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1、七年级数学竞赛辅导材料（上）数的整除（一）一、内容提要：如果整数A除以整数B(B0)所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除。0能被所有非零的整数整除。一些数的整除特征除 数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3(或9)各位上的数字和被3(或9)整除(如771能被3整除，54324能被9整除)11奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减，其差能被11整除(如143，1859，1287，等)7，11，13从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被7或11或13整除(如1001，22743，1756
2、7，21281等)能被7整除的数的另一特征：抹去个位数；减去原个位数的2倍；其差能被7整除。如：1001，100298（能被7整除）；又如：7007，70014686，681256（能被7整除）能被11整除的数的又一特征：抹去个位数；减去原个位数；其差能被11整除。如：1001，100199（能11整除）；又如：10285102851023，102399（能11整除）。二、例题：例1 已知两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除。求x，y的值。解：x、y都是0到9的整数，能被9整除，y=6，328567，x=3。例2 己知五位数能被12整除，求X。解：五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，
3、 当1234X能被3整除时，x=2，5，8；当末两位能被4整除时，X0，4，8。X8。例3 求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（124）（03）4，不能被11整除，只调整末位数仍不行。调整末两位数为30，41，52，63，均可，五位数字都不相同的最小五位数是10263。三、练习题：1 分解质因数（写成质因数为底的幂的连乘积）： 924 1859 1287 3276 10101 102962 若四位数能被3整除，那么 a=_。3 若五位数能被11整除，那么X_。4 当m=_时，能被25整除。5 当 n=_时，能被7整除。6 能被11整除的
4、最小五位数是_，最大五位数是_。7 能被4整除的最大四位数是_，能被8整除的最小四位数是_。8 8个数：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6_，8_，9_，11_。9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_个，能被3整除但不是5的倍数的共_个。10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？11 己知五位数能被15整除，试求A的值。12 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整
5、数是（1989年全国初中联赛题）。【数的整除（一）】练习题参考答案：序 号11111答 案34711111323211132232713371337序 号12345答 案233211130或3或6或902或73序 号6789答 案10010，999909996，99926：/8：/9：/11：16，27序 号10111213答 案没有一个、A510269初一(上)数学竞赛辅导资料（2）倍数约数一、内容提要：1、两个整数A和B（B0），如果B能整除A（记作BA），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如315，15是3的倍数，3是15的约数。2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除
6、。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。3、整数A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0、A、2A、都是A的倍数，例如5的倍数有5、10、。4、整数A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1和A。例如6的约数是1，2，3，6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几个正整数有最小的公倍数和最大的公约数。6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。7、在有余数的除法中，被除数除数商数余数。若用字母表示可记作：ABQR，当A，B，Q，R都是整数且B0时，AR能被B整除。例如23372，则2
7、32能被3整除。二、例题：例1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232。解：列表如下：正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21、2231、32231、2、3、64221、2、43321、3、3232231、2、3、4、6、126231、2、4、84331、3、32、33422321、2、3、4、6、9、12、18、369241、2、4、8、165341、3、32、33、345其规律是：设Aambn(a、b是质数，m、n是正整数)，那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)例如：求36
8、0的正约数的个数。解：分解质因数：36023325，360的正约数的个数是（31）（21）（11）24（个）例2 用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数。解：24233，902325最大公约数是23，记作（24，90）6最小公倍数是23325360，记作24，90=360。例3 己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N。解：322，442都能被N整除，N是30，42的公约数。（30，42）6，而6的正约数有1，2，3，6，经检验1和2不合题意，N6，3。例4 一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数。分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9
9、，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。解：10，9，8=360，所以所求的数是359。三、练习题：1、12的正约数有_，18的所有约数是_。2、分解质因数300_，300的正约数的个数是_。3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。4、一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_。5、能同时被3，5，11整除的最小四位数是_；最大三位数是_。6、己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A_。7、写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答_。8、一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以
10、是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9、一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？【倍数、约数】练习题参考答案：序号倍数、约数参考答案序号倍数、约数参考答案11、2、3、4、6、12； 1、2、3、6、9、18222352；18325；2253469353，5，11165，1155；9906A3（即求142与232的公约数）730、60、908(135，105)15，正约数有1，3，5，1
11、591192，3，4，5，660，6021119初一(上)数学竞赛辅导资料（3）质数、合数1质数合数一、内容提要：1、正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。 合数的定义：一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2、根椐质数定义可知：、质数只有1和本身两个正约数；、质数中只有一个偶数2，如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2。3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。二、例题：例1 两个质数的
12、和等于奇数a (a5)。求这两个数。解：两个质数的和等于奇数，必有一个是2所求的两个质数是2和a2。例2 己知两个整数的积等于质数m，求这两个数。解：质数m只含两个正约数1和m， 又（1）（m）=m所求的两个整数是1和m或者1和m.。例3 己知三个质数a，b，c它们的积等于30，求适合条件的a，b，c的值。解：分解质因数：30235适合条件的值共有： 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a，b，c，d它们的积等于210，即abcd=2357那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。例4试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数。解：（本题答案不是唯一的）设N是不大于
13、5的所有质数的积，即N235，那么N2，N3，N4，N5就是适合条件的四个合数，即32，33，34，35就是所求的一组数。本题可推广到n 个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N2，N3，N4，N（n+1）就是所求的合数。三、练习题：1、小于100的质数共_个，它们是_。2、己知质数P与奇数Q的和是11，则P ，Q 。3、己知两个素数的差是41，那么它们分别是 。4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是 。如果两个整数的积等于73，那么它们是 。如果两个质数的积等于15，则它们是 。5、两个质数x和y，己知xy=91，那么x= ，y= ，或x= ，y= 。6、三个质数a，b，c它们的积等于1990，那么7、能整除311513的最小质数是 。8、己知两个质数A和B适合等式AB99，ABM。
