《32、2020版高考数学（文科）大一轮精准复习课件：§9.2 直线、圆的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《32、2020版高考数学（文科）大一轮精准复习课件：§9.2 直线、圆的位置关系（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点一点与直线、直线与直线的位置关系 考向基础 1.两直线的位置关系,考点清单,2.点、直线间的距离 (1)已知点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,则点P到l的距离d=. (2)设两条平行直线l1:Ax+By+C=0,l2:Ax+By+D=0,且DC,则l1与l2间的距离d=.,常见直线系方程 1.过定点(x1,y1)的直线系方程为A(x-x1)+B(y-y1)=0(A2+B20),还可以表示为y-y1=k(x-x1)和x=x1. 2.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+=0(C). 3.垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+=0.
2、4.过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线A2x+B2y+C2=0).,【知识拓展】,例1(2018豫南九校联考,4)已知直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l1l2,则a=() A.2或B.或-1C.D.-1,考向突破 考向一两条直线垂直(平行)的关系,解析l1l2,2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0,即3a2+2a-1=0.解得a=-1或,故 选B.,答案B,例2两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为.,
3、考向二距离公式的应用,解析因为两直线平行,所以m=2. 解法一:在直线3x+y-3=0上取点(0,3),代入点到直线的距离公式,得d=. 解法二:将6x+2y-1=0化为3x+y-=0,由两条平行线间的距离公式得d= =.,答案,例3(2019届河南安阳9月调研,14)方程(a-1)x-y+2a+1=0(aR)所表示的直线恒过一定点,该定点坐标为.,考向三定点直线系,解析由方程(a-1)x-y+2a+1=0可得a(x+2)-x-y+1=0.又知该方程对一切实数a恒成立, 解得 定点坐标为(-2,3).,答案(-2,3),考点二直线、圆的位置关系 考向基础 1.点与圆的位置关系 设点P到圆心的距
4、离为d,圆的半径为r,点P在圆外dr;点P在圆上d=r;点P在圆内d0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程根的判别式为.,3.两圆的位置关系的判定 设圆O1的方程为(x-a1)2+(y-b1)2=R2(R0),圆O2的方程为(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r0),其中Rr.,【知识拓展】 1.常见的圆系方程 (1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中a,b是定值,r是参数. (2)半径相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中r是定值,a,b是参数. (3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+D
5、x+Ey+F=0的交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R). (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)(其中不含圆C2,因此注意检验圆C2是否满足题意,以防丢解). 2.与圆的切线有关的结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0 x+y0y=r2;,(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
6、(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两点的直线方程为x0 x+y0y=r2; (4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长为|PT|=. 3.求两圆公共弦所在直线的方程的方法 (1)联立两圆方程,通过解方程组求出两交点坐标,再利用两点式求出直线方程; (2)将两圆的方程相减得到的方程就是所求的直线的方程. 注意应用上述两种方法的前提是两圆必须相交.,例4(2019届山西晋中9月质检,5)直线x-ky+1=0与圆x2+y2=1的位置关系是() A.相交B.相切C.相交或相切D
7、.相离,考向一直线与圆的位置关系,考向突破,解析解法一:圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1,则圆心(0,0)到直线x-ky+1=0的距离d=,而1,d1=r,因此直线与圆相切或相交, 故选C. 解法二:由得(ky-1)2+y2=1,即(k2+1)y2-2ky=0. =(-2k)2=4k20,方程有两相同实数解或两不同实数解,故直线与圆相切或相交,故选C. 解法三:直线x-ky+1=0过定点M(-1,0),而定点M(-1,0)在圆x2+y2=1上,所以直线x-ky+1=0与圆x2+y2=1相切或相交,故选C.,答案C,例5两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2
8、y+3=0的位置关系是() A.相离B.相切C.相交D.内含,考向二圆与圆的位置关系,解析解法一(几何法):把两圆的方程分别配方,化为标准方程是C1:(x-1)2+y2=4,C2:(x-2)2+(y+1)2=2,所以两圆圆心分别为C1(1,0),C2(2,-1),半径r1=2,r2=,则圆心距|C1C2|=,r1+r2=2+,r1-r2=2-,故 r1-r2|C1C2|r1+r2,所以两圆相交. 解法二(代数法):联立方程解得即 方程组有2组解,也就是说,两圆的交点个数为2,故可判断两圆相交.故选C.,答案C,例6(2018豫北、豫南联考,13)过点M(1,)的圆O:x2+y2=4的切线方程
9、是.,考向三与圆有关的切线问题,解析由题意知kOM=,且点M在圆O上,切线的斜率k=-,过点M 的圆O的切线方程为y-=-(x-1),即x+y-4=0.,答案x+y-4=0,例7(2018广西南宁调研,14)已知圆(x-a)2+y2=4截直线x-y-4=0所得的弦的长度为2,则a=.,考向四与圆有关的弦长问题,解析由题意知,圆心为(a,0),半径为2,圆心到直线y=x-4的距离为.因为弦长为2,所以=,解得a=2或a=6.,答案2或6,方法1直线与圆、圆与圆位置关系的判断方法 1.判断直线与圆的位置关系的方法:代数法:将直线方程与圆的方程联立得方程组,再将方程组转化为一元二次方程,由该方程解的
10、情况判断直线与圆的位置关系,这种方法具有一般性,适合判断直线与圆锥曲线的位置关系,但是计算量较大;几何法:圆心到直线的距离与圆的半径比较大小,即可判断直线与圆的位置关系,这种方法计算量较小,但只能用于圆的问题中. 2.圆与圆的位置关系,由交点个数,也就是利用方程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论,通常还是从两圆的圆心距d与两圆的半径和、差的关系入手进行判断.,方法技巧,例1(2016山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是() A.内切B.相交 C.外切D.相离,解题导引,解析由题意
11、知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=(a0), 解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=,则R-rR+r, 所以两圆的位置关系为相交,故选B.,答案B,例2(2018广东深圳二模,7)已知点P(1,m)在椭圆+y2=1的外部,则直 线y=2mx+与圆x2+y2=1的位置关系为() A.相离B.相交 C.相切D.相交或相切,解题导引,解析由点P(1,m)在椭圆+y2=1的外部, 得m2, 则圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线y-2mx-=0的距离d=1, 直线y=2mx+与圆x2+y2
12、=1相交,故选B.,答案B,一题多解由点P(1,m)在椭圆+y2=1的外部,得m2. 由消去y得(4m2+1)x2+4mx+2=0, =(4m)2-8(4m2+1)=16m2-8,又知m2, 16m2-840. 该方程有两个不同的实数解,即直线与圆的位置关系为相交.故选B.,方法2求解与圆有关的切线和弦长问题的方法 1.求过圆上一点(x0,y0)的切线方程的方法:先求切点和圆心连线的斜率k(假设斜率存在,且不为零),由垂直关系知切线斜率为-,由点斜式方程 可求切线方程;若切线斜率不存在(此时k=0),则切线的方程为x=x0;若切点和圆心连线的斜率不存在,则切线方程为y=y0. 2.求过圆外一点
13、(x0,y0)的圆的切线方程的方法:几何法:当斜率存在时,设斜率为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,由圆心到直线的距离等于半径,即可得到k的值,从而可得切线方程,当切线斜率不存在时,切线的方程为x=x0;代数法:当斜率存在时,设斜率为k,切线方程为y-y0= k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由=0,求得k值,从而得到切线方程,当切线斜率不存在时,切线的方程为x=x0.,3.圆的弦长的求法:几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则=r2-d2;代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2
14、)两点,方程组消去y后得到一个关于x的一元二次方程,从而求得 x1+x2,x1x2,则弦长|AB|=(k为直线的斜率).,例3(2019届湖南长沙一中11月周考,20)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0). (1)若l1与圆C相切,求l1的方程; (2)若l1与圆C相交于P,Q两点,求三角形CPQ面积的最大值,并求此时直线l1的方程.,解题导引,解析(1)若直线l1的斜率不存在,则直线l1:x=1,符合题意. 若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0. 由题意知,圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2,即=2,解得k=. 此
15、时l1的方程为3x-4y-3=0.故所求直线l1的方程是x=1或3x-4y-3=0. (2)直线l1与圆C相交,斜率必定存在,且不为0,设直线l1的方程为kx-y-k=0, 则圆心C到直线l1的距离d=. 又CPQ的面积S=d2=d=, 当d=时,S取得最大值2. d=,解得k=1或k=7.,故所求直线l1的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.,方法3解决对称问题的方法 1.中心对称 (1)点关于点对称:设点P(x0,y0),对称中心为A(a,b),则点P关于点A的对称点为(2a-x0,2b-y0). (2)直线关于点对称问题的主要解法:在已知直线上取两点,再利用中点坐标公式求出它们关于已
16、知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用两直线平行,由点斜式得到所求的直线方程. 2.轴对称 (1)点关于直线对称.由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组,就可求出,对称点的坐标.一般情形如下: 设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b(k0)的对称点为P(x,y),则有可求出x、y. (2)直线关于直线的对称问题 直线关于直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行. 特殊地,点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P(2a-x0,y0);点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点为P(x0,2b-y0).,例4一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求: (1)入射光线所在直线的方程; (2)这条光线从P到Q所经路线的长度.,解析(1)设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点,QQ交l于M点, kl=-1,kQQ=1, QQ所在直线的方程为y-1=1(x-1)
