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1、第一章波动方程 1 方程的导出。定解条件1细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t) 表示静止时在x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 u( x,t ) 满足方程txuxE utx其中为杆的密度，E 为杨氏模量。证：在杆上任取一段， 其中两端于静止时的坐标分别为x 与 xx 。现在计算这段杆在时刻 t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：xu( x,t ); xx u(xx, t)其相对伸长等于 xxu(xx,t ) xu( x,t )x(x,)xuxx t令x0 ，取极限得在点x 的相对伸长为 ux( x,t ) 。
2、由虎克定律，张力T( x,t ) 等于T ( x,t )E( x)u x ( x,t )其中 E(x) 是在点 x 的杨氏模量。设杆的横截面面积为S(x), 则作用在杆段 ( x, xx) 两端的力分别为E( x)S( x)u x (x,t ); E(xx)S( xx)ux(xx, t).于是得运动方程( x) s( x)xutt( x, t)ESux ( xx) |xxESux (x) |x利用微分中值定理，消去x ，再令x0 得( x)s( x)utt(ESux )x若 s( x)常量，则得(x)2 u=( E( x)u2)txx即得所证。2在杆纵向振动时，假设(1) 端点固定， (2)端
3、点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解： (1)杆的两端被固定在x0, xl 两点则相应的边界条件为1 / 44u(0,t)0,u(l ,t )0.(2)若 xl 为自由端， 则杆在 xl 的张力 T (l , t)E( x)u等于零， 因此相应| x lu |x的边界条件为x l=0xu x 0同理，若 x0 为自由端，则相应的边界条件为0x(3) 若 x l 端固定在弹性支承上， 而弹性支承固定于某点， 且该点离开原来位置的偏移由函数 v(t ) 给出，则在 xl 端支承的伸长为u(l ,t ) v(t ) 。由虎克定律有Eu x lku(l ,t
4、)v(t)x其中 k 为支承的刚度系数。由此得边界条件(uu) x lf (t)其中kxE特别地，若支承固定于一定点上，则v(t)0, 得边界条件(uu) xl0 。x同理，若 x 0端固定在弹性支承上，则得边界条件u x0k( 0,t)()Euv tx即( uu) x 0f (t ).x3.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为E(1x) 2u (1x )22uxhxht 2其中 h 为圆锥的高 ( 如图 1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则 x点处截面的半径l 为：l 1xh所以截面积 s(x)(1x ) 2。利用第1 题，得h( ) (1x) 22 uE(1x ) 2 u xht 2xhx
5、若 E(x)E 为常量，则得E(1x) 2u (1x ) 22uxhxht 24. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡2 / 44位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图 2，设弦长为l ，弦的线密度为，则 x 点处的张力 T ( x) 为T ( x)g(lx)且 T( x) 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以u( x, t) 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于 x 轴方向的位移，取弦段( x, xx), 则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为g(lx) sin( x);g (l( xx) sin(xx)其中 (x) 表示 T (x) 方向与 x 轴
6、的夹角又sintgux.于是得运动方程x2 ul( xx)uglug2 x xx xtxx利用微分中值定理，消去x ，再令x0 得2 ug( lx)u 。t 2xx5. 验证u( x, y,t )t 21在锥 t 2x 2y2 0 中都满足波动方程x2y 22u2 u2u证：函数 u( x, y,t )t 21在锥 t 2x 2y 20 内对变量t 2x 2y 2x2y2x, y, t 有u3二阶连续偏导数。且(t 2x 2y2 )2tt2u35(t 2x2y 2 )23(t 2x2y2 ) 2t 2t 23(t2x2y2 ) 2(22x2y2 )tu32x 2y 2 ) 2x(tx3 / 442u352x2y 2 23 t 2x 2y 2 2 x 2tx25t 2x2y 22 t 22 x2y 22 u5t 2x2y 22 t 2x22y 2同理y 22 u2u22252222u22.所以txytxyx2y 2
