《2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题5-2平面向量的基本定理及坐标表示（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题5-2平面向量的基本定理及坐标表示（含答案）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示【考情分析】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【重点知识梳理】知识点一 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.知识点二 平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)数乘已知a(x
2、1，y1)，则a(x1，y1)，其中是实数任一向量的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)知识点三 平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.,(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e1，e2，有a1e12e21e12e2，则可以得到知识点四 必备结论1若a与b不共线，且ab0，则0.2已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.3已知ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3、C(x3，y3)，则ABC的重心G的坐标为.4A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0，或(x2x1)(y3y2)(x3x2)(y2y1)，或(x3x1)(y3y2)(x3x2)(y3y1)【典型题分析】高频考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】（2020北京101中学模拟）在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A.B.C.D1【答案】A【解析】因为M为边BC上任意一点，所以可设xy(xy1)因为N为AM的中点，所以xy.所以(xy).故选A。【方法技巧】平面向量基本定理的实质及解题思路
4、(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理【变式探究】（2020湖北襄阳四中质检）如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，。【解析】设x，y，则x，y.由，得(2)，得x2xe12e2，即x(e12e2)e1e2，所以e1e2.同理可得ye1e2，即e1e2.高频考点二 平面向量的坐标运算【例2】【2020天津卷】如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_【答案】(1)
5、. ；(2). 【解析】，解得，以点B为坐标原点，BC所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,，的坐标为,又,则，设，则（其中），所以，当时，取得最小值.【变式探究】（2020辽宁大连一中模拟）已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求M，N的坐标及向量的坐标【解析】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)设O为坐标原点，3c，3c(3，24)(3，4)(0，20)M(0，20)又2b，2b(12，6)(3，4)(9，2)，N(9，
6、2)，(9，18)【方法技巧】求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算(2)巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用(3)妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数【变式探究】（2020吉林实验中学模拟）已知M(3，2)，N(5，1)，且，则P点的坐标为()A(
7、8,1) B.C. D(8，1)【答案】B【解析】设P(x，y)，则 (x3，y2)，而(8,1)，所以解得所以P.高频考点三 向量共线的坐标表示【例3】 (2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_。【解析】因为2ab(4,2)，c(2ab)，所以42，解得.【答案】【方法技巧】如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便【变式探究】（2020河南平顶山一中模拟）已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B
8、，C三点共线，求m的值【解析】(1)a(1，0)，b(2，1)，kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1，0)3(2，1)(8，3)，(1，0)m(2，1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.【变式探究】（2020河北邯郸一中模拟）已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_。【解析】方法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44，4).又(2，6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3，3)，所以点P的坐标为(3，3).方法二设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3，3).【答案】(3，3)
