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1、,第一章 信号及描述,第一章 信号及描述,第一节 信号的分类与描述 第二节 周期信号与离散频谱 第三节 瞬变非周期信号与连续频谱 第四节 随机信号,信号无处不在，应用于生产生活各方面。,通信 古老通信方式：烽火、旗语、信号灯。 近代通信方式：电报、电话、无线通讯。 现代通信方式：计算机网络通信、视频电视传播、卫星传输、移动通信。,心电图波形,医学,序,机械设备运行状态监测与分析,第一节 信号的分类与描述,按照不同的分类标准，常见有三种分类方法： 确定性信号和随机信号 连续信号和离散信号 能量信号和功率信号,一、信号的分类,1. 确定性信号和随机信号,确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的
2、信号称为确定性信号。,例：单自由度质量弹簧系统作无阻尼自由振动。,周期信号：按一定的时间间隔周而复始、重复出现，无始无终的信号。,周期：满足上式的最小T 值。 频率：周期的倒数，f = 1/T，单位：（Hz 赫兹） 圆频率（角频率）：频率f 乘以2, 即 =2 f =2 /T 实际应用中，n 通常取为正整数。,数学表达：,T0 = 2 / 0 =1/ f0,1. 可以是频率单一的正弦信号，如,2. 也可以是多个频率成分组成的复杂周期信号，如 x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 t,如周期方波信号,非周期信号分为准周期信号与瞬变非周期信号。 准周期信号：由多个频率成分叠加
3、而成，但不存在公共周期。,例：,瞬变非周期信号：在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号。,例如质量弹簧系统有阻尼振动的位移方程：,随机信号：又称为非确定性信号，是无法用明确的数学关系式表达的信号。如：加工零件的尺寸、机械振动、环境的噪声等。 随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性，采用概率和统计的方法进行描述。,根据是否满足平稳随机过程的条件，非确定性信号又可以分为平稳随机信号和非平稳随机信号。,2. 连续信号和离散信号,实际应用中，连续信号与模拟信号不于区分，离散信号与数字信号往往混用。,信号的瞬时功率：,信号能量：,时，称信号为能
4、量（有限）信号，,2. 当信号在有限区间（t1, t2）上的平均功率,如各类瞬变信号。,3. 能量信号和功率信号,1. 当,称信号为功率（有限）信号，如周期信号、准周期信号、随机信号等。,1. 信号的时域描述 以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征， 反映信号幅值随时间变化的关系。 时域波形图：时间为横坐标的幅值变化图。 优点：形象、直观。 缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。,二、信号的描述,2. 信号的频域描述 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。 频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。 幅频谱（幅值
5、谱）：幅值-频率图 相频谱（相位谱）：相位-频率图 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。,信号时域与频域描述的关系： 时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换， 两者蕴涵的信息相同。 时域描述与频域描述各有用武之地。 工程中直接测得的通常是时域信号，将信号从时域转换到频域称为频谱分析，属于信号的变换域分析。 采用频谱图描述信号，需要同时给出幅频谱和相频谱。,例：周期方波信号的时域、频域描述,时域描述,一种方式是数学表达式,另一种方式是时域波形图,频域描述,，,幅值谱,相位谱,用傅里叶级数展开，数学表达式变为：,总结：若,，则它在频率轴上,处有幅值，幅值为
6、A。,周期方波信号的时域、频域描述,在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。,狄里赫利（Dirichet）条件: 在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。 在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。 在一个周期内，信号绝对可积，即:,一、傅立叶级数的三角函数展开式,第二节 周期信号与离散频谱,其中,则可以展开为,常值分量,余弦分量的幅值 正弦分量的幅值,式中,进一步，可以改写为,An：第n次谐波的幅值； n：第n次谐波的初相角,例：周期性三角波的傅里叶级数,解：,因此，有：,二、傅立叶级数的复指数函数展开式,欧拉公式,证明思路：,欧拉公式建立了三角
7、函数和指数函数之间的的关系。,傅里叶级数由三角函数形式展开推导到复指数形式展开,将,与欧拉公式代入上式，得,令,n=0, 1, 2, ,按实频谱和虚频谱形式,幅频谱和相频谱形式,幅频谱图：| Cn | - 实频谱图： CnR - 虚频谱图： CnI - 相频谱图： n - ,例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。,解：,C-1 = 1/2，C1 = 1/2，Cn = 0（n=0, 2, 3, ）,C-1 = j/2，C1 = -j /2，Cn = 0（n = 0, 2, 3, ）,单边幅频谱,双边幅频谱,虚频谱,实频谱,时域波形,几点结论：,复指数函数形式的频谱为双边谱（ 从 - 到 +），
8、三角函数形式的频谱为单边谱（ 从 0 到 +）。,两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：,双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数：,一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱总是偶 对称的，虚频谱总是奇对称的。,综上所述，周期信号频谱的特点如下： 周期信号的频谱是离散谱；离散性 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；谐波性 一般周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小 在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。收敛性,三、周期信号的强度表述,1）峰值 峰值xp是信号可能出现的最大瞬时值，即xp=| x(t)|m
9、ax 。 2）峰-峰值 xp-p是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差。 3）均值 4）绝对均值 5）有效值 6）平均功率,周期信号的强度表述方式有1,4,5,6四种。,非 周 期 信 号,准周期信号 信号中各简谐成分 的频率比为无理数 具有离散频谱,瞬变非周期信号 在一定时间区间内 存在或随时间的增 长衰减至零,即通常所说的非周期信号。,第三节 瞬变非周期信号与连续频谱,一 傅里叶变换 （fourier transform，FT）,非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号。,谱线无限靠近，离散谱变为连续谱 。,无论周期增大到何种程度，信号能量沿频率域的分布特征总存在，即非周期信号的
10、频谱依然存在。 信号存在就必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其所含总能量应当不变。,设周期信号x(t)在一周期内的傅里叶级数表示为,其中：,T0时，周期信号频谱谱线的频率间隔=0 0 ，谱线无限靠近。变量连续取值以至离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的。,设有一个周期信号x(t)在区间 以傅立叶级数表示为,当T0 趋于无穷 时，频率间隔成为d，离散谱中相邻的谱线紧靠在一起，n成为连续变量 ， d=2df=2/T0，求和符号就变为积分符号，则,将 代入上式则得,Cn,傅里叶变换（FT）,傅里叶逆变换（IFT）,若以,代入得,记为：,用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式
11、写为,非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似，但是两者量纲不同。 为信号幅值的量纲， 为信号单位频宽上的幅值，是频谱密度函数。,称为频谱密度函数，简称频谱函数，它反映了信号能量沿频域的分布状况，工程测试中为方便， 仍称为频谱。,例：矩形窗函数的频谱,W(f)中 T 称为窗宽，W(f)函数只有实部，没有虚部。,sinc 以2为周期并随的增加作衰减振荡。sinc是偶函数，在n（n=1, 2, ）处其值为0。最高点值为AT。 本例中， sinc = sinc(Tf)，以2/T为周期并随的增加作衰减振荡，在n/T（n=1, 2, ）处其值为0。 矩形窗高为A=1，于是最高点值为T。,问，右图窗
12、函数的幅频谱？,非周期信号频谱的特点,基频无限小。,频谱连续，包含了从 0 的所有频率分量。,|X()|与|Cn|量纲不同。|Cn|具有与原信号幅 值相同的量纲，|X()|是单位频宽上的幅值。,非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。,周期信号有傅里叶级数，非周期信号有傅里叶变换。,某齿轮箱各特征频率值,Hz,二 傅里叶变换的主要性质,积 分,x(t t0),时 移,频域微分,x(kt),尺度变换,时域微分,x(-f),X(t),对 称 性,X1(f)X2(f),x1(t) x2(t),频域卷积,AX(f)+bY(f),ax(t)+by(t),线性叠加,X1(f) X2(f),x1(t)x2(t
13、),时域卷积,实奇函数,虚奇函数,X*(-f),x*(t),共 轭,虚偶函数,虚偶函数,X(-f),x(-t),翻 转,虚奇函数,实奇函数,X(f f0),频 移,实偶函数,实偶函数,函数的奇偶虚实性,频 域,时 域,性 质,频 域,时 域,性 质,奇偶虚实性,若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数。 若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数。 若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数。 若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数。,若x(t)为实函数，则 ReX( f ) = ReX( -f ) ImX( f )
14、 = - ImX( -f ),对称性：若 x (t) X (f )，则X(t) x(-f ),证明： 互换 t 和 f 从而：X(t) x(-f),例：时域矩形窗，频域sincf ；时域sinct，频域矩形窗。,证明：,（k 0）,（k 0）,综上所述,时间尺度特性表明：信号在时域中压缩（k 1，变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）幅值降低；信号在时域中扩展（ 1 k 0）等效于在频域压缩（频带变窄）幅值增高。,尺度改变性,尺度改变性质举例,证明：若 t0为常数 则,时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱,时移性质 ,设 s=t+t0 ，,(c) 时移的时域矩形窗 图(c)对应的
15、幅频和相频特性曲线 时移性质举例,（a）时域矩形窗,图（a）对应的幅频和相频特性曲线,0,0,0,0,0,0,例：求三个窗函数的频谱。,对于矩形窗函数w(t),问题描述为求w(t -)+ w(t)+ w(t +)的频谱,根据时移性质,频移特性,若 f0为常数,证明,卷积特性 ,证明： 函数x(t)与y(t)的卷积定义为,同理可得,微分特性：,证明：,同理：,三 几种典型信号的频谱,1、单位脉冲函数(函数) 的频谱 1）函数定义,且其面积（强度）：,箭头表示幅值无限大，但强度有限大，是多少标多少；若没有箭头，表示幅值有限大，是多少就标多少。,2） 函数的性质（）,（1）抽取性（采样性、筛选性）,
16、抽取结果为x(t)在发生函数位置的函数值(又称为采样值) 。,（2）卷积性,函数与其他函数的卷积示例,(t),0,t,1,x(t),0,t,A,0,t,A,x(t) (t),(tt0),0,t,x(t),0,t,0,t,(t+t0),(t-t0),x(t) (t t 0),-t0,t0,-t0,t0,对(t)取傅里叶变换,函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱称为“均匀谱”。,函数是偶函数，即，则利用傅立叶变换的对称、时移、频移性质，还可得到以下傅里叶变换对：,3） 函数的频谱,（幅频谱是均匀谱1，但各频率成分分别移相2ft0角）,(t t0) （ 函数时移 t0）,(f) （在f=0处有脉冲谱线）,1 （幅值为1的直流量）,1 （均匀频谱密度函数）,(t) （单位瞬时脉冲）,频 域,时 域,单位脉冲函数的时
