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1、数学试卷 一、选择题 1. 设全集UR, 集合|10Ax x, 集合 2 |60Bx xx则下图中阴影部分表示的集 合为 ( ) A.|3x x B.| 31xx C.|2x x D.| 21xx 2. 设复数z满足12zi( 其中i为虚数单位 ), 则下列说法正确的是( ) A.2z B.复数z的虚部是i C.1zi D.复数z在复平面内所对应的点在第一象限 3. 已知 n a是公差为2的等差数列 , n S为数列 n a的前n项和 , 若 5 15S, 则 5 a ( ) A.3 B.5 C.7 D.9 4. 某商场举行有奖促销活动, 抽奖规则如下 : 箱子中有编号为1,2,3,4,5的五
2、个形状、大小完全相 同的小球 ,从中任取两球, 若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖; 否则不中奖则中奖的概率为 ( ) A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 5. 已知变量, x y满足约束条件 21 0, 1, 50, xx x xy则目标函数2zxy的最小值为 ( ) A.3 B.6 C.7 D.8 6. 已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示, 则该棱柱5 的左视图的面积为 ( ) A.18 6 B.18 3 C.18 2 D. 27 2 2 7. 设 12 ,FF分别为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点, 12 ,AA为双
3、曲线的左右顶点, 其 中 1212 ,3,F FA A, 若双曲线的顶点到渐近线的距离为2, 则双曲线的标准方程为( ) A. 22 1 36 xy B. 22 1 63 xy C. 2 2 1 2 y x D. 2 2 1 2 x y 8. 执行如图所示的程序框图, 则该程序框图的输出结果是( ) A.3 B. 1 2 C. 1 3 D.2 9. 如图 , 半径为1的圆O中, ,A B为直径的两个端点, 点P在圆上运动 , 设BOPx, 将动点 P到 ,A B两点的距离之和表示为x的函数( )f x, 则( )yf x在0,2上的图象大致为( ) A. B. C. D. 10. 已知抛物线
4、2 :4Cxy, 过抛物线C上两点,A B分别作抛物线的两条切线,PA PB P为两切线 的交点O为坐标原点若,0PA PB uu u r uu u r , 则直线OA与OB的斜率之积为 ( ) A. 1 4 B.3 C. 1 8 D. 4 11. 已知定义在R上的函数( )f x, 当1x时, 1n ,0, 21, 10, ( ) x x xx f x且(1)f x为奇函数 , 若方程 ( )Rf xkxk k的根为 12 , n x xxL, 则 12 xxxL的所有的取值为( ) A. 6或4或2 B. 7或5或3 C. 8或6或4或2 D. 9或7或5或3 二、填空题 12. 已知角a
5、的终边经过点, 2mm,其中0m, 则sincosaa等于 ( ) A. 5 5 B. 5 5 C. 3 5 D. 3 5 13. 已知 12 ,e e u r u u r 是互相垂直的单位向量,向量 12 3aee u ru u r r , 12 bee u ru u rr , 则 a b r r . 14.2018 年 4 月 4 日, 中国诗词大会第三季总决赛如期举行, 依据规则 , 本场比赛共有甲、乙、丙、 丁、戊五位选手有机会问鼎冠军, 某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现, 结合自 己的判断 ,对本场比赛的冠军进行了如下猜测: 爸爸 : 冠军是甲或丙; 妈妈 : 冠军一
6、定不是乙和丙; 孩子 : 冠军是丁或戊. 比赛结束后发现: 三人中只有一个人的猜测是对的, 那么冠军是 _. 15. 已知x表示不超过2.32,1.52的最大整数 , 例如 : 2.32,1.52. 在数列 n a中, 1, n agnnN, 记 n S为数列 n a的前n项和 , 则 2018 S . 16. 已知点,P A B C均在表面积为81的球面上 , 其中PA平面 ABC,30 ,=3BACACAB o , 则三棱锥PABC的体积的最大值 为 . 三、解答题 17. 在ABC中, 2ACBC,2 3,ABAMMC uuuu ruuu u r . 1. 求BM的长 ; 2. 设D是平
7、面ABC内一动点 , 且满足 2 3 BDM, 求 1 2 BDMD的取值范围 . 18. 如图 , 在以,A B C D E F为顶点的五面体中, 底面ABCD是矩形 , EFBC. 1. 证明 :EF P平面ABCD; 2. 在中国古代数学经典著作九章算术中, 称图中所示的五面体ABCDEF为“刍甍” (ch m ng), 书中将刍甍ABCDEF的体积求法表述为: 术曰 :倍下袤 ,上袤从之 , 以广乘之 , 又以高乘之 , 六而一 . 其意思是 :若刍甍ABCDEF的“下袤” BC的长为a, “上袤” EF的长为b, “广” AB的长 为c, “高”即“点F到平面ABCD的距离”为h,
8、则刍甍ABCDEF的体积V的计算公式为 : 1 2 6 Vab ch,证明该体积公式. 19. 近期 , 济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动, 活动设置了一段时间的推广期, 由于推广期内优惠力度较大, 吸引越来越多的人开始使用扫码支付. 某线路公交车队统计了活动刚 推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数, y表示每天使用扫码支付的人 次( 单位 : 十人次 ), 统计数据如表1所示 : 表 1: x1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 10 196 根据以上数据 , 绘制了散点图 . 1. 根据散点图判断,在推广期内 ,yabx与 x c
9、 d (, c d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫 码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?( 给出判断即可 , 不必说明理由); 2. 根据 1 的判断结果及表1中的数据 , 建立y关于x的回归方程 , 并预测活动推出第8天使用扫码支 付的人次 ; 3. 推广期结束后, 车队对乘客的支付方式进行统计, 结果如下 表 2: 支付方式现金乘车卡扫码 比例10% 60% 30% 车队为缓解周边居民出行压力, 以80万元的单价购进了一批新车, 根据以往的经验可知, 每辆车每个 月的运营成本约为0.66万元 . 已知该线路公交车票价为 2元,使用现金支付的乘客无优惠 , 使用乘车 卡支付的乘
10、客享受8折优惠 , 扫码支付的乘客随机优惠, 根据统计结果得知, 使用扫码支付的乘客中 有 1 6 的概率享受7折优惠 , 有 1 3 的概率享受8折优惠 , 有 1 2 的概率享受9折优惠 . 预计该车队每辆车 每个月有1万人次乘车 , 根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 在不考虑其它因素 的条件下 ,按照上述收费标准, 假设这批车需要 N n n n年才能开始盈利, 求n的值 . 参考数据 : y v 7 1 ii i x y 7 1 ii i x v 0.54 10 661.54271150.123.47 其中其中 7 1 1 1, 7 iii i gy 参考公式 : 对
11、于一组数据 22 , iinn uuuL, 其回归直线 ? ?+ ? a u的斜率和截距的最小二乘估计公 式分别为 : 1 22 1 , ? n ii i n i i unu unu ? ? au. 20. 如下图已知离心率为 2 2 的椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点2,0A, 斜率为0k k 的直线l交椭圆于,A B两点 , 交y轴于点E, 点P为线段AB的中点 . 1. 求椭圆C的方程 ; 2. 若点 E关于x轴的对称点为H, 过点E且与OP垂直的直线交直线AH于点M 求 MAP面积 的最大值 . 21. 已知函数 2 ( )1 x f xxeax, 1. 讨论( )
12、f x单调性 ; 2. 当1a时, 函数( )( ) x g xfxxex的最大值为m, 求不超过m的最大整数 . 22. 在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为 2, 1, yt xt (t为参数 ), 以坐标原点为极点, 以 x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为 2 2 2 1sin 直线l与曲线C交于,A B 两点 1. 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; 2. 已知点 P的极坐标为 2 , 24 , 求PAPB的值 . 23. 已知函数( )|1|f xx. 1. 解不等式( )259f xfxx; 2. 若0,0ab, 且 14 2 ab , 证明
13、 : 9 ()() 2 f xaf xb, 并求 9 ()() 2 fxaf xb时 , ,a b的值 . 参考答案 1. 答案： B 解析： 2. 答案： D 解析： 3. 答案： C 解析： 4. 答案： C 解析： 5. 答案： B 解析： 6. 答案： C 解析： 7. 答案： A 解析： 8. 答案： B 解析： 9. 答案： A 解析： 10. 答案： A 解析： 11. 答案： D 解析： 12. 答案： B 解析： 13. 答案： 2 解析： 14. 答案：丙 解析： 15. 答案：4947 解析： 16. 答案： 81 8 解析： 17. 答案： 1. 在ABC中, 222
14、ABACBC2cosAC BCC. 代入数据得 : 1 cos 2 C. 1 2 AMMC uuuu ruu u u r , 1 1 2 CMMAAC. 在CBM中,由余弦定理知: 222 BMCMCB2cosCM CBC 代入数据得 : 7BM. 2. 设BDM, 则,0, 33 DMB . 在BDM中,由余弦定理知: 2 7 = 2 sin 3 sinsin 3 3 BDMDBM . 2 7 sin 33 BD 2 7 ,sin 3 MD, 12 7 sin 23 BDMD 7 sin 33 7 3 cossinsin7 3 cos 又0, 3 , 1 cos,1 2 , 1 2 BDMD
15、的取值范围为 7 ,7 2 . 解析： 18. 答案： 1. 证明: ABCD是矩形 ,BCADP, 又AD平面ADEF,BC平面ADEF BC P平面ADEF, 又BC平面BCEF, 平面ADEF平面BCEFEF BCEFP 又BC平面ABCD,EF平面ABCD, EF P平面ABCD. 2. 解 : 设,G H分别是棱,BC AD上的点 , 且满足GCHDEF, 链接,FG FH GH. 由第 1 问的证明知 ,GCHDEFPP, 所以四边形GCEF和GCDH为平行四边形 . ,GFCE GHCDPP, 又CDCEC,Q平面GHFCDEP, Q多面体CDEGHF为三棱柱 . 因此 , 刍甍
16、ABCDEF可别分割成四棱锥FABGH和三棱柱CDEGHF. 由题意知 ,矩形ABGH中, BGBCCGBC,EFab ABc Q矩形ABGH的面积 ABGH Sab c, 又四棱锥FABGH的高 , 即“点F到平面ABCD的距离”为h, Q四棱锥FABGH的体积 11 33 FABGHABGH VShab ch; 三棱柱CDEGHF的体积可以看成是以矩形GCDH为底 , 以点F到平面ABCD的距离h为高的 四棱柱体积的一半.又矩形GCDH的面积 ABGH Sbc Q三棱柱CDEGHF的体积 11 22 CDEGHFGCDH VShbch 刍甍ABCDEF的体积 : FABGHCDEGHF VVV 11 32 ab chbchch 1 2 326 abb ab ch. Q刍甍ABCDEF体积公式得证 . 解析： 19. 答案： 1. 根据散点图判断,
