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1、 圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义:第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在轴上时(),焦点在轴上时1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(AB
2、C0,且A,B,C同号,AB)。(2)双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上:1()。方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC0,且A,B异号)。(3)抛物线:开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):(1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。(2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。提醒:在椭圆中,最大,在双曲线中,最大,。4.圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(以()为例):范围:;焦点:两个焦点;对称性:两条对称轴,一个对称中心(
3、0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;准线:两条准线; 离心率:,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。(2)双曲线(以()为例):范围:或;焦点:两个焦点;对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;准线:两条准线; 离心率:,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;两条渐近线:。(3)抛物线(以为例):范围:;焦点:一个焦点,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);准线:一条准线; 离心率:,抛物线。5、点和椭圆()
4、的关系:(1)点在椭圆外;(2)点在椭圆上1;(3)点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系:(1)相交:直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。(2)相切:直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;(3)相离:直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有
5、一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线
6、有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题: ,当即为短轴端点时,的最大值为bc;对于双曲线。 如 (1)短轴长为,8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则AMFBMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PAPB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。9、 弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为
7、A、B的横坐标,则,若分别为A、B的纵坐标,则,若弦AB所在直线方程设为,则。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。抛物线:在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!11了解下列结论(1)双曲线的渐近线方程为;(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,0)。(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直
8、于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;(6)若抛物线的焦点弦为AB,则;(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:(1) 给出直线的方向向量或;(2)给出与相交,等于已知过的中点;(3)给出,等于已知是的中点;(4)给出,等于已知与的中点三点共线;(5) 给出以下情形之一:;存在实数;若存在实数,等于已知三点共线.(6) 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,(8)给出,等于已知是的平分线/(9
9、)在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;(10) 在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;(11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);(12) 在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);(13)在中,给出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);(14)在中,给出等于已知通过的内心;(15)在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点); (16) 在中,给出,等于已知是中边的中线; (3)已知A,B为抛物线x2=2py(p0)上异于原点的两点,点C坐标为(
10、0,2p)(1)求证:A,B,C三点共线; (2)若()且试求点M的轨迹方程。(1)证明:设,由得,又,即A,B,C三点共线。(2) 由(1)知直线AB过定点C,又由及()知OMAB,垂足为M,所以点M的轨迹为以OC为直径的圆,除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0,y0)。13.圆锥曲线中线段的最值问题:例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则,因而易发现,当A、P、F三点共线
11、时,距离和最小。(2) B在抛物线内,如图,作QRl交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。 解:(1)(2,)(2)()1、已知椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程; (2) 若直线l:与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点),求k的取值范围。解:()设双曲线C2的方程为,则故C2的方程为(II)将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得 解此不等式得 由、得故k的取值范围为在平面直角坐标系x
12、Oy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足MB/OA, MAAB = MBBA,M点的轨迹为曲线C。()求C的方程;()P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。()设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知(+)=0,即(-x,-4-2y)(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2. ()设P(x,y)为曲线C:y=x-2上一点,因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为,即。则O点到的距离.又,所以当=0时取等号,所以O点到距离的最小值为2.设双曲线(
13、a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( )设双曲线的一条渐近线,则双曲线的离心率为( ). 过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为已知双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点在双曲线上.则( )0已知直线与抛物线相交于两点,为的焦点,若,则( )已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点。若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_.椭圆的焦点为,点P在椭圆上,若,则 ;的大小为 .过抛物线的焦点F作倾斜角为的
14、直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则_ 【解析】设切点,则切线的斜率为.由题意有又解得: 双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线,双曲线方程是,于是两焦点坐标分别是(2,0)和(2,0),且或.不妨去,则,.【解析】设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D一、椭 圆1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.6. 若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆(ab0)的焦半径公式:,( , ).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP