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1、喀什市 28 中学 20132014 学年第二学期高一级数学导学案课题：第二章 平面向量 24.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义时间：2014 年 3 月 日审核人： 定稿人：授课时间：第 周 第 节教学目标：知识与技能：利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何意义；能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；过程与方法：掌握由定义得到的数量积的 5 条重要性质，并能运用性质进行相关的判断和运算；情感态度与价值观：了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，培养学生的应用意识.学生学案 教师导案学习目标：1.了解数量
2、积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会数量积与投影的关系，掌握性质和运算律，并利用性质和运算律进行相关的判断和运算.教学重点:平面向量数量积的概念、用数量积表示向量的模及夹角；教学难点：数量积的定义及运算律以及应用；课前准备：导学案、课件、书本、 教学方法：教学过程：一、课前准备复习：1、向量加法和减法运算的两个法则是和 .2、向量数乘运算的定义是 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、组织教学检查预习情况数乘，那么向量与向量 能否“相乘”呢？二、新课导学探究 1：如下图，如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，Fs那么力 所做的功 = ，其中 是 FW.思考:
3、这个公式的有什么特点？请完成下列填空：F（力）是 量；S（位移）是 量； 是 ；W（功）是 量；结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？新知 1：向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量 和 ，我们把数量 叫做 和abcosaba的数量积（或内积） ，记作 ，即 .其中 是b 和 的夹角（）a说明：记法“ ”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 两个非零向量夹角的概念：非零向量 与 ，作 abOA， ，则 （ ）叫 与 的夹角aOBb（两向量必须是同起点的）特别地：当 时， 与 同向；当 时，
4、与ab反向；当 时， 与 垂直，记 ；2“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即 。0a探究 2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量；数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量 与 的模有关，还和它们的夹角有ab关。这个数的符号由 cos的符号所决定学生讨论，完成下表：的范围0 90 =900 180教师提问小组展示实验结果教师评价教师提问教师评价分组讨论师生评价师生共识 的符号ab新知 2：向量的数量积（或内积）几何意义（1）向量投影的概念：如图，我们把 叫做向量 在 方cosaab向上的投影； 叫做向量 在 方向上的
5、投影. cosbb说明：如图， . 向量投影也是一个数量，不是1OB向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当当 = 0时投影为 | |；当时投影为 0；当 = 180b时投影为 | |作图：（2）向量的数量积的几何意义：数量积 等于 的长度ab 与 在 的方向上的投影 cos 的乘积。ab新知 3：由定义得到的数量积的性质 设 和 都是非零向量， 是 与 的夹角，则ab当 与 垂直时， ，即 ；90当 与 同向时， ， = ；ab当 与 反向时， ， = ；18ab当 ，即 = ，或 ；acos = |b因为 ，所以 .cos1ba新知 4：数量积的运算律已知向量 和实数 ，则
6、,a b b acc你能推导向量数量积运算律 吗？acbc（师生共同完成）三、典型例题例 1 已知 ， ， 和 的夹角为 ，求 ？5a4bab120ab变式 1：若 ，求 .教师巡视小组展示师生评价变式 2：若 ，求 ./ab变式 3：已知 ， ， =-10，求 与 的夹角 .54abab变式 4：已知 ， ， =-10，求向量 在向量 的方向a上的投影.例 2. 我们知道，对任意 ，恒有 ，,abR22abab2abab对任意向量 ，是否也有下面类似的结论？, ； 222abab四、总结提升1. 向量数量积的定义及几何意义；2. 由定义推出的数量积的性质. 3数量积的运算律.学习自我评价 ：
7、你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差五 当堂检测：1.在平行四边形 中， ， ， ，则ABCD42BC120AD为（ ）ABA.4 B.-4 C.8 D.-8 2. 设 ， ， ，则 与 的夹角 为（ 12a9b542aab）A. B. C. D. 4536013. 已知 ， ， ，当 时， 为（ ABCaACb0aABC）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 5. 已知 ， ，且 ，则向量 在向量 的方向上3a5b12abab的投影为 .喀什市 28 中学 20132014 学年第二学期高一级数学导学案课题：第二章 平面向量
8、 24.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角时间：2014 年 3 月 日审核人： 定稿人：授课时间：第 周 第 节6. 已知 ， 在 方向上的投影为 ，则 = ； 3ba23ab六、课后作业 课本 P108 习题 2.4 1；2；3教学目标：知识与技能：通过探究平面向量数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；过程与方法：掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题；情感态度与价值观：加强学生对数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力和创新能力创新能力；学生学案 教师导案学习目标：1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方
9、法及其变式（夹角公式） ；2、熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件；3. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.教学重点:平面向量数量积的坐标表示；教学难点：数量积的坐标表示的应用；课前准备：导学案、课件、书本、 教学方法：教学过程：一、课前准备复习：组织教学1、设两向量 的夹角为 ，则 ；且当 ,ab时， ； /当 时， .2、已知两个非零向量 和 ，把数量 叫做ab向量 与 的数量积，ab记 作 ,即 ; 3、向量 在 方向上的投影是 ； 的几何意义为：abab数量积 等于 的长度与 在 方向上的投影 的乘积. 4、设 和 都是非零向量， 是 与 的夹角，则 ab当 与 垂直时
10、， ，即 ；ab90当 与 同向时， ， = ；当 与 反向时， ， = ；18ab当 ，即 = ，或 ；abacos = |因为 ，所以 .cos1ba5、向量数量积的运算率：向量数量积的交换律：. .ab向量的数量积的分配律： . abc . 2 ab.二、新课导学探究 1：平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量 ，怎样用 与 的坐标表12,axybyab示 呢？ab思考 1：设 、 是分别与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若ij两个非零向量 ( ),a1,( )，则向量 与 用 、 分别如何表示？b2xabij思考 2：对于上述向量 、 ，则 2 = ， 2 = ，ijij = i
11、j检查预习情况教师提问小组展示实验结果教师评价教师提问教师评价分组讨论师生评价师生共识根据数量积的运算性质， = ab新知 1：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即.21abxy探究 2：由平面向量数量积的坐标表示可以得到哪些结论呢？思考 1：设向量 ( )，利用数量积的坐标表示， = ayx, a思考 2：如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(), ( )，那么向量 的坐标如何表示？ = 1,yx2,思考 3：设向量 ( ), ( )，若 ，则 ，1,yxb2,yxb1,yx之间的关系如何？ 反之成立吗？ 2,思考 4：设 、 是两个非零向量，其夹角为 ，若 ( ),
12、ab a1,( )，那么b2,yxcos 如何用坐标表示？ 新知 2：若 ，则 ，或 .,axy22axy2axy若 ， ，则 ，则1A,B1(,)AB.221若 ，则 .1,axyby120abxy两个非零向量 是 与 的夹角，12,axb则 2cosy三、典型例题例 1、 （1）已知 ，求 ， 及 之间夹3,45,2ab,ab,ab角 余弦值. （2）已知 ，求 ，2,1,c， ，()ab()ab2()ab例 2、已知 ， ， ，试判断 的形状，并,1A3,2B5,CABC给出证明。 教师巡视小组展示师生评价小结：向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一.例 3、 已知 ， ，若 ，试3,2a4,bk535ab求 的值.k四、总结提升1用坐标表示向量的数量积，模，夹角等. （1）若 ，则12(,)(,)axyb 12abxy（2）若 ，则 ，或 .2axy（3）若 ， ，则 ，则1,A2,B21(,)AB.21Bxy两个非零向量 是 与 的夹角，2,axbyab则 121cosb2两向量垂直的两种表示：若 ，则12,xy0ab20xy学习自我评价： 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
