《艺术生高考数学专题讲义：考点32空间几何体的三视图与直观图》由会员分享，可在线阅读，更多相关《艺术生高考数学专题讲义：考点32空间几何体的三视图与直观图（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 考点三十二空间几何体的三视图与直观图 知识梳理 1简单多面体的结构特征 棱柱： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边也都互相 平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 棱锥： 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体 叫做棱锥 正棱锥： 如果一个棱锥的底面是多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥 叫做正棱锥 棱台： 用一个平行于底面的平面去截棱锥，在截面和底面之间的部分叫做棱台 多面体的结构特征： (1)棱柱 底面：互相平行 侧面：都是四边
2、形，且每相邻两个面的交线都平行且相等 (2)棱锥 底面：是多边形 侧面：都是有一个公共顶点的三角形 (3)棱台棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分 (4)正棱锥： 侧棱：相等 侧面：都是全等的等腰三角形 (5)正四面体：一个特殊的正三棱锥，它的各个面都是全等的正三角形 2.简单旋转体 (1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转得到 (2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转得到 (3)圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截 圆锥得到 (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 3三视图及其特征 (1)空间几何体的三视图包括正(主)视
3、图、侧 (左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、 正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线 (2)三视图的画法 基本要求：长对正，高平齐，宽相等 画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽. 看不到的线画虚线，看的到的线画实线 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 (3)由三视图换原实物图时，一般从最能反映物体特征的视图出发，然后结合另两个视图进 行换原 4斜二测画法与物体的直观图 (1)基本几何体的直观图常用斜二测画法，规则是： 在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x轴和 y轴，两轴交于 点 O，使 xOy 45 ，它们确定
4、的平面表示水平平面； 已知图形中平行于x 轴或 y 轴的线段在直观图中分别画成平行于x轴和 y轴的线段； 已知图形中平行于x 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段， 长度为原 来的 1 2. (2)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S与原平面图形的面积S之间的关系是 S 2 4 S 典例剖析 题型一简单几何体的概念 例 1下列结论正确的是_ 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体 叫圆锥 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此 棱锥可能是正六棱锥 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都 是母线 答案 解析三棱锥的侧面是有公共顶点
5、的三角形，选项错； 由正方形的一条对角线旋转一周围 成的几何体为两个圆锥形成的一个组合体，选项错； 六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边 长，选项错；选项正确故选. 变式训练下列命题中，正确的是_ 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 侧面都是矩形的四棱柱是长方体 底面为正多边形， 且有相邻两个侧面与底 面垂直的棱柱是正棱柱 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 答案 解析对于， 两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故错误；对于，侧面都是 等腰三角形， 不能确保此棱锥顶点在底面在底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能
6、保证底面是正多边形，故错误； 对于， 侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而错误 解题要点准确弄懂简单几何体的概念是解题的关键 题型二简单几何体的三视图 例 2一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是_ 答案 解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一 个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等， 因此选 . 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 变式训练 (1)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是_ 圆柱圆锥 四面体三棱柱 (2) 已知一个几何体的三视图如
7、图所示，分析此几何体的组成为_ 上面为棱台，下面为棱柱 上面为圆台，下面为棱柱 上面为圆台，下面为圆柱 上面为棱台，下面为圆柱 答案(1)(2) 解析(1)由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看 )都能使其正视图为三角形，而圆柱 的正视图不可能为三角形，故选. (2) 由俯视图可知，该几何体的上面与下面都不可能是棱台或棱柱，故排除选项、. 故选 . 解题要点1. 注意空间几何体的不同放置对三视图的影响 2. 由实物图画三视图或判断、选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的 原则； 3. 由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体 也是由这些简单
8、的几何体组合而成的；其次，要遵循以下三步：看视图，明关系；分部 分，想整体；综合起来，定整体 题型三空间几何体的直观图 例 3如图 A BC 是 ABC 的直观图，那么ABC 是_ 等腰三角形 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 直角三角形 等腰直角三角形 钝角三角形 答案 解析由斜二测画法知正确 变式训练一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则原梯形 的面积为 _ 答案4 解析设原梯形的面积为S，则 2 S 2 4 ， S4. 解题要点直观图的面积S与原平面图形的面积S之间的关系是S 2 4 S 当堂练习 1有下列四个命题：
9、 底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂 直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体 其中真命题的个数是_ 答案1 个 解析命题不是真命题， 因为底面是矩形， 但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体； 命题不是真命题，因为底面是菱形(非正方形 )，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正 方体；命题也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直； 命题是真命题，由对角线相等， 可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂 直，故平行六面体是直平行六面体 高中数学教师解题研究群群：625972323，每
10、天都有更新，无限下载数学教学资料 2以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是_ 球的三视图总是三个全等的圆 正方体的三视图总是三个全等的正方形 水平放置的正四面体的三视图都是正方形 水平面放置的圆台的俯视图是一个圆 答案 解析由于中的正视方向不明确，故不正确； 中的三视图不全是正方形；中的俯视图 是两个同心圆故选. 3. 在棱柱中 _ 只有两个面平行 所有的棱都平行 所有的面都是平行四边形 两底面平行，且各侧棱也互相平行 答案 解析由棱柱定义可知正确 4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是_ 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 高中
11、数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 答案 解析由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选项 5一个几何体的三视图均为等腰直角三角形(如图 )，则该几何体的直观图为_ 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 答案 解析、的正视图都应是图(1)，的侧视图应为图(1)均不符合，故选 课后作业 一、 填空题 1下列说法正确的命题的序号是_ 圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段是圆柱的母线 在圆台的上下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
12、圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 答案 解析由圆柱、圆锥、圆台的母线的概念知，正确，错误. 2下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是_ 答案 解析根据题目要求三视图中有且仅有两个视图相同，其中的三个视图可以都相同，故可 以排除选项，.选 . 3如图，网络纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何 体是 _ 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 答案三棱柱 解析根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如下图所示 4正方体的截平面不可能是：钝角三角形；直角三角形；菱形；正五边形；正 六边形下述选项正
13、确的是_ 答案 解析正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、 等边三角形， 但不可能是钝角三角 形、直角三角形；对四边形来讲，可以是梯形(等腰梯形 )、平行四边形、菱形、矩形，但不 可能是直角梯形； 从正方体的一个顶点去切可得五边形但不可能是正五边形；过正方体的六 个面可截得正六边形； 5以下四个命题：正棱锥的所有侧棱相等；直棱柱的侧面都是全等的矩形；圆柱的 母线垂直于底面；用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形其 中，真命题的个数为_ 答案3 解析由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故正确；由于直棱柱的底面的各边不一定相等， 故侧面矩形不一定全等，因此不正确； 由圆柱母线
14、的定义可知正确；结合圆锥轴截面的 作法可知正确综上，正确的命题有3 个 6如图所示是水平放置的三角形的直观图，A B y轴，则原图形中ABC 是_ 答案直角三角形 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 解析将斜二测画法逆用，即与坐标系xO y 中坐标轴y轴平行的线与坐标系xOy 中坐标轴 x 轴垂直，且AB2AB，ACAC如图，故为直角三角形 7如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45 ，腰和上底均为1 的等腰梯 形，那么原平面图形的面积是_ 答案22 解析由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45 ，腰和上底长度均 为
15、1，得下底长为12，所以原图上、下底分别为1，12，高为 2 的直角梯形所以 面积 S 1 2(1 21) 222 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 8 水平放置的矩形ABCD 长 AB4， 宽 BC 2， 以 AB， AD 为轴作出斜二测直观图ABCD ， 则四边形 ABCD的面积为 _ 答案2 解析平行线在斜二测直观图中仍为平行线， 所以四边形ABCD为平行四边形， DAB 45 ， A B 4， A D 2 1 21， DE1 sin 45 2 2 ，所以四边形ABCD的面积为4 2 2 22 . 9有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个_ 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 答案四棱台 10如图，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面是边长为2 的正三角形，正视图是边 长为 2 的正方形，则其左视图的面积为_ 答案2 3 解析左视图的高与正视图的高相等，故高为2， 左视图的宽与俯视图的宽相等，即为直三棱柱底面 ABC 的高，故左视图的宽为3， 左视图的面积为2 32 3. 11已知正三角形ABC 的边长为a，那么 ABC 的平面直观图 A B C 的面积为 _ 答案 6 16a 2 解析如图所示的实际图形和直观图 高中数学教师解题研究群群：62597232
