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1、复合函数问题的解答方法如果y是u的函数，记为y=f(u)，u又是x的函数，记为u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，则称函数y=f(g(x)为y关于x的复合函数；其中u称为中间变量，函数y=f(u)称为外层函数，函数u=g(x)称为内层函数；复合函数的定义域由内层函数的值域来确定；复合函数的主要特征是外层函数的自变量又是一个函数。复合函数的问题主要包括：复合函数解析式的求法；复合函数函数值的求法；复合函数单调性的判断（或证明）；复合函数奇偶性的判断（或证明）。那么在实际的数学问题中，到底如何才能准确，快捷地解答复合函数的问题呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。【典例
2、1】解答下列各题：1、已知=，求f(x)； 2、已知f(2x+1)=4+2x+1，求f(x)；3、已知f(+1)=x+2，求f(x) 4、如果f()=，则当x0且x1时，f(x)=( )A B C D -15、已知= ，求f(x)； 6、已知f（，求f(x)；7、已知f()=+，求f(x)的解析式。解析1、【知识点】两项和的完全平方公式；拼凑法的数学思想；拼凑法的基本法方法；【解题思路】把看成整体未知数，将化成-2，就可得到函数f(x)的解析式；【详细解答】=-2， f(x)= -2；2、【知识点】两项和的完全平方公式；拼凑法的数学思想；拼凑法的基本法方法；【解题思路】由=4+4x+1可知，在
3、原解析式中加上2x就能得到，为保证式子不变，同时还需要减去2x， f(2x+1)=4+2x+1=-（2x+1）+1，从而得到函数f(x)的解析式；【详细解答】 f(2x+1)=4+2x+1=-（2x+1）+1， f(x)= -x+1；3、【知识点】两项和的完全平方公式；拼凑法的数学思想；拼凑法的基本法方法；【解题思路】由=x+2+1可知，在原解析式中加上1就能得到，为保证式子不变，同时还需要减去1， f(+1)=x+2=-1，从而得到函数f(x)的解析式；【详细解答】 f(+1)=x+2=-1， f(x)= -1；4、【知识点】换元法的数学思想；换元法的基本方法；【解题思路】设t=，x=， f
4、(t)= = ，从而得到函数f(x)的解析式；【详细解答】设t=，x=， f(t)= = ， f(x)= ，B正确，选B；5、【知识点】换元法的数学思想；换元法的基本方法；【解题思路】设t=，x=， f(t)= = = ，从而得到函数f(x)的解析式；【详细解答】设t=，x=， f(t)= = = ，f(x)= ；6、【知识点】换元法的数学思想；换元法的基本方法；对数的定义与性质；【解题思路】设t=，x=lnt+1， f(t)=2-1=2t+4lnt+1，从而得到函数f(x)的解析式；【详细解答】设t=，x=lnt+1， f(t)=2-1=2t+4lnt+1， f(x)=2x+4lnx+1；7
5、、【知识点】换元法的数学思想；换元法的基本方法；【解题思路】设t=，x=， f(t)= +=1+t-1=-t+1，从而得到函数f(x)的解析式；【详细解答】设t=，x=， f(t)= +=1+t-1=-t+1， f(x)= -x+1。思考问题1（1）【典例1】的共同特点是：f(t)中的t是 函数，f(t)的解析式是关于x的 ；（2）【典例1】是已知 的解析式，求f(x)的解析式的问题，解答这种问题的基本方法有： 法； 法。（3）拼凑法是把已知关于x的解析式通过拼或凑的方法，使之成为关于g(x)的式子的形式，再将g(x)换成整体未知数x，从而得到f(x)的解析式；（4）换元法是把g(x)用一个整
6、体未知数t去替换，同时将x表示成关于t的式子，再把解析式中的x都换成t，得到关于t的解析式，最后再将解析式中的t都换成x即可。练习1解答下列问题：1、已知f(1-x)= -3x+2，求f(x)； 2、已知f(1-cosx)= ，求f(x)；3、已知f()=，求f(x)。 4、若f()=，则f(x)等于（ ）A (x-1) B (x0) C (x-1) D 1+x(x-1)5、已知f(+1)=lgx，则f(x)= 。【典例2】解答下列各题：1、已知f(x)=2x-1， g(x)= ，（x0）， -1 ， (x0)。求fg(x)， 求gf(x)；2、已知f(x)= ln(x+1)，（x-1）， g
7、(x)=-x+2。 ，（x-1），求fg(x)， 求gf(x)。解析1、【知识点】分段函数的定义与性质；复合函数的定义与性质；分段函数，复合函数求值的基本方法；【解题思路】fg(x)，中的自变量是g(x)，g(x)又是一个分段函数，从而得到fg(x)也是一个分段函数，且自变量的分段与g(x)的分段一致，从而得到函数fg(x)的解析式；gf(x)中的自变量是f(x)，由g(x)是分段函数，需先确定2x-10和2x-10中x的取值范围，从而得到函数 gf(x)的解析式；【详细解答】 f(x)=2x-1， g(x)= ，（x0），fg(x)= 2-1，（x0），gf(x)= ，x， -1 ， (x0
8、)； -3， (x0)， -1， x； 2、【知识点】分段函数的定义与性质；复合函数的定义与性质；分段函数，复合函数求值的基本方法；【解题思路】fg(x)，中的自变量是g(x)，g(x)的函数值需满足-x+2-1或-x+2-1，从而得到fg(x)是一个分段函数，且自变量的分段为x3或x3，从而得到函数 fg(x)的解析式；gf(x)中的自变量是f(x)，由f(x)是分段函数，得到gf(x)也是一个分段函数，自变量的分段与f(x)的分段一致，从而得到函数 gf(x)的解析式；【详细解答】 g(x)=-x+2，f(x)= ln(x+1)，（x-1），fg(x)= ln(-x+3)，（x3），-ln
9、(x+1)+2，（x-1）， ，（x-1）， ，（x3）；gf(x)=- +2，（x-1）；思考问题2（1）【典例2】的特点是：已知两个函数的解析式，其中一个函数是 函数； 求复合函数的解析式，涉及到自变量确定 的问题；（2）【典例2】是求复合函数f(g(x)的解析式的问题，解答的基本思路是 代入，由分段函数各段的定义域确定非分段函数中自变量x的取值范围，再求复合函数的解析式。练习2解答下列问题：1、已知f(x)=3x-6， +x（x0） g(x)= 1 (x0)求fg(x)， 求gf(x)；2、已知f(x)= 2x-1，g(x)= -3x+2，求fg(x)。【典例3】解答下列问题：1、设函数
10、f(x)= +1，x1，则f(f(3)=（ ）A ，x1，B 3 C D 2、已知函数f(x)= f(x+1) ，x4， 3、已知函数f(x)= +1，x0，若f(x)=10，求f(2+3)的值； ，x4， 则x= ； -2x，x0，4、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为 ； -x-2a，x1，5、设函数f(x)= 3x-1，x1，则满足f(f(a)= ，的a的取值范围是（ ）（2015全国高考山东卷） ，x1，A ，1 B 0，1 C ，+） D 1，+）解析1、【知识点】分段函数的定义与性质；复合函数的定义与性质；复合函数函数值的求法
11、；【解题思路】由31，f(3)=，根据1，f()=+1= ， f(f(3)= f()=+1=，D正确，选D；【详细解答】31，f(3)=，1，f()=+1= ， f(f(3)= f()=+1=，D正确，选D；2、【知识点】分段函数的定义与性质；复合函数的定义与性质；对数的定义与性质；复合函数函数值的求法；【解题思路】由32+34， f(2+3)= f(2+3+1)= f(3+3)，根据43+35， f(3+3)= =；【详细解答】32+34， f(2+3)= f(2+3+1)= f(3+3)，43+35， f(3+3)= =；3、【知识点】分段函数的定义与性质；复合函数的定义与性质；复合函数函
12、数值的求法；【解题思路】由f(x)=10，若x0，+1=10，x=3；若x0，-2x=10，x=-5，综上所述，当f(x)=10时，x=3或x=-5；【详细解答】 f(x)=10，若x0，+1=10，x=3；若x0，-2x=10，x=-5，综上所述，当f(x)=10时，x=3或x=-5；4、【知识点】分段函数的定义与性质；复合函数的定义与性质；复合函数函数值的求法；方程的定义与解法；分类讨论的原则与方法；【解题思路】由a0，当0a时，1-a1, f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1
13、，2=-1不成立，当a0时，1-a1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=- ，综上所述，当f(1-a)=f(1+a)时，a=- ； 【详细解答】 a0，当a0时，1-a1, f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，当a0时，1-a1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=- ，综上所述，当f(1-a)=f(1+a)时，a=- ；5、【知识点】分段函数的定义与性质；复合函数的定义与性质；复合函数函数值的求法；指数的定义与性质；分类讨论的原则与方法；【解题思路】当a时，由f(a)=3a-11， f(f(a)=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4 ，当 a1时，由f(a)=3a-11， f(f(a)=f(3a-1)= =，当a1，由f(a)= 1， f(f(a)=f()=，综上所述，当f(f(a)= 时，实数a的取值范围是，+），C正确，选C；【详细解答】当a时，
