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1、数学实验与数学建模路灯照明问题年级：20121060025班级：电子信息科学与技术学生姓名：吕佳琪学号：20121060025云南大学信息学院路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？摘要本题利用方程（组）模型，求两只路灯连线的路面上的最暗点和最亮点。查阅资料知：光照强度公式为，根据题意可建立坐标轴，假设两只路灯在
2、道路上的照射半径的长度之和为20m，可得路面上某点的照度为两只路灯在该点的照度之和。列出方程，利用MATLAB软件进行求解，求出该方程的最值（即最暗点与最亮点及其亮度）。关键词：路灯照明 方程（组） MATLAB 最值 一、问题重述 在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？二、模型假设1.假设把两个路灯视为质点；2.假设忽略对
3、路灯光照强度其他因素的影响；3.假设路灯为同一型号；4.假设路灯的光照强度；5.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线；6.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为20m；7.假设路灯正常工作；三、变量说明K路灯光照强度系数P路灯的功率S道路的宽度i路灯光线与地面的夹角Ri路灯到路面上某点的距离hi路灯离地面的垂直距离X2KW路灯的投影到路面上某点的距离I(X)路面上某点的光照强度Ii路灯光照强度四、问题分析问题一根据两路灯间的距离关系建立坐标轴，利用路灯光照强度的计算公式列出方程，再用MATLAB软件求解。问题二由于h2的高度可变，在问题一建立的方程的基础上，先对X求偏导，再对h2求偏导，最后用M
4、ATLAB软件编程求解。问题三因为h1和h2的高度都可变，同问题二，依次对X，h1，h2求偏导。五、模型的建立由题意可得下图假定路灯光照强度系数k=1。问题一：由题意得，设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q点的照度分别为 Q点的照度： 要求最暗点和最亮点，即求函数I(x)的最大值和最小值，则可先求出函数的极值点利用MATLAB求得时x的值代码：s=solve(-30*x)/(25+x2)(5/2)+(54*(20-x)/(36+(20-x)2)(5/2);s1=vpa(s,8);s1运行结果：s1 = 19.97669581 9.338299136 8.538304309
5、-11.61579012*i .2848997038e-1 8.538304309+11.61579012*i因为x=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表：x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468综上所述，x=9.33m时，为最暗点；x=19.97m时，为最亮点。问题二：3KW的路灯的高度可以在3M到9M之间变化变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数： 与（1）同理，求出函数I(x,h2）的极值即为最暗点和最亮点 利用mat
6、lab求x： solve(3/(h2+(20-x)2)(3/2)-3*(3*h2)/(h2+(20-x)2)(5/2)=0) ans = 20+2(1/2)*h 20-2(1/2)*h 即x1=20+2(1/2)*h （舍去） x2=20-2(1/2)*h 利用matlab求解h2solve(-30*(20-2(1/2)*h)/(25+(20-2(1/2)*h)2)(5/2)+9*h*(20-(20-2(1/2)*h)/(h2+(20-(20-2(1/2)*h)2)(5/2)=0) ans = 7.4223928896768612557104509932965 14.1207740985268
7、35657369742179215 因为h在3x9之间，所以h2=7.42239m 再利用matlab求解x和亮度I 算法：h=7.42239;x=20-2(1/2)*hI=10/(25+x2)(3/2)+(3*h)/(h2+(20-x)2)(3/2) 结果： x = 9.5032 I = 0.0186可得，x=9.5032 ，h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为0.0186w。问题三:如果两只灯的高度均可在3M到9M之间变化，则I为关于x,h1,h2的三元函数，同解可得 =利用matlab求解x，h1，h2的值： 算法：solve(1/(20-x)3)=2/(3*(x3); s1=v
8、pa(s,6); a=(1/sqrt(2)*s1; a1=double(a); b=(1/sqrt(2)*(20-s1); b1=double(b); a1,b1,s1 结果： a1 = 6.5940 5.1883 +12.0274i 5.1883 -12.0274i b1 = 7.5482 8.9538 -12.0274i 8.9538 +12.0274i s1 = 9.32530 7.33738+17.0093*i 7.33738-17.0093*i可得，h1 =6.5940，h2=7.5482 ，x=9.32530时，最暗点的亮度最大六、模型评价优点：通过查阅资料，可得出题中未给出的路灯光照强度计算公式，问题二、问题三的逐步深入，使得题目较为应用化和意义化，增强了题目的应用价值，并且我们也可以利用该题的结果设置需要灯光的建筑物的位置。缺点：该模型的路灯光照强度计算公式，存在一定误差。比如路灯本身不是质点等。七、参考文献1宗荣、施继红、尉洪、李海燕.数学实验.云南大学出版社 .2009年12月第1版
