线性代数全套课程教学课件

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1、第二节 行列式的计算,一、行列式的计算,二、 行列式的乘法,例,一、行列式的计算,计算行列式常用方法：利用行列式性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解：,例2 计算 阶行列式,解：,将第 列都加到第一列得,证,用数学归纳法,=,n-1阶范德蒙德行列式,例 1.3.3 例 1.3.4 思考: p15 3(4),例4 证明 阶行列式,证,用数学归纳法，对行列式的阶数用归纳法,按第一行展开,由归纳假设知,引理：,则,二、行列式的乘法,定理：,注意：因为行列式等于其转置行列式，所以在两行 列式相乘时，也可采用行乘行、列乘列或列乘行 来计算,教材P27例8 行列式乘法的应用,第四节 克拉

2、默(Cramer)法则,设n元线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,设有n元线性方程组,记,定理,若方程组(1)的系数行列式 ，,那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解 可以表为,略证,对齐次线性方程组,推论 若齐次线性方程组（2）的系数行列式 则方程组只有惟一零解,推论的等价叙述： 齐次线性方程组(2)有非零解， 则它的系数行列式必等于零。,例1 用克拉默则解方程组,解,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,按第3行展开,1. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,

3、(2)系数行列式不等于零.,2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,三、小结,习题一,1. 填空题,P16 2. (1)证明 阶行列式,证,用数学归纳法，对行列式的阶数用归纳法,按第一行展开,由归纳假设知,例1 计算行列式的值,第一节 矩阵的概念,一、 矩阵概念的引入,二、矩阵的定义,1. 线性方程组,的解取决于,系数,常数项,一、矩阵概念的引入,对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航

4、班,则用带箭头的线连接 A 与B.,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,发站,到站,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,二、矩阵的定义,由 个数 排成的 行 列的数表,称为 阶矩阵,简称 矩阵，,记作,也简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,主对角线,副对角线,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角 矩阵(或对角阵）.,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,记作,(4)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,称为上三角矩阵.,

5、（5）,形如 的方阵,称为下三角矩阵.,（6）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 .,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,2.两个矩阵 为同型矩阵, 并且对应元素相等，即,则称矩阵 相等,记作,例如,为同型矩阵.,例2 设,解,三、小结,(1)矩阵的概念,(2) 特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,第二节、矩阵的运算,一、矩阵的加法,三、矩阵与矩阵的乘法,二、数与矩阵的乘法,四、矩阵的其它运算,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.,例如,1、定义,二

6、、数与矩阵相乘,、定义,一、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,两矩阵的减法,矩阵加法的运算规律,数乘矩阵的运算规律,（设 为 矩阵， 为数）,矩阵相加与数乘 矩阵合起来, 统称为矩阵的 线性运算.,例如,、定义,三、矩阵与矩阵相乘,那么规定,矩阵A与矩阵B的乘积是一个 矩阵,其中,并把此乘积记作,注意(1)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,(2)相乘所得矩阵的行数等于前一矩阵的行 数，列数等于后一矩阵的行数时.,定义可简记为,例,设,例2,故,解,例,不存在.,例3 计算矩阵乘积：,解,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,（5）若

7、A是n阶矩阵，则 为A的k次幂，即,，并且,例如,例 2.2.4,注意矩阵不满足交换律，即：,例4 设,则,例5 设,则,说明：矩阵消去律不成立,解,例6,p22 例 2.2.5 , 2.2.6,3、矩阵的行列式运算 (例2.2.7),线性变换，,-系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,若线性变换为,称之为恒等变换.,单位阵.,线性变换,这是一个以原点为中心 旋转 角的旋转变换.,P44 ex 10,(例2.2.2)类似地，线性方程组,矩阵A称为线性方程组的系数矩阵,矩阵B称为线性方程组的增广矩阵,定义 把矩阵A的行列互换得到的新矩阵， 叫做A的转置矩阵，记作 .,例,、转置矩阵,

8、四、矩阵的其它运算,转置矩阵的运算性质,例8 已知,解,例9 已知,例 2.2.9, 2.2.10,对于对称矩阵 ，显然对所有 的 有,设A为n阶矩阵，若满足 则称矩阵A 为对称矩阵， 若满足 则称矩阵A为 反对称矩阵。,2、对称矩阵,例6 设列矩阵 满足,证明,例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算.,注意,那么对于矩阵A是否存在一个矩阵B , 使得,若存在，则

9、矩阵B称为A的可逆矩阵或逆矩阵.,4、矩阵的逆或逆矩阵,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵I相当于数的乘法运算,1） 概念的引入,中的1，,2）逆矩阵的概念和性质,例 设,说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,定 义：,称为矩阵 的伴随矩阵,3、矩阵可逆的充要条件,定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且,证明：,若A可逆，,按逆矩阵的定义得,证毕,推论1,推论2,证明,奇异矩阵与非奇异矩阵,4、逆矩阵的计算,例： 求矩阵的逆矩阵,解：,P25 例 2.3.1,

10、2.3.2,若线性变换X=AY的变换矩阵A可逆，则称线性变换,线性变换的逆变换,为X=AY 的逆变换；,例： 求线性变换的逆变换,解：,逆矩阵的运算性质,(3 ) 证明,(4)证明,P25 性质（6）（7）,例2.3.4 , 2.3.5,第三节、分块矩阵及运算,一、矩阵的分块,二、分块矩阵的运算规则,一、矩阵的分块,对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,例,即,二、分块矩阵的运算规则,例 2.4.3,例3 设

11、,解,例1 设,解,则,又,于是,P28 例2.4：1，2， 7,例2.4.4：,证,三、小结,在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.,(1) 加法,(2) 数乘,(3) 乘法,分块矩阵之间的运算,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似,第四节 矩阵初等变换,一、 矩阵的初等变换,三、 初等矩阵的应用,二、 初等矩阵的概念,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,一、矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),逆变换,逆变换,逆

12、变换,P34 例 2.5.1,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,定义 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,二、初等矩阵的概念,初等矩阵具有如下性质,(1) 初等矩阵是可逆矩阵,(2) 初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵,(3) 初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,P36 例2.5.2,初等

13、变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,二、矩阵秩的概念,注意：,例1,解,补充例,解,计算A的3阶子式，,例2,解,行阶梯形矩阵特点：,（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）、每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也即非零行的第一个非零元,问题：经过初等变换后矩阵的秩改变吗？,二、矩阵秩的求法,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的

14、行数就是矩阵的秩.,例4,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,例5,解,分析：,定理2(2.5.4),(其中r=r(A),矩阵秩与矩阵标准型之间的关系,推论2.5.1,可逆矩阵必为初等矩阵的乘积，反之亦然。,故r=n ,因为,推论2.5.3,推论2.5.4,补充定理: 若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ),推论2.5.2 可逆矩阵可经一系列初等变换化为单位矩阵,利用初等变换求逆阵的方法：,解,例,即,初等行变换,( ),列变换,例,解,例 2.5.6,例 2.5.10 若A列(行)满秩,则的A任意s列(行)构成的矩阵秩为s,五、小结,2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,

15、第二章测试题,一、填空题(每小题4分，共32分),四、(8分)解下列矩阵方程,五、(每小题5分，共20分)求下列矩阵,六、(6分)设 求 ,七、(每小题3分,共6分)设 阶矩阵 的伴随矩阵为 ，证明：,八、(每小题5分，共10分)求下列矩阵的逆矩阵,九、(6分),测试题答案,第一节 向量与向量空间,一、n 维向量的概念,二、n维向量的表示法,三、向量空间及其子空间,定义1：,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、n维向量的概念,例如,二、n维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用等表示，如：,注意,1、行向量和列向量总被看作是两个 不同的向量；,2、行向量和列向量都按照矩阵的运算 法则进行运算；,、当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.,定义了向量的加法和数乘（并满足八条运算 规律）后，称为一个 n 维向量空间,非空集合,注:1、向量的加法和数乘是按矩阵的加法和数 乘来定义的（