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1、,PPT汇编实用可编辑,20XX年X月,整理自网络,研究生课程,数字图像处理和分析,Digital Image Processing and Analysis,杜红,E_mail:,2,精品ppt实用借鉴,第三章 傅里叶变换,3,精品ppt实用借鉴,4,精品ppt实用借鉴,5,精品ppt实用借鉴,6,精品ppt实用借鉴,7,精品ppt实用借鉴,8,精品ppt实用借鉴,9,精品ppt实用借鉴,10,精品ppt实用借鉴,11,精品ppt实用借鉴,12,精品ppt实用借鉴,13,精品ppt实用借鉴,14,精品ppt实用借鉴,15,精品ppt实用借鉴,16,精品ppt实用借鉴,17,精品ppt实用借鉴
2、,傅里叶变换,18,精品ppt实用借鉴,为什么要在频率域研究图像增强 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一 些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通,滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的,某些性质,可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间,域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在 空间域进行,傅里叶变换定义,19,精品ppt实用借鉴,一维连续傅里叶变换及反变换,单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为,给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x), ,f(x)ej2uxdx,F(u) 1,其中，j , ,
3、F(u)ej2uxdu,f(x),傅里叶变换定义,20,精品ppt实用借鉴,傅里叶变换定义,21,精品ppt实用借鉴,22,精品ppt实用借鉴,23,精品ppt实用借鉴,24,精品ppt实用借鉴,25,精品ppt实用借鉴,26,精品ppt实用借鉴,27,精品ppt实用借鉴,从欧拉公式 e cos jsin, fxcos(2ux)/M jsin(2ux)/M, fxcos2ux/M jsin2ux/M,一维离散傅里叶变换及反变换,j,M1 x0,1 M,F(u) ,fxe j(2ux)/M, ,M 1 x0 M 1 x0,1 M 1 M,傅里叶变换,28,精品ppt实用借鉴, ,Fu Ru Iu
4、,2 2,u arctan, ,傅里叶变换的极坐标表示 Fu Fue ju,幅度或频率谱为 1 2 R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部 相角或相位谱为 Iu Ru,傅里叶变换,29,精品ppt实用借鉴,Pu Fu Ru Iu,傅里叶变换的极坐标表示,功率谱为,f(x)的离散表示,F(u)的离散表示,2 2 2,f x f x 0 x x,x 0,1,2,., M 1,F u F u u ,u 0,1,2,., M 1,傅里叶变换,30,精品ppt实用借鉴,傅里叶变换定义,31,精品ppt实用借鉴, ,Fu,v Ru,v Iu,v,2 2,u,varctan, ,二维DFT的极坐标表示
5、 Fu,v Fu,ve ju,v,幅度或频率谱为 1 2 R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部 相角或相位谱为 Iu,v Ru,v,傅里叶变换,32,精品ppt实用借鉴,Pu,v Fu,v Ru,v Iu,v,f x, y 1 ,二维DFT的极坐标表示,功率谱为,用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频,率坐标下的(M/2，N/2)，它是MN区域的中心,u=0,1,2,M-1,v=0,1,2,N-1,2 2 2,F u M / 2, v N / 2,F(u,v)的原点变换 x y,傅里叶变换,33,精品ppt实用借鉴, f x, y,F(0,0)表示,这
6、说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅 里叶变换等于图像的平均灰度级,M 1 N 1 x0 y0,1 MN,F0,0,傅里叶变换,34,精品ppt实用借鉴,如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是,对称的，即,Fu,v Fu,v,傅里叶变换的频率谱是对称的 Fu,v Fu,v,傅里叶变换,35,精品ppt实用借鉴,36,精品ppt实用借鉴,傅里叶变换,37,精品ppt实用借鉴,傅里叶变换,38,精品ppt实用借鉴,二维傅里叶变换的性质,1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.,平移性质 分配律 尺度变换（缩放） 旋转性 周期性和共轭对称性 平均值 可分性 卷积 相关性,傅里
7、叶变换,39,精品ppt实用借鉴,1.,傅里叶变换对的平移性质,(1) (2), ,公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的频域中心移动到新的位置 公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的空域中心移动到新的位置 公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换 的幅值,fx,yej2u0 x/Mv0y/N Fuu0,vv0 fxx0,yy0Fu,vej2ux0/Mvy0/N,以 表示函数和其傅里叶变换的对应性,傅里叶变换,40,精品ppt实用借鉴,1,fx,y1,1.,傅里叶变换对的平移性质（续） 当u0=M/2且v0=N/2,带入（1）
8、和（2），得到,e,xy,e,j(xy),j2u0 x/Mv0y/N,FuM/2,vN/2,xy,uv,傅里叶变换,41,精品ppt实用借鉴,2.,分配律 根据傅里叶变换的定义，可以得到 f1x, y f2x, y f1x, y f2x, y f1x, y f2x, y f1x, yf2x, y 上述公式表明：傅里叶变换对加法满足分配 律，但对乘法则不满足,傅里叶变换,42,精品ppt实用借鉴,3.,尺度变换（缩放） 给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列 2个公式成立 af x, y aFu,v,Fu /a,v/b,1 ab,fax,by,傅里叶变换,43,精品ppt实用借鉴,4.,
9、,旋转性 引入极坐标 xrcos,yrsin,ucos,vsin 将f(x,y)和F(u,v)转换为 fr,和F,。将它 们带入傅里叶变换对得到 fr, 0 F, 0,f(x,y)旋转角度0，F(u,v)也将转过相同 的角度 F(u,v)旋转角度0，f(x,y)也将转过相同 的角度,傅里叶变换,44,精品ppt实用借鉴,5.,周期性和共轭对称性, ,尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需 根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v)得到 f(x,y) 只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全 确定 同样的结论对f(x,y)在空域也成立,Fu,v Fu M,v Fu,v
10、 N Fu M,v N fx, y fx M, y fx, y N fx M, y N 上述公式表明,傅里叶变换,45,精品ppt实用借鉴,Fu,v F u,v,5. ,周期性和共轭对称性 如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有 共轭对称性 Fu,v Fu,v 其中，F*(u,v)为F(u,v)的复共轭。 复习：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个 复数叫做互为共轭复数.,傅里叶变换,46,精品ppt实用借鉴,对于一维变换F(u)，周期性是指F(u)的周期长,度为M，对称性是指频谱关于原点对称,周期性和共轭对称性举例,半周期的傅里叶频谱 一幅二维图像的傅里叶频谱,全周期的傅里叶
11、频谱 中心化的傅里叶频谱,47,精品ppt实用借鉴,fx, ye j2vy/ N, x 0, y 0,1 M 1 j2ux/M 1 N1,Fx,v, x 0e,6.,F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变 换。当x=0,1,M-1，沿着f(x,y)的所有行计 算傅里叶变换。,分离性 Fu,v ,e M N 1 M 1 j2ux/M M,傅里叶变换,48,精品ppt实用借鉴,6.,分离性二维傅里叶变换的全过程, ,先通过沿输入图像的每一行计算一维变换 再沿中间结果的每一列计算一维变换 可以改变上述顺序，即先列后行 上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换,傅里叶变换,49,精品pp
12、t实用借鉴, fx, y,fx, y, fx, y,7.,平均值 由二维傅里叶变换的定义,而,M 1N1 x0 y0,1 MN,Fu,v,fx, ye j2ux/M vy/ N,M 1N1 x0 y0,1 MN,所以 F0,0,M 1N1 x0 y0,1 MN,傅里叶变换,50,精品ppt实用借鉴,fx, y F0,0,7.,平均值 所以 上式说明：如果f(x,y)是一幅图像，在 原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度 级,傅里叶变换,51,精品ppt实用借鉴, fm,nhxm, yn,8.,卷积理论 大小为MN的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散,卷积,1 M1N1 MN m0 n0,f
13、x, yhx, y,卷积定理 fx,yhx,yFu,vHu,v fx,yhx,yFu,vHu,v,傅里叶变换,52,精品ppt实用借鉴, f m,nhxm, yn,f x,yhx,yFu,vHu,v,9.,相关性理论 大小为MN的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关,f*表示f的复共轭。对于实函数， f*f,相关定理,1 M1N1 * MN m0 n0,性定义为 fx, yhx, y,fx,yhx,yF*u,vHu,v *,傅里叶变换,53,精品ppt实用借鉴,fx,y fx,yFu,v Ru,v Iu,v,fx,y Fu,vFu,v,自相关理论 2 2 2 2 注：复数和它的复共轭的乘积
14、是复数模的平方,傅里叶变换,54,精品ppt实用借鉴,卷积和相关性理论总结, ,卷积是空间域过滤和频率域过滤之间的纽带 相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴,趣的物体区域, ,f(x,y)是原始图像 h(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板） 如果匹配，两个函数的相关值会在h找到f,中相应点的位置上达到最大,傅里叶变换,55,精品ppt实用借鉴,相关性匹配举例,图像f(x,y),模板h(x,y),延拓图像f(x,y) 相关函数图像,延拓图像h(x,y) 通过相关图像最大 值的水平灰度剖面图,56,精品ppt实用借鉴,傅里叶变换,傅里叶变换, ,傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质 快速傅里
15、叶变换(FFT),只考虑一维的情况，根据傅里叶变,换的分离性可知，二维傅里叶变换可 由连续2次一维傅里叶变换得到,57,精品ppt实用借鉴,快速傅里叶变换(FFT),为什么需要快速傅里叶变换？,快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算, FFT算法与原始变换算法的计算量之比是log2M/M，如 M=1024103,则原始变换算法需要106次计算，而FFT需 要104次计算，FFT与原始变换算法之比是1：100,1 M1 M x0,Fu,fxej2ux/M,u 0,1,2,.,M 1, 对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法(将f(x) 与ej2ux/M相乘)和M-1次加法，即复数乘法和加法的次 数都正比于M2,58,精品ppt实用借鉴,FFT算法基本思想 FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。通 过推导将原始傅里叶转换成两个递推公式,M 1 x0,1 M,Fu,快速傅里叶变换(FFT),1 2,Fevenu FodduW2uk,Fu,1 2,FevenuFodduW2uk,Fu K,f xe j2ux /M u 0,1,2,.,M 1,59,精品ppt实用借鉴,FFT算法基本思想,其中：M = 2K Feven(u)、Fodd(u)是K个点的傅里叶值,u 0,1,2,.,M 1,快速傅里叶变换(FFT),1 2,Fev
