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1、数学试卷 一、填空题 1.已知集合 21|01 20ABx x - ,- ， ， ， ，则 ABI _. 2.已知复数z满足 2 z i i (i为虚数单位)，则复数z的实部为_. 3.已知向量 221()()axb=， ,=,- ，且 ab ，则实数x 的值是 _. 4.函数 lg1 2 x x y 的定义域为 _. 5.在等比数列 na 中， 14 18 n aaS= ，= ， 是 na 的前 n 项和，则 5 S _. 6.已知 tan2 ，则 sin cos2sin 的值为 _. 7. 2x 是 1x 的_条件(选填“充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要”或“既不充分又不必 要”)
2、 8.已知函数 sin2yx 图象上的每个点向左平移 0 2 个单位长度得到函数 sin 2 6 yx 的 图象，则的值为 _. 9.设函数 , 21, x ex fx xx 则不等式 2 ()2f xfx 的解集为 _. 10.已知函数 ln m fxx x 的极小值大于0，则实数m 的取值范围是 _. 11.在各项都为正数的等差数列 n a 中，已知 5 3a ，则 37 a a 的最大值为 _. 12.已知菱形ABCD 的棱长为 3，E 为棱 CD 上一点且满足 2CEED uuu ruuu r .若 6AE EB u uu ruuu r ，则 cosC =_. 13.若方程 3 cos
3、 2 65 x 在 0, 上的解为 12 xx， ，则 12 c(os)xx- =_. 14.已知函数 23 3fxxx ，1 ln x g xeax - 若对于任意 1 )3(0 x， ，总是存在两个不同的 23 3)0(xx， ，使得 123 fxg xg x ，则实数a 的取值范围是_. 二、解答题 15.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 12072a b c Cca b, , , , - . (1) 求 a，b 的值； (2) 求 sin()AC 的值 16.已知向量 cos ,3cos,cos ,sinaxxbxx (1) 若 / /ab ， 0, 2 x ，求 x的值
4、； (2) 若 ,0, 2 fxa b x ，求 fx 的最大值及相应 x的值 17.已知等比数列 na 满足 2 2a ，且 234 1aaa， ， 成等差数列 (1) 求数列 na 的通项公式； (2) 设 21| nn ban ，求数列 nb 的前 n 项和 n T . 18.如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形 ABCD，圆弧 CD 所在圆的圆心为 O.经测量 3 4 ,120 3 ABm BCmCOD ，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ，其 中 E， F 在边 AB 上， G，H 在圆弧 CD 上设 OGF ，矩形 EFGH 的面积为 S. (1) 求
5、矩形 EFGH 的面积 S关于变量 的函数关系式； (2) 求 cos 为何值时，矩形EFGH 的面积 S最大？ 19.已知函数 1 fxx x . (1) 求 fx 的图象在 1x 处的切线方程； (2) 求函数 F xfxx 的极大值； (3) 若 lnafxx 对 1(0 x， 恒成立，求实数a 的取值范围 20.已知数列 n a 满足 * 11 () 1 nn nanaanN ， . (1) 求证：数列 n a 为等差数列； (2) 设数列 n a 的前 n 项和为 n S .若 21 1aa ，且对任意的正整数n，都有 123 111114 + 33 nSSSS L ，求整数 1 a
6、 的值； (3) 设数列 n b 满足 3 10 nnba .若 21 1 5 aa ，且存在正整数 s，t，使得 st ab 是整数，求 1 a 的 最小值 . 参考答案 1.答案： 1,2 解析： 2.答案： -1 解析： 3.答案： 1 解析： 4. 答案：(1 )2， 解析： 5.答案： 31 解析： 6.答案： 2 5 解析： 7.答案：充分不必要 解析：由 1x ，我们不一定能得出 2x ，比如 1.5x ，所以 1x 不是 2x 的充分条件； 21x ，由 2x ，能得出 1x ， 1x 是 2x 的必要条件 2x 是 1x 的充分不必要条件 8.答案： 12 解析： 9.答案：
7、 1,2 解析： 10.答案： 1 (,) e 解析： 11. 答案： 9 解析： 12.答案： 1 3 解析： 13.答案： 3 5 解析： 因为方程 3 cos 2 65 x 在 0, 的解为 12 ,xx , 所以 2 6 x 或 11 22 - , 666 x 且 3 cos 5 , 所以不妨令 12 , 212212 xx 12 xx 12 3 coscoscos 5 xx 14.答案： 2 1ln)43e，- 解析： 15.答案： (1) 由余弦定理 222 cos 2 ab C c ab ，且 7120cC ， 得 22 49abab . 因为 2ab ，所以 2 2150bb
8、. 因为 0b ，所以 35ba ， . 综上： 53ab ， . (2) 由(1)知 537abc ， ， ，所以 222 c 13 o B 21 s 4 acb ac . 因为 B 为 ABC 的内角，所以 23 3 sin1cos 14 BB . 因为 3 3 sinsin s()()in 14 A CBB+=-= ， 所以 sin()A C+ 的值为 3 3 14 . 解析： 16.答案： (1) 因为 cos ,3cos,cos ,sin,/ /axxbxxab ， 所以 2 cos sin3cosxxx ， 所以 cossin3cos0 xxx , 所以 0cos x 或 sin3
9、cos0 xx ，即 cos0 x 或 tan3x 因为 0, 2 x ，所以 2 x 或 3 x . (2) 因为 cos ,3cos,cos ,sinaxxbxx 所以 21cos231 cos3cos sinsin2sin 2 2262 x fxabxxxxx 因为 0, 2 x ，所以 7 2, 666 x ， 所以 1 sin 2,1 62 x ，所以 3 0, 2 fx ， 所以 fx 的最大值为 3 2 ，此时 6 x . 解析： 17.答案： (1) 设等比数列 n a 的公比为q(不为 0)， 因为 234 1aaa， ， 成等差数列，所以 324 ()21aaa . 因为
10、22a ，所以2 ()2 2122qq ， 解得 2q 或 0q (舍去 )，所以 2 11 a a q ， 所以数列 na 的通项公式为 1 2 n na . (2) 设 1 21221 n nn cann 所以 11 1 ()22112212()2 nnn nn ccnn ， 所以 1 3 nn ncc ， . 因为 4 1 0c ，所以 4n 时， 0 n c ，即 4n 时， 1 221 n nn bcn . 因为 123 011ccc ， ，所以 123 011bbb ， ， 所以 123 012TTT ， . 当 4n 时， 123445 ()01 1 nnn Tbbbbbbbb
11、341 ()2222921()7 n n 33 2 212 721 2323 122 n n n nn 综上， 2 0,1 1,2 2,3 23,4. n n n n T n nn 解析： 18.答案： (1) 如图，作 OPCD 分别交 AB，GH 于 M，N. 由四边形 ABCD ，EFGH 是矩形， O 为圆心， 120COD ， 所以 OMABONGH， ，点 P，M，N 分别为 CD， AB，GH 的中点， 60CON . 在 COPRt 中， 260CPCOP ， ， 所以 4 32 3 , 33 OCOP ， 所以 3 3 OMOPPMOPBC . 在 ONG Rt 中， 4 3
12、 3 GONOGFOGOC ， ， 所以 4 34 3 sin,cos 33 GNON ， 所以 8 34 33 2sin,cos 333 GHGNGFMNONOM ， 所以 4 338 38 cossin4cos1 sin,0, 33333 SGF GH ， 所以 S关于的函数关系式为 8 4cos1 sin,0, 33 S (2) 222 88 4cos4sincos8coscos4 33 S 因为 0, 3 ，所以 1 cos,1 2 ，所以 0S ，得 11291 cos,1 162 设 0 0, 3 且 0 1129 cos 16 ， 所以由 0S ，得 0 0 ，即 S在 0 (0
13、)， 上单调递增， 由 0S ，得 0 3 ，即 S在 0 , 3 上单调递减， 所以当 0 时， S取得最大值， 所以当 1129 cos 16 时，矩形EFGH 的面积 S最大 解析： 19.答案：(1) 因为 1 fxx x ，所以 11 22 fx xxx ，所以 11f . 因为 yfx 经过 (1 )0， ，所以 fx 的图象在 1x 处的切线方程为 1y x= - . (2) 因为 1 ,0F xxx x x ， 所以 11 1, 22 FxFx xxx 在 (0)， 上递减 又 10F ， 所以当 ) 1(0 x， 时， 0Fx ，即 Fx 在 )1(0 x， 上递增； 当 1
14、()x， 时， 0Fx ，即 F x 在 1()x， 上递减， 所以在 1x 处， F x 的极大值为 11F . (3) 设1 lnln,0,1g xxafxxaxx x ， 所以 2 2 111 22 axxa a gx xxxxxx . 当 0a 时， 0gx 对 1(0 x， 恒成立，所以 g x 在 (0 1， 上递增 又 10g ，所以 0 (01)x， 时， 0 0g x ，这与 ln afxx 对 1(0 x， 恒成立矛盾； 当 1a 时，设 2 2 2,0,1 ,440 xaxxa xa ，所以 (0 0,1xx， ，所以 0gx 对 (0 1 ， 恒成立，所以 g x 在
15、(0 1， 上递减 又 10g ，所以 0g x 对 1(0 x， 恒成立，所以 1a 成立； 当 01a 时，设 2 2 2,0,1 ,440 xaxxa xa ，解 0 x 得两根为 12 xx， ，其中2 2 11 1 a x a ， 2 1 2 11 0,1 11 aa x a a ，所以 12 011xx ， ，所 以 11 0()0 xxxgx， ， ，所以 g x 在 1 (1)x， 上递增 又 10g ，所以 1 0g x ，这与 lnafxx 对 1(0 x， 恒成立矛盾 综上： 1a . 解析： 20.答案： (1) 证明：因为 * 11 () 1 nn nanaanN ， ， 所以 11 ()()212 nn nanaan ， 且 * nN . ，得 11()()()121102nnnnananan ， 且 * nN ， 所以 11 202 nnn aaan ， 且 * nN ， 所以 1121nnnn aaaaaa ， 所以数列 n a 为等差数列 (2) 解：因为 21 1aa ，所以 na 的公差为1. 因为对任意的正整数n，都有 123 111114 + 33 n SSSS L ， 所以 1
