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1、专题基本不等式编者：高成龙 第1页 专题基本不等式 【一】基础知识 基本不等式： 20,0abab ab （1）基本不等式成立的条件：； （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号 . 2. 几个重要的不等式 （1） 2 4 ab ab,a bR； （2）+20,0a bab ab； 【二】例题分析 【模块 1】 “1”的巧妙替换 【例 1】已知0,0 xy，且 3 4 xy，则 41 xy 的最小值为 . 【变式 1】已知0,0 xy，且 3 4 xy，则 4x xy 的最小值为 . 【变式 2】 （2013 年天津） 设2,0abb， 则 1| 2| a ab 的最小值为 . 【例 2】 （2
2、012 河西） 已知正实数,a b满足 21 1 ab ，则2ab的最小值为 . 【变式】 已知正实数,a b满足 21 1 ab ，则2abab的最小值为 . 专题基本不等式编者：高成龙 第2页 【例 3】已知0,0 xy，且280 xyxy，则xy的最小值为 . 【例 4】已知正数, x y满足21xy，则 8xy xy 的最小值为 . 【例 5】已知0,0ab，若不等式 21 2 m abab 总能成立，则实数m的最大值为 . 【例 6】（2013 年天津市第二次六校联考）已知直线 21,0axbya b 与圆 22 1xy相交于,A B两点，O为 坐标原点，且AOB为直角三角形，则 2
3、2 12 ab 的最小值为 . 专题基本不等式编者：高成龙 第3页 【例 7】 （2012 年南开二模） 若直线2 200,0axbyab 始终平分圆 22 2410 xyxy的周长，则 11 ab 的最小值为 . 【 例 8】设 12 ,e e分别为具有公共焦点 12 ,FF的椭圆和双曲线的离心率， P为两曲线的一个公共点，且满足 12 0PF PF u uu r uuu u r ，则 2 22 1 4ee的最小值为 【例 9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2 xy xy，则 11 xy 的最小值是（） A6 B5 C322 D4 2 【例 10】已知函数 41 41 x x fx， 若
4、 12 0,0 xx ，且 12 1fxfx，则 12 fxx的最小值为 . 专题基本不等式编者：高成龙 第4页 【模块二】“和”与“积”混合型 【例 1】（2012 年天津）设,m nR, 若直线:10l mxny与x轴相交于点A,与 y 轴相交于 B， 且l与圆 22 4xy 相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为 . 【例 2】设,x yR，1,1ab，若2 xy ab，28ab，则 11 xy 的最大值为 _. 【例 3】若实数,x y满足 22 1xyxy，则x y的最大值为 . 【例 4】 （2013 年南开一模）已知正实数, a b满足21abab，则ab的最小
5、值为 . 专题基本不等式编者：高成龙 第5页 【例 5】 设,m nR， 若直线1120mxny与圆 22 111xy相切，则mn的取值范围是 （） （A）13,13（B） ,1313, （C）22 2,22 2（D） ,22 222 2, 【例 6】已知1,1xy，且 11 ln,ln 44 xy成等比数列，则xy的最小值为 . 【例 7】 （2015 天津） 已知0,0,8,abab则当a的值为时 22 loglog2ab取得最大值 . 【例 8】 （2011 年天津） 已知 22 loglog1ab，则39 ab 的最小值为. 专题基本不等式编者：高成龙 第6页 【例 9】下列说法正确的是（） A函数 x xy 2 的最小值为2 2 B函数)0( sin 2 sinx x xy的最小值为2 2 C函数 x xy 2 的最小值为2 2 D函数 x xy lg 2 lg的最小值为2 2 【例 10】设,5,33 xy x yxyR且则的最小值是（） A10 B 6 3 C 4 6 D 183
