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1、 第八届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校：清华大学 满分 120 分 时间 3 小时 30 分钟 一、看似简单的小试验（30 分） 某学生设计了三个力学试验，其条件和器材很简单：已知光滑半圆盘质量为 m ，半径为 r ，可在水平面上左右移动。坐标系 Oxy 与半圆盘固结，其中 O为圆心， x轴水平， y 轴竖直。小球 (1,2,3)iPi= 的质量均为 m 。重力加速度 g 平行于 y 轴向下，不考虑空气阻力和小球尺寸。每次试验初始时刻半圆盘都处于静止姿态。 （1）如果她扔出小球1P ，出手的水平位置0x r ，但高度、速度大小和方向均可调整，问小球1P 能否直接击中半圆盘边缘最左侧的
2、A点？证明你的结论（6 分） 。 （2）如果她把小球2P 从半圆盘边缘最高处 B 点静止释放，由于微扰动小球向右边运动。求小球2P 与半圆盘开始分离时的角度 （12 分） 。 （3）如果她让小球3P 竖直下落，以0v 的速度与半圆盘发生完全弹性碰撞（碰撞点在 45 =处） ，求碰撞结束后瞬时小球3P 与半圆盘的动能之比（12 分） 。 二、组合变形的圆柱体（20 分） 圆柱 AB 的自重不计，长为 L，直径为 D，材料弹性模量为 E ，泊松比为 ，剪切屈服应力为 s。其中圆柱 A端固定， B 端承受引起 50%剪切屈服应力的扭矩TM作用。 （1）求作用于圆柱上的扭矩TM （6 分） 。 （2）
3、应用第三强度理论（最大剪应力理论） ，求在圆柱 B 端同时施加多大的轴向拉伸应力而不产生屈服（6 分） 。 （3）求问题（2）情况下圆柱体的体积改变量（8 分） 。 三、顶部增强的悬臂梁（30 分） 有一模量为1E 的矩形截面悬臂梁 AB ， A端固定， B 端自由。梁长为 L，截面高度为1h ，宽度为 b 。梁上表面粘着模量为212EE= 的增强材料层，该层高度210.1hh= ，长度和宽度与梁 AB 相同。工作台面 D距离 B 端下表面高度为 。在 B端作用垂直向下的载荷PF 。不考虑各部分的自重。 （1）求组合截面中性轴的位置（6 分） 。 （2）求使梁 B 端下表面刚好接触 D台面所需
4、的力PF （8 分） 。 （3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力（6 分） 。 （4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图（10 分） 。 四、令人惊讶的魔术师（20 分） 一根均质细长木条 AB 放在水平桌面上，已知沿着 AB 方向推力为1F 时刚好能推动木条。但木条的长度、重量和木条与桌面间的摩擦因数均未知。 魔术师蒙着眼睛，让观众把 N 个轻质光滑小球等间距地靠在木条前并顺序编号（设 N 充分大） ，然后如图在任意位置慢慢用力推木条，要求推力平行于桌面且垂直于 AB 。 当小球开始滚动时， 观众只要说出运动小球的最小号码minn 和最大号码maxn ，魔术师就能准确地说出推力的
5、作用线落在某两个相邻的小球之间。 魔术师让观众撤去小球后继续表演，观众类似前面方式在任意位置推动木条，只要说出刚好能推动木条时的推力2F ，魔术师就能准确地指出推力位置。 （1）简单说明该魔术可能涉及的力学原理（4 分） 。 （2）如何根据滚动小球的号码知道推力作用在哪两个相邻小球之间（12 分）？ （3）如果观众故意把2F 错报为122F ，魔术师是否有可能发现（4 分）？ 五、对称破缺的太极图（20 分） 某宇航员在太空飞行的空闲时间， 仔细地从一块均质薄圆板上裁出了半个太极图形，并建立了与图形固结的坐标系 Oxz。 他惊奇地发现：虽然该图形不具有对称性，但仍具有很漂亮的几何性质：惯性矩x zI I= 。他怀疑上述性质是否具有普遍性，于是随意地将 Oxz坐标系绕 O点转动 角，得到新的坐标系 Ox z ，仍然发现x zI I= 。 接着他发现该图形在太空失重情况下不可能绕 z 轴平稳地旋转。看到手边正好有一些钢珠，质量分别为116, ( 1,2,.,16)immii= = ，其中 m 是半太极图形的质量，他想尝试把钢珠粘在图形上 （1）试证明该图形x zx zI III= =是否成立（10 分） 。 （2）不考虑钢珠的尺寸和粘接剂的质量，是否可能在某处粘上一颗钢珠后，图形就能平稳地绕 z 轴旋转？简要说明理由（10 分） 。
