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1、考点一椭圆的定义及其标准方程 考向基础 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 椭圆定义中的常数2a|F1F2|,即对椭圆上任意一点M都有|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|.这个条件是必要的,否则其轨迹就不是椭圆.事实上,若2a=|F1F2|, 其轨迹是线段F1F2;若2a|F1F2|,其轨迹不存在. 2.(1)椭圆标准方程的推导是根据椭圆的定义,通过建立恰当的坐标系求出的,参数b=,它是因为化简方程的需要而引入的,它具有,考点清单,明确的几何意义:b表示短半轴的长. (2)求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”和“定量”三个
2、方面去思考.“定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点在哪条坐标轴上;“定式”是根据“形”设椭圆方程的具体形式;“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值. 考向突破,考向一椭圆定义的应用,例1(2018广东清远一模,8)曲线C1:+(mn0),曲线C2:-=1(a b0).若C1与C2有相同的焦点F1、F2,且P同在C1、C2上,则|PF1|PF2|= () A.m+aB.m-a C.m2+a2D.m2-a2,解析由题设条件可知|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2, |PF1|=+,|PF2|=-, |PF1|PF2|=m-a.故选B.,答案B,解析依题
3、意设椭圆G的方程为+=1(ab0), 椭圆上一点到两焦点的距离之和为12,2a=12,a=6,椭圆的离心率为,e=,即=,解得b2=9,椭圆G的方程为 +=1,故选A.,答案A,考点二椭圆的几何性质 考向基础,【知识拓展】 1.如图,过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|=,称为通径. 2.如图,P为椭圆上的点,F1,F2为椭圆的两个焦点,且F1PF2=,则F1PF2的面积为b2tan.,3.椭圆+=1与+=k(其中ab0,k0)有相同的离心率. 4.a+c与a-c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值. 5.设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB的斜率
4、之积为定值-. 考向突破,例3(2019届河北百校联盟10月联考,5)已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C: +=1(ab0)的短轴端点和两个焦点,则椭圆C的离心率为() A.B.C.D.,考向一椭圆的离心率,解析由题意知(c,0)与(0,b)在圆O:x2+y2=4上,则(c)2=4且(b)2=4,解得b=c=2,a=2,椭圆C的离心率e=,故选C.,答案C,例4(2019届四川成都顶级名校9月调研,6)已知F1,F2是椭圆C:+=1 (ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且,若PF1F2的面积为 9,则b的值为() A.1B.2C.3D.4,考向二焦点三角形问题,解析根据椭圆的定义可知|PF
5、1|+|PF2|=2a,又,|PF1|PF2| =9,|PF1|2+|PF2|2=4c2.由(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|,得4a2=4c2+218.a2-c2=9,即b2=9,又知b0,b=3,故选C.,答案C,考点三直线与椭圆的位置关系 考向基础 1.直线与椭圆的位置关系的判断 把椭圆方程+=1(ab0)与直线方程y=kx+h联立消去y,整理成Ax2+ Bx+C=0(A0)的形式,则:,2.直线被椭圆截得的弦长公式:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|= = = =(k为直线斜率,k0).,例5直线y=kx-k
6、+1与椭圆+=1的位置关系是() A.相交B.相切C.相离D.不确定,考向突破 考向一直线与椭圆的位置关系的判定,解析解法一:由得4x2+9(kx-k+1)2-36=0,即(9k2+4)x2+9(2k- 2k2)x+9(k2-2k-3)=0. 9k2+40,=1818(k-k2)2-36(k2-2k-3)(9k2+4)=36(32k2+8k+12)=72(16k2+ 4k+6)=720恒成立, 直线y=kx-k+1与椭圆+=1相交,故选A. 解法二:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1).因为+=1,所以点 (1,1)在椭圆+=1的内部,所以直线y=kx-k+1与椭圆+=1相
7、交,故 选A.,答案A,例6(2019届辽宁大连双基测试,9)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交 于A,B两点,则|AB|的最大值为() A.2B. C.D.,考向二直线与椭圆相交的弦长问题,解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-,x1x2=,|AB| = =,当t=0时,|AB|max= ,故选C.,答案C,方法1求椭圆的标准方程的方法 1.定义法:根据椭圆的定义确定2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆的标准方程. 2.待定系数法:根据椭圆焦点的位置设出相应形
8、式的标准方程,然后根据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出椭圆的标准方程. 3.当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时,可设为+=1(m0,n0,mn),也可设为Ax2+By2=1(A0,B0,AB).,方法技巧,例1(2018宁夏银川一中月考,5)过点(,-),且与椭圆+=1有相 同焦点的椭圆的标准方程为() A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1,解题导引,解析解法一:椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),故c=4. 由椭圆的定义知,2a=+,解得a= 2, 由b2=a2-c2,得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为+=1,故选C. 解法二:设所求椭圆的方程为+=1(
9、k9),将点(,-)的坐标 代入可得+=1,解得k=5或21(舍),所以所求椭圆的标准方程为 +=1,故选C.,答案C,方法2求椭圆的离心率(或取值范围)的方法 1.求解椭圆离心率常用的方法:若给定椭圆的方程,则根据椭圆的焦点位置确定a2,b2,求出a,c的值,从而利用公式e=直接求解;若椭圆的方 程未知,则根据条件及几何图形建立关于a,b,c的等式,化为关于a,c的齐次方程,进而转化为关于e的方程进行求解,最后注意e的取值范围. 2.求椭圆离心率的取值范围与求离心率类似,也是根据几何图形建立关于a,c的齐次不等式进行求解.,解题导引,例2(2018课标全国,11,5分)已知F1,F2是椭圆C
10、的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为() A.1-B.2-C.D.-1,解析不妨设椭圆方程为+=1(ab0). 在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c, 所以|PF2|=c,|PF1|=c. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a, 所以椭圆的离心率e=-1.故选D.,答案D,例3(2015福建,11,5分)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F,短轴 的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是() A.B.C.
11、D.,解题导引,解析直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于,得 ,即b1.所以e2=,又0e1,所以e ,故选A.,答案A,方法3解决弦中点问题的方法 涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时,常用“点差法”“设而不求法”,并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解,但在求得直线方程后,一定要代入原方程进行检验.,例4已知点A、B的坐标分别是(-1,0)、(1,0),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为-2. (1)求动点
12、M的轨迹方程; (2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的 中点,求直线l的方程.,解题导引,解析(1)设M(x,y), 因为kAMkBM=-2,所以=-2(x1), 化简得2x2+y2=2(x1),即为动点M的轨迹方程. (2)设C(x1,y1),D(x2,y2). 解法一:当直线lx轴时,直线l的方程为x=,则C,D,此 时CD的中点不是N,不合题意. 故设直线l的方程为y-1=k, 将C(x1,y1),D(x2,y2)代入2x2+y2=2(x1)得 2+=2, 2+=2,-整理得k=-=-=-1, 直线l的方程为y-1=-1, 即所求直线l的方程为2x+2y-3=0. 解法二:当直线lx轴时,直线l的方程为x=,则C,D,此 时CD的中点不是N,不合题意. 故设直线l的方程为y-1=k,将其代入2x2+y2=2(x1),化简得(2+k2)x2 +2kx+-2=0(x1), 所以4k2-4(2+k2)0,由根与系数的关系得 又由N为线段CD的中点得=-=,解得k=-1,将k=-1代入 中可知满足条件. 此时直线l的方程为y-1=-1, 即所求直线l的方程为2x+2y-3=0.,
