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1、对应学生书P265一、选择题1长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：建立坐标系(如图)则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案：B2在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()AAC BBD CA1D DA1A解析：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,
2、0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)显然00，即CEBD.答案：B3在90的二面角的棱上有A、B两点，AC、BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB，已知AB5，AC3，CD5，则BD()A4 B5 C6 D7解析：由条件知ACAB，BDAB，ACBD.又，2()2|2|2|23252|2(5)2，|216，BD4.答案：A4若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60 C30 D以上均错解析：设l与所成角为，则sin|cos120|.又090，30.答案：C5
3、已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析：如图，建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)显然AC平面BB1D1D.(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量又(0,4,2)，cos，.即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.答案：C6二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45 C60 D120解析：由题意，知与所成角即为该二面角的平面角，222
4、2222.(2)26242822|cos，116268cos，cos，.，120，60.该二面角的大小为60.答案：C7平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，则AC1的长为()A. B. C. D.解析：|. 答案：B8如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E、F分别是BC、DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A. B. C. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)，设F，E，B(1,1,1)，(0,1,0)，.0，.又，平面ABF，平面ABF的法向量为，(0,1，1)B
5、1到平面ABF的距离为. 答案：D二、填空题9(2020上海模拟)设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，则平面与位置关系是_解析：由已知，得a、b分别是平面、的法向量ab2640，ab，.答案：垂直10如图，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_解析：方法一：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，设Q(1，x,0)，则据题意，可得AQQD，0，即(1，x,0)(1，ax,0)0，x2ax10.又Q点唯一，故方程x2ax10有两个相等的解，a2
6、40，a2，或a2(舍去)a2.方法二：由PA平面ABCD得PAQD.又QDPQ，PAPQP，QD平面PAQ.QDAQ.又BC上只有一个点Q满足QDPQ，1，a2.答案：211矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G为BC中点，K为AFD的外心，沿EF将矩形折成120的二面角AEFB，则此时KG的长是_解析：如图，过K作KMEF，M为垂足，则向量与的夹角为120.，22222222222，21100211cos60002cos180213.|.答案：12(2020滨州模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB
7、、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角为_解析：以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)2.cos，.EF和BC1所成角为60. 答案：60三、解答题13如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2，ABAD.解析：(1)连接OC，BODO，ABAD，AOBD.BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，而AC2，AO2CO2AC2.AOC90，即AOOC.BDOCO，AO平面BCD.(2)以O为原点，建立如图的
8、空间直角坐标系则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，E，(1,0,1)，(1，0)cos，.AB与CD所成角的余弦值为.14如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC.(1)求证：PCAB；(2)求二面角BAPC的余弦值解析：(1)ACBC，APBP，PCPC，APCBPC.又PCAC，PCBC.ACBCC，PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB.(2)如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)设P(0,0，t)，PBAB2，t2.P(0,0,2)取AP中点E，连接BE、CE
9、.ACPC，ABBP，CEAP，BEAP.BEC是二面角BAPC的平面角E(0,1,1)，(0，1，1)，(2，1，1)，cosBEC.二面角BAPC的余弦值为.15如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA11，ACB90.(1)求异面直线A1B与CB1所成角的余弦值(2)问：在A1B1边上是否存在一点Q，使得平面QBC与平面A1BC所成的角为30？若存在，请求点Q的位置，若不存在，请说明理由解析：(1)分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A1(，0,1)，B(0，0)，C(0,0,0)，B1(0，1)，(，1)，|，(0，1)，|2，cos，
10、.异面直线A1B与CB1所成角的余弦值为.(2)方法一：ABCA1B1C1是直三棱柱，ACB90，BCCA1，BCCC1，A1CC1是二面角A1BCC1的平面角在RtA1C1C中，可求A1CC160，假设存在这样的点Q，使得平面QBC与平面A1BC成30角在平面A1B1C1中过点Q作QPB1C1，交A1C1于P，连PC，则P、Q、B、C共面，A1CP就是二面角QBCA1的平面角，且为30.3060，故存在点P，在A1CC1的平分线上，在RtPC1C中，可得PC1，又A1B1，由相似比可求得QB1.Q在距A1点处(或距B1点处)方法二：假设存在这样的点Q，使得平面QBC与平面A1BC成30角(，0)，(，0,1)，设，则(1)，1)又(0，0)，设平面QBC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则取x11，有n1(1,0，(1)同理，设平面A1BC的法向量为n2(x2，y2，z2)由取x21，有n2(1,0，)cos30.求得.Q在距A1点处(或距B1点处)
