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1、第一章 张量初步,矢量空间的有关概念 线性相关矢量组 ui（i=1,2, n)：存在一组不全为零的实数ai（i=1,2,n)，使得下式成立 线性无关：若存在矢量组 ui（i=1,2, k1)，当且仅当ai=0（i=1,2,k)，使得下式成立 则称这组k个矢量是线性无关的。 矢量空间的维数：一个矢量空间所包含的最大线性无关组中矢量的数目称为该矢量空间的维数。 说明：在n维空间中，可以根据解决物理问题的需要选择n个线性无关的基矢量，而任意矢量可用n个基矢量的线性组合来表示。常用空间维数为n=3或n=2。,2,ppt/102,三维空间中矢量的几种乘积运算： （1）两个矢量a、b的点积定义一个标量a，
2、记为 （2）两个矢量a、b的叉积定义一个矢量c ，记为 式中i、j、k为三维空间中的单位正交基矢量。 课堂练习：试分别用矢量点积和叉积运算推导三角形的余弦定理和正弦定理。,3,ppt/102,三维空间中矢量的几种乘积运算： （3）三个矢量a 、b 、c的混合积得到一个标量a （4）三个矢量a 、b 、c的双重叉积得到一个矢量d 置换符号（permutation symbol）：,4,ppt/102,矢量与矩阵（vector and matrix） 设u、v、w为3个行矢量（分量排成行），则对应列矢量（分量排成列）分别记为uT、vT、wT。 定义矩阵及其转置矩阵为 式中T为转置符号，矢量的点积可
3、记为 注意,5,ppt/102,矩阵与其转置矩阵的乘积 矩阵A的行列式（determinate）记为detA 式中u v w表示矢量u、v、w的混合积。 矩阵乘积的行列式 所以,6,ppt/102,平面斜角直线坐标系 平面内任意矢量p可表示为 g1、 g2称为协变基矢量， （vector of covariant base） 沿互为斜角直线方向， g1、 g2称为逆变基矢量， （vector of contravariant base） 逆变和协变基用上、下标区分， 对应的pk、 pk（k=1, 2）分别称为矢量p的逆变和协变分量。,7,ppt/102,协变、逆变基矢量 满足如下关系： 所以
4、特别提示：在直角坐标系中，逆变与协变基矢量相同，不需区分逆变与协变分量，即不用区分上标、下标。,8,ppt/102,三维空间中斜角直线坐标系 空间内一点的矢径r = r (x1， x2， x3)可表示为 式中引用了求和约定，协变基矢量gi（i=1，2，3）定义为 所以 定义 称为度量张量G=(gij)的分量。,9,ppt/102,根据公式 有 式中g是度量张量矩阵行列式的值。另外 所以,10,ppt/102,同样，如果定义 则有 所以 因此， (gij)与 (gij)互为逆矩阵。,11,ppt/102,如果将协变基矢量沿逆变基分解，即 由于 所以 因此 同理 这表明gik、gik分别具有升、降
5、指标的作用。另外，显然有 这再次证明(gij)与 (gij)互为逆矩阵。,12,ppt/102,由上式可知，逆变基矢量g1与协变基矢量g2 、 g3垂直， 可以用协变基矢量g2 、 g3的叉积表示逆变基g1： 上式两端同时点乘g1得到 所以 同理,13,ppt/102,（1）证明：协变基g i(i=1,2,3)可用逆变基g i的叉积表示为 （2）证明：对任意矢量 它的逆变分量p i 、协变分量p i (i=1,2,3)存在指标升降关系 (3）证明：对任意矢量u、v，存在下列关系,课堂练习,14,ppt/102,空间一点的矢径可表示为 x1、 x2 、 x3可表示为曲线坐标的函数： 为笛卡儿直角
6、坐标， 为曲线坐标。 曲线坐标 与空间点一一对应的条件是 ： 为定义域内的单值、连续可微函数，并且雅可比矩阵的行列式非零，即,曲线坐标系,15,ppt/102,空间一点的局部协变基矢量定义为 gi (i=1,2,3)与笛卡儿直角坐标系的 正交标准基e1、 e2 、 e3的转换关系为 在笛卡儿直角坐标系中，Hamilton微分算子定义为,空间点的局部基矢量,16,ppt/102,下面证明：空间一点的局部逆变基矢量可表示为坐标面的梯度，即 设 ，只要证明 即可。 因为 所以 上式两端同乘以 并对j求和，得到,空间点的局部基矢量,17,ppt/102,利用指标的升、降运算，空间一点的矢径的微分增量可
7、以沿协变基或逆变基分解 式中dxi是通过度量张量和dr的逆变分量dxj得到的协变分量，一般情况下，它不是坐标xi的微分，因为在曲线坐标系中， xi是尚未定义的量。 在正交曲线坐标系中，当ij， gij = gi gj =0，gij=gi gj =0，Lam 常数Ai通过度量张量非零分量定义如下 微元dr的弧长可通过Lam 常数Ai表示为,正交曲线坐标系与拉梅常数,18,ppt/102,设两组曲线坐标xj与xi有一一对应关系xj = xj (xi )， xi = xi (xj ) 记 则有坐标变换式 这是因为根据定义 所以 同理,坐标变换,19,ppt/102,利用下面公式， 证明：（1）协变、
8、逆变基坐标变换公式 （2）度量张量分量坐标变换公式 因此 ，b ji、 b ij称为变换系数。,课堂练习,20,ppt/102,证明：对于任意矢量 其分量的坐标变换公式为 式中， b ji、 b ij称为变换系数。,课堂练习,21,ppt/102,并矢：两个矢量a与b的并矢定义一个不同于矢量的新的量，记为ab，称为二阶并矢，它可以与任意矢量f进行点积运算，得到一个矢量并满足下列规则 类似地，可定义多个矢量的并矢，例如abc，uvwp等等，分别称为三阶并矢、四阶并矢。 除交换律不满足以外，并矢服从初等代数的运算规律： （1）对数乘的结合律；（2）对加法的分配律。 并矢ab的转置：定义为ba，显然
9、是一个新的并矢。 缩并：在并矢中，若取其中两个矢量进行点积，这种运算称为缩并。任意并矢缩并后，其结果阶次降2，例如二阶并矢缩并后结果为标量，三阶并矢缩并后结果为矢量。,并矢与张量概念,22,ppt/102,并矢的点积：两个并矢的点积是指将它们相邻的两个矢量进行缩并。例如(a b)uv=( bu) av， uv(a b)=(va) ub 类似地 可定义并矢的叉积：(a b) (uvw)=a (b u) vw 显然并矢的点积与叉积均不满足交换律。 并矢的双点积：有下列两种。 （1）串联式： （2）并联式： 类似地有并矢的双叉积：,并矢与张量概念,23,ppt/102,矢量的两种表示法 （1）实体表
10、示 绝对形式：在几何上表示具有长度、方向和指向的量，用黑体字母或带箭头的字母表示。 （2）分量表示分量形式：满足下面坐标变换式的一组有序数 矢量作为实体在坐标变换下保持不变，用分量表示具有形式不变性。例如，对于任意矢量v,矢量与张量表示法,24,ppt/102,张量：由若干满足坐标变换关系的有序数组成的集合称为张量，这些有序数称为张量的分量。 张量的阶数：张量的分量中所需要的指标符号的总数。 张量也有实体（绝对形式）和分量两种表示法，例如二阶张量T的逆变分量记为T ij，满足下面坐标变换关系 张量作为实体在坐标变换下保持不变，用分量表示具有形式不变性。例如，对于任意二阶张量T 二阶张量T的迹，
11、记为tr(T) =T i.i =T1.1+ T 2.2+ T 3.3.,张量表示法,25,ppt/102,利用二阶张量表达式 及公式 证明：（1）张量分量指标满足如下升、降关系 （2）度量张量G可表示为 并且对于任意张量(包括矢量) A，有 G A=A G=A。,课堂练习,26,ppt/102,这里，指标在上的称为逆变分量，指标在下的称为协变分量，在同一个分量中指标同时有上下的称为混变分量。 二阶张量T的行列式det(T)通常用混变分量定义，即 det(T i.j)，行号前指标i 为逆变指标，列号后指标 j 为协变指标。 一般情况下指标的相对顺序不可随意改变，即Ti.j T j.i。 从上面张
12、量T的表达式中可以看出，二阶张量是通过基矢量的并矢表示的，因此，张量是矢量概念的推广。 在n维空间中，m阶张量共有nm个分量，例如3维空间中的二阶张量共有32=9个分量。,矢量与张量表示法,27,ppt/102,两个矢量a、b的并矢可以表示为 根据二阶张量的定义，C显然是一个二阶张量，其逆变分量为C ij= aibj ，满足坐标变换关系 即 故二阶并矢相当于二阶张量。可以用多个矢量的并矢定义高阶张量，例如，下面给出（m+n）阶张量F w=0时， F 称为绝对张量，否则，称为权为w的相对张量。,高阶张量表示法,28,ppt/102,利用基矢量坐标变换公式 可得到新旧坐标系中张量F的分量之间的关系
13、式： 式中,高阶张量表示法,29,ppt/102,下面利用公式 说明以置换符号eijk为分量的张量为三阶相对张量。 根据行列式计算公式及行列交换性质 可知 e=(eijk) 是权为w=-1的三阶相对张量。 如果令 ，则上式改写为,相对张量与置换张量,30,ppt/102,所以， e =(eijk) 是绝对张量，通常称之为置换张量，其并矢表达式为,相对张量与置换张量,31,ppt/102,（1）试利用置换张量e的协变分量定义式 及指标升降关系，证明：置换张量 的逆变分量可表示为 （2）试利用公式 证明矢量u=uigi与v=vjgj的叉积公式：,课堂练习,32,ppt/102,下面利用d=(d i
14、j)的行列式，推导e d关系式。 由行列式性质，有 另外 所以 ，这就是e d关系式。,e d关系式,33,ppt/102,由此可进一步推出下列公式,e d关系式,34,ppt/102,利用行列式性质及下列公式 推导矩阵（Am.n）的行列式公式,课堂练习,35,ppt/102,（1）同阶张量相加、减：将对应分量相加，例如 （2）张量与数乘：等于该数乘以张量的每一个分量，例如 （3）张量的并积：两个张量并积结果为一个新的张量，该张量的阶数为参加并乘的张量阶数之和，注意TS ST。 （4）二阶以上张量的缩并：将张量中任意两个基矢量（通常为邻近的一个协变基与一个逆变基）作点积。张量的缩并使张量的阶数
15、减2，二阶张量缩并后变为一个标量。,张量的代数运算,36,ppt/102,（5）点积与叉积：两个张量先并积、后缩并或叉积（按邻近原则）的运算称为张量点积或张量叉积。 二阶张量的幂运算（点积）：T 2=T T， T 3=T 2 T，等等。 两个张量的叉积公式： A B =-A e B ， e为置换张量。 （6）双点积与双叉积：与并矢的双点积、双叉积运算相同，有并联式和串联式两种 并联式（按邻近的原则，前-前，后-后分别运算）： 串联式（按邻近的原则，外-外，内-内分别运算）：,张量的代数运算,37,ppt/102,仿射量（affine quantity） ：二阶张量称为仿射量。 对称仿射量 反对
16、称仿射量 仿射量的行列式的值与坐标系的选取无关，是坐标变换下的不变量。 仿射量B的逆记为B -1，满足 式中G为度量张量，det(G)= det(d i.j)=1. 正则仿射量：行列式非零的仿射量存在逆，这时的仿射量称为正则仿射量。 正交仿射量：如果仿射量Q的逆等于其转置Q T，即有 则称Q为正交仿射量。,仿射量及其有关概念,38,ppt/102,对于仿射量B，如果有 成立，则称标量l为B的特征值，求解l的方程称为特征方程。 非零矢量r（或l）称为B的右（或左）特征矢量。 当右、左特征矢量方向相同时，称该方向为B的特征方向。 特征空间：将特征值l与相应的右（或左）特征矢量所张成的空间称为右（或左）特征空间。 仿射量B的特征方程为 式中I1(B)、 I2(B) 、 I3(B)由下列公式定义，因为在坐标变换下不变，所以称为B的第一、第二、第三不变量：,仿射量的特征值与不变量,39,ppt/102,若l和r是仿射
