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1、4.3 光在晶体中传播的几何法描述 光在晶体中的传播规律除了利用上述解析方法进行严格的讨论外，还可以利用一些几何图形描述。这些几何图形能使我们直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系，以及与各传播方向相应的光速或折射率的空间取值分布。当然，几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是上面所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。,在传统的晶体光学中，人们引入了折射率椭球、折射率曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面等六种三维曲面。限于篇幅和实际的应用需要，这里只着重介绍折射率椭球、折射率曲面以及菲涅耳椭球和射线曲面。,1. 折射率椭球(光率体)（1).折射率椭球方程 由光的电磁理论
2、知道，在主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度为：故有 在给定能量密度we的情况下，该方程为D(D1、D2、D3)空间的椭球面。,若令：则有或者,图 4 - 10 折射率椭球(光率体),图 4 - 11 确定折射率和D振动方向的图示,（2) 折射率椭球的性质 若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量k，再过坐标原点作一平面(称为中心截面)(k)与k垂直(图 4 - 11)，(k)与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记作ra(k)和rb(k)，则可以证明折射率椭球具有下面两个重要的性质： 与波法线方向k相应的两个特许线偏振光的折射率n和n，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长，即：,.与波
3、法线方向k相应的两个特许线偏振光D的振动方向d和d，分别平行于ra和rb，即：这里，d是D矢量方向上的单位矢量。 这样，只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就可以作出相应的折射率椭球，从而就可以通过上述的几何作图法定出与波法线矢量k相应的两个特许线偏振光的折射率和D的振动方向(图4-11)。,（3) 利用折射率椭球确定D,E,k,s方向的几何方法 利用折射率椭球除了确定相应于k的两个特许线偏振光D矢量的振动方向和折射率外，还可以借助于下述几何方法，确定D, E, k, s各矢量的方向。 如前所述，D、E、k, s矢量都与H矢量垂直，因而同处于一个平面内，这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆
4、，如图 4-12 所示。 如果相应于波法线方向k的一个电位移矢量D确定了，与该D平行的矢径端点为B，则椭球在B点的法线方向平行于与该D矢量相应的E矢量方向。,图 4 - 12 由给定的D确定E、k、s方向图示,（4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质.各向同性介质或立方晶体 在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数1=2=3 ，主折射率n1=n2=n3=n0，折射率椭球方程为： 这就是说，各向同性介质或立方晶体的折射率椭球是一个半径为n0的球。因此，不论k在什么方向，垂直于k的中心截面与球的交线均是半径为n0的圆，不存在特定的长、短轴，因而光学性质是各向同性的。,. 单轴晶体 在单轴晶体中，1=
5、23，或n1=n2=no， n3=neno，因此折射率椭球方程为： 显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为x3轴。若neno称为正单轴晶体(如石英晶体)，折射率椭球是沿着x3轴拉长了的旋转椭球；若ne no，称为负单轴晶体(如方解石晶体)，折射率椭球是沿着x3轴压扁了的旋转椭球。,图 4 - 13 单轴晶体折射率椭球作图法,图 4 - 14 两个坐标系的关系,.双轴晶体 a.双轴晶体中的光轴 对于双轴晶体，介电张量的三个主介电系数不相等，即123，因而n1n2n3，所以折射率椭球方程为： 若约定n1n2n3，则折射率椭球与x1Ox3平面的交线是椭圆(图4 - 15)，它的方程为：,式中，n1和n3分
6、别是最短、最长的主半轴。若椭圆上任意一点的矢径r与x1轴的夹角为，长度为n，则上式可写成或 n的大小随着在n1和n3之间变化。由于n1n2no，球面内切于椭球；对于负单轴晶体，neno ，球面外切于椭球。两种情况的切点均在x3轴上，故x3轴为光轴。当与x3轴夹角为的波法线方向k与折射率曲面相交时，得到长度为no和ne()的矢径，它们分别是相应于k方向的两个特许线偏振光的折射率，其中ne()可由(4-102)式求出：,对于双轴晶体，n1n2n3, 前面所述的四次曲面在三个主轴截面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆，它们的方程分别是:,图 4-21 双轴晶体的折射率曲面在三个主轴截面上的截线,图
7、4 - 22 双轴晶体的折射率曲面在第一卦限中的示意图,3. 菲涅耳椭球 上面讨论的折射率椭球和折射率曲面都是相对波法线方向k而言的。由于晶体中的k与s可能分离，而在有些应用中给定的是s方向，所以利用相对s而言的曲面讨论光的传播规律比较方便。菲涅耳椭球就是相对光线方向s引入的几何曲面。由折射率椭球方程并利用矢量对应关系，可得：,式中，vr1、vr2、vr3表示三个主轴方向上的光线主速度。这个方程就是用来描述光在晶体中传播特性的菲涅耳椭球。在描述光的传播特性时，它与折射率椭球的作图方法完全相同，只是以光线方向s取代波法线方向k。对于任一给定的光线方向s，过菲涅耳椭球中心作垂直于s的平面，它与菲涅
8、耳椭球相交，其截线为椭圆，该椭圆的长、短轴方向表示与s方向相应的二特许线偏振光电场强度E的振动方向，半轴长度表示该二光的光线速度。如果把长、短半轴矢径记作ra(s)和rb(s)，则有：,e表示与光线方向s相应的E矢量振动方向上的单位矢量。菲涅耳椭球可记为 (e,vr)曲面。,4. 射线曲面 射线曲面是和折射率曲面相对应的几何图形，它描述与晶体中光线方向s相应的两个光线速度的分布。射线曲面上的矢径方向平行于给定的s方向， 矢径的长度等于相应的两个光线速度vr，因此可简记为(s,vr)曲面。实际上，射线曲面就是在晶体中完全包住一个单色点光源的波面。 射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程就是：,图 4 - 23 单轴晶体的射线曲面(a) 正单轴晶体； (b) 负单轴晶体,图 4 24 双轴晶体射线曲面 在三个主轴截面上的截线,图 4 - 25 双轴晶体射线曲面在第一卦限中的示意图,
