，则 16 cos PE 同理在 RtPBF 中，PFB，
15、则 2 sin PF 令 1282 ()8,0 cossin2 fPEPF， 则 33 2222 128sin2cos64sincos ( )2, cossinsincos f 令()0f，得 1 tan 4 ，记 0 1 tan 4 ， 0 0 2 ， 当 0 (0,) 时，()0f，()f单调减； 当 0 (,) 2 时，()0f，()f单调增 所以 1 tan 4 时，()f取得最小值， 此时 1 tan164 4 AEAP，8 tan BP BF 所以当AE为4km，且BF为 8km 时，成本最小 解析： 20.答案： (1) 22 222e x fxxa xaa 因为 f x 在0
16、x处的切线方程为 10 xy 所以 2 2 021 01 faa fab ， 解得 1 0 a b 所以 2 1e x fxx (2) g x 的定义域为0, xk gx x 若0k时，则0gx在0,上恒成立， 所以 g x 在 0,上单调递增，无极值 若0k时，则 当 0 xk 时，0gx， g x 在 0,k 上单调递减； 当 x k 时，0gx ， g x 在,k上单调递增； 所以当 xk时， g x 有极小值2lnkkk，无极大值 (3)因为0fx仅有一个零点1，且0fx恒成立， 所以 g x 在 0,上有仅两个不等于1 的零点 当0k时，由 (2)知，g x 在 0,上单调递增，g x 在 0,上至多一个零点，不合题 意，舍去 当
