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1、3.1 一、选择题1已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos) ，且a b则向量ab与ab的夹角是()A90 B60 C30 D0答案A解析|a|22，|b|22，(ab)(ab)|a|2|b|20，(ab)(ab)2已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，5)，D(x，1,3)共面，则x的值为()A4 B1 C10D11答案D解析(2,2，2)，(1,6，8)，(x4，2,0)，A、B、C、D共面，、共面，存在、，使，即(x4，2,0)(2，26，28)，.3下列各组向量中共面的组数为()a(1,2,3)，b(3,0,2)，c(4,2,5)a(1,2，1)，b
2、(0,2，4)，c(0，1,2)a(1,1,0)，b(1,0,1)，c(0,1，1)a(1,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)A0 B1 C2 D3答案D解析设axbyc，则，解得.故存在实数x1，y1使得abc，a，b，c共面中b2c，中cab.故中三个向量共面4下列各组向量不平行的是()Aa(1,2，2)，b(2，4,4)Bc(1,0,0)，d(3,0,0)Ce(2,3,0)，f(0,0,0)Dg(2,3,5)，h(16，24,40)答案D解析b2a，d3c，f0e，只有D不存在实数，使gh.5若两点的坐标是A(3cos，3sin，1)，B(2cos，2sin，1)，则|的取值范
3、围是()A0,5B1,5C(1,5) D1,25答案B解析|2(2cos3cos)2(2sin3sin)21312coscos12sinsin1312cos()1,25，1|5.6已知a(x,2,0)，b(3,2x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是()Ax4 B4x0C0x4答案A解析a、b的夹角为钝角，ab0，即3x2(2x)0x4x0.x4.又当夹角为时，存在0，使ba，此方程组无解，因此选A.7如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，B1E1A1B1，则等于()A(0，1) B(，0,1)C(0，1) D(，0，1)答案C解析B(1,1,0)、E1
4、(1，1)，(0，1)8已知a(1,2，y)，b(x,1,2)，且(a2b)(2ab)，则()Ax，y1 Bx，y4Cx2，y Dx1，y1答案B解析a2b(2x1,4,4y)，2ab(2x,3，2y2)，(a2b)(2ab)，9如图AC1是正方体的一条体对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则PQ与AC1所成的角为()Aarctan BarctanC. D.答案D分析建立空间直角坐标系，求出与的坐标，转化为求与的夹角解析设正方体棱长为1，以点A1为坐标原点，A1B1、A1D1、A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P，Q，A(0,0,1)，C1(1,1,0)，所以，(1,
5、1，1)，故111(1)0，即PQ与AC1所成的角为.10已知向量(2，2,3)，向量(x,1y,4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0，)，则(x，y，z)()A(2，4，1) B(2，4,1)C(2,4，1) D(2，4，1)答案A解析由条件(2，2,3)(x,1y,4z)2，(x2，1y,34z)(0,3，1)，.二、填空题11已知a(1,0，1)，b(1，1,0)，单位向量n满足na，nb，则n_.答案解析设n(x，y，z)，由条件，xyz或.12已知空间三点A(1,1,1)、B(1,0,4)、C(2，2,3)，则与的夹角的大小是_答案120解析(2，1,3)，(1,3，2
6、)，7，|，|，cos，120.13已知向量a(3,2,5)，b(1，3,0)，c(7，2，1)，则：(1)abc_；(2)(ab)c_；(3)|abc|2_.答案(5，3,6)754解析(1)abc(3,2,5)(1，3,0)(7，2,1)(5，3,6)(2)ab(2，1,5)，(ab)c(2，1,5)(7，2,1)7.(3)abc(3,3,6)，|abc|254.14已知a，b，c不共面，且m3a2bc，nx(ab)y(bc)2(ca)，若mn，则xy_.答案4解析a、b、c不共面，mn，.三、解答题15已知点A(2,3，1)，B(8，2,4)，C(3,0,5)，是否存在实数x，使与x垂直
7、？解析(6，5,5)，(1，3,6)，x(6x，53x,56x)，(x)6(6x)5(53x)5(56x)0，x，存在实数x，使与x垂直16正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点求证：(1)AED1F；(2)AE平面A1D1F.证明设正方体的棱长为1，以、为坐标向量，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示(1)易知A(1,0,0)、E(1,1，)、F(0，0)、D1(0,0,1)(0,1，)，(0，1)又(0,1，)(0，1)0，AED1F.(2)(1,0,0)，(1,0,0)(0,1，)0，AED1A1，由(1)知AED1F，且D1AD1FD1，AE平面A1D1F.1
8、7已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)设|c|3，c，求c.(2)求a与b的夹角(3)若kab与ka2b互相垂直，求k.解析(1)c，(2，1,2)设c(2，2)，|c|3|31c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(12,10,22)(1,1,0)b(32,00,42)(1,0,2)cos.a和b的夹角为arccos.(3)kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又(kab)(ka2b)，则(kab)(ka2b)(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100，k2或k.18已知空间三点A(0,2,3)、B(2,1,6)、C(1，1,5)(1)求以、为邻边的平行四边形面积；(2)若|a|，且a分别与、垂直，求向量a的坐标解析(1)由题中条件可知(2，1,3)，(1，3,2)，cos，sin，以，为邻边的平行四边形面积S|sin，7.(2)设a(x，y，z)，由题意得解得或a(1,1,1)或a(1，1，1)
