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1、2.3 幂函数一、考点聚焦1幂函数的概念（1）一般地，幂函数的表达式为，其中为常数；其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。（2）所有的幂函数在区间都有定义，并且图象都通过点(1,1)。（3）学习和理解幂函数的概念时要注意以下几点：形如形式的函数不是幂函数。幂函数中的为任意实数。确定一个幂函数，只需求出即可。2幂函数的图象我们只讨论幂函数中时的图象。在同一平面直角坐标系作出幂函数的图象。（1）列表、（2）描点：3）连线：用光滑的曲线将各点连结起来。如图（2）记熟上面各函数图象的形状，及它们之间的“高低”关系。（3）函数可记为。（4）时，图象都过点，时，只过(1,1)不过(0,0)点。3幂函数的性
2、质从上图可以观察到幂函数的特征如下：函数特征性质定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增时，增增增时，减时，减时，减定点(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)结合以上特征得幂函数的性质如下：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(1,1)；（2）如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间上为增函数；（3）如果，则幂函数的图象在区间上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图象在轴上方无限地逼近轴；（4）当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶函数，幂函数为偶函数。4求幂函数的定义域、值域幂函数的定义域
3、要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解。5幂函数的单调性和奇偶性幂函数的单调性与奇偶性与一般函数的单调性和奇偶性相同，在证明或判断时，主要应用定义法判断，有时也用幂函数的性质加以判断。6比较大小比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可与0和1去比较，这种方法叫“搭桥”法。二、点击考点考题1作出函数的图象，并指出此函数的定义域、值域，若此函数的图象是中心对称图形，则指出它的对称中心的坐标。解析则可以看做是将函数的图象向右平移一个单位后再向上平移2个单位，如图。定义域为值域为对称中心为.点评对于函数，它的图象是双曲线，它的两条渐近线方程分别为，对称中心为
4、这个结论非常有价值，例如，我们要作的图象，两条渐近线，再用一点确定双曲线的位置即可作出的草图。考题2（1）在如图所示的函数图象中，表示的是（ ）解析函数是奇函数，图象在第一、三象限，且，所以在第一象限的图象向上凸，故选C。（2）如图，幂函数在第一象限内的图象，已知取四个值，则相应于曲线的依次为（ ）ABCD分析根据幂函数在第一象限内的图象特征，在区间上，当时，越大，的增长速度就越快，所以的的.在区间上，当，越大，图象越陡峭。所以的，的.故选B。（3）如图所示是函数的图象，则（ ）A是奇数，且B是偶数，是奇数，且C是偶数，是奇数，且D是偶数，是奇数，且分析：由图象在第一象限的特点，知又由函数图象
5、关于轴对称，知是偶函数，所以是偶数，是奇数。故选C。考题3已知函数为偶函数，且（1）求的值，并确定的解析式；（2）若，是否存在实数，使在区间2,3上为增函数。分析问题的解决往往依赖于对条件或结论的转化，对于（1），应首先转化较为复杂的条件，如果从偶函数的角度开始转化，不论是用偶函数的定义还是用幂函数中的偶函数，都难以找到进一步转化的途径，但从入手，就不难把转化继续进行下去，对于（2），对于（1）中没有附加的条件，因而可以利用（1）的结论转化（2）的附加条件，并利用单调函数的性质使问题得到解决。解析（1）由得在上为减函数，或当时，；当时，而为偶函数，此时（2）假设存在实数，使在区间上为增函数。则
6、由与存在，得令，则开口向上，对称轴当,为增函数，又由在区间上为增函数，得，点评该题亦可分两种情况讨论求解。考题4（1）求下列函数的定义域和值域。；解析的定义域为实数集，值域为.的定义域为，值域为（2）函数的定义域是全体实数，则实数的取值范围是（ ）ABCD解析函数有意义的条件是因此，要使函数的定义域为全体实数，需满足对一切实数都成立。即解得选B。点评幂函数的定义域和值域也是与的取值密切相关，的正负和分母的奇偶都是制约的取值范围的因素，因此要具体情况具体分析，或结合图象的位置与形状加以考虑。考题5已知函数；（1）证明：是奇函数，并求的单调区间；（2）分别计算和的值，由此概括出涉及函数和对所有不等
7、于零的实数都成立的一个等式，并加以证明。解析（1）函数定义域为，为奇函数，设，则 在上是增函数，又是奇函数.在上也是增函数.故在和上单调递增.（2）解：猜想：，等式成立。考题6比较下列各组数的大小；（1）和；（2）和（3）和解析第（1）组可利用的单调性比较，第（2）组可利用的单调性比较，第（3）组可利用的单调性比较。（1）函数在上为减函数，又，所以（2），函数在上为增函数，又，则，从而（3）；所以点评比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数。考题7若，试求的取值范围。分析由函数的图象及单调性可解.解析或或解得或点评考虑要全面，谨
8、防考虑不周导致误解。考题8若求证：（1）；（2）证明（1）（2）点评本题即凸凹函数的一个重要性质，从图形上可体现出来.考题9某工厂从1949年的年产值100万元增加到40年后1989年的500万元，如果每年年增长率相同，则每年年产值增长率是多少？解析自然对数是以为底的对数，本题中增长率，可用自然对数的近似公式，取来计算。解法一：设每年年产值增长率为，根据题意，有，即两边取自然对数，得又利用已知条件得解法二：同解法一，列出关系式，即，两边取常用对数，得由换底公式，得由已知条件得答：每年的年产值增长率为4%。点评若没有条件，可用计算器直接计算。三、夯实双基1使x2x3成立的x的取值范围是（）Ax1
9、且x0B0x1Cx1Dx12若四个幂函数y，y，y，y在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（）AdcbaBabcdCdcabDabdc3在函数y，y2x3，yx2x，y1中，幂函数有（）A0个B1个C2个D3个4下列函数中是幂函数的为（ ）（a、m为非零常数，且）；ABCD全不是5如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较0,1的大小（ ）ABCD6当时，下列函数的图象全在直线下方的偶函数是（ ）ABCD7的图象是（ B ） 8图中曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n取四个值，则相应曲线的n值依次为（ ）ABCD9函数是幂函数，且时为减函数，则实数m的值为（ ）A或2BCD1
10、0给出下列说法：函数的图象关于原点成中心对称；函数的图象关于y轴成轴对称；函数在上是减函数.其中正确说法的个数是（ ）A0B1C2D311若，则12已知幂函数f（x）（pZ）在（0，）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）13已知函数（a为常数）.（1）a为何值时此函数为幂函数？（2）a为何值时此函数为正比例函数？（3）a为何值时此函数为反比例函数？14求不等式的解集.夯实双基参考答案：1A 2B 3B 4B 5D 6B 7B 8B 9C10C 1112解：因为幂函数f（x）在（0，）上是增函数，所以p2p0，解得1p3又幂函数在其定义域内是偶函数且pZ，所以p2相应的函数f（x）13答案：（1） （2）14解答：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
