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1、一、函数知识结构:,二、近年高考动向:,从近几年来看,对本部分内容的考查形势稳中求变,向着更灵活的的方向发展,对于函数的概念及表示多以以下的形式出现:通过具体问题(几何问题、实际应用题)找出变量间的函数关系,再求出函数的定义域、值域,进而研究函数性质,寻求问题的结果。,高考对函数概念与表示法的考查是以选择题或填空题为主,以解答题形式出现的可能性相对较小,本部分知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。,利用函数图象的直观性是研究函数性质的有效载体,在已知函数解析式的基础上做出函数图象的简图,能够迅速得到函数的有关性质。用导数工具研究函数的单调区间问题、函数的极值问题和函数的最值问题是
2、解答题的命题方向。,课堂教学中要注意函数的思维方式的教学,要能够揭示出数学的本质,要能够从观念上启发学生去深入的、科学的思考数学问题。,1、函数是中学数学最重要的内容之一,在复习时要全面掌握,透彻理解每一个知识点。,2、对于二次函数问题要特别引起重视,复习时应适当加宽加深;关于函数性质问题的考查在高考中,使用抽象函数的约占1/5,而使用具体函数约占4/5,所以在复习函数性质时,可以多结合具体函数进行研究;函数的极值、最值问题在高考中多次出现,是高考中的重要题型之一;含参数函数的讨论是函数问题中的重点,复习时应加强这方面的训练;函数应用题仍然要引起重视。,三、复习建议:,这里主要研究运用函数的概
3、念及函数的性质解题,函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等,在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧妙利用函数及其图象的相关性质,可以使得问题得到简化,从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质,这里不再赘述,请大家参阅高中数学教材复习,这里以例题讲解应用为主。,1、映射的概念:,在理解映射概念时要注意: A中元素必须都有象且唯一; B中元素不一定都有原象,且原象不一定唯一。,2、函数的概念:,(3),注意: 函数特殊在定义域A和值域B都是非空数集!据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。 构
4、成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。,3、求函数定义域的常用方法:,说明: 根据解析式要求如偶次根式的被开方数大于零,分母不能为零,对数 中 且 ,三角形中 , 最大角 ,最小角 等。 根据实际问题的要求确定自变量的范围。 复合函数f(x)的定义域:若已知的定义域为 ,其复合函数 的定义域由不等式 解出即可;若已知 的定义域为 ,求f(x)的定义域,相当于当 时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域)。,4、函数的单调性,例4、已知函数 ,判断该函数在区间 上的单调性,并说明理由,【解法1】 设
5、 , f (x1 ) f (x2 ) 故函数 是减函数,【解法2】,x0时, 和 都是增函数,,从而 是 上的减函数,例7、函数 的递增区间是_,在y轴左侧,增减的转折点是x=2,且先减后增,故-2,0 是递增区间;,在y轴右侧,增减的转折点是x = 2,且先减后增,故2,+) 是递增区间,【答案】C,5、从函数的奇偶性到函数的对称性:,例10、函数y = f ( x ) 对任意实数x,总有 (1)f (ax) = f ( b + x ),这里a,b是常数,问函数的图像有什么性质,证明你的结论; (2)f (ax) =f ( b + x ),这里a,b是常数,问函数的图像有什么性质,证明你的结
6、论, PQ垂直直线 ,且被其平分,,【解(1)】 设y = f (ax) = f ( b + x )则点P (ax,y),Q ( b + x, y) 都在函数y = f (x)的图像上,且P、Q两点纵坐标相等,, P、Q 两点关于直线 对称,而P、Q又是曲线y = f (x)上的动点,, 函数y = f (x)的图像关于直线,对称,【解(2)】设 y= f (ax)=f (b + x ) 则点R (ax,y),S ( b+x,y)都在函数y = f (x) 的图像上,线段RS的中点是定点M( ),即R、S两点关于定点M 对称, 而R、S是曲线y = f (x)上的动点, 函数y = f (x)
7、的图像关于点 M( )对称,问题:当a=0,b=0函数f(x)具有什么性质?,例11、 (1)f ( x )是奇函数,x0时,f ( x ) = x (43x),那么x0时f ( x ) = _,【解法1】x0时,f ( x ) = x(43x),,在其上取三点P1(0,0)、,则它们关于原点的对称点分别是Q1 (0,0),,设x时,, Q2在其上, ,解之,得a = 3,, x时,,【解法2】 设x0,则x0 f (x) = (x)(4 + 3x) f ( x )是奇函数, f (x) = f ( x ) x0时, f ( x ) =f (x )=x(4+3x),若把问题改为: f ( x
8、)满足f ( 1+x ) = f (3- x ) ,x2时,f ( x ) = x (43x),那么x2时求 f ( x ) 的解析式.请解答.,例12、已知函数 f ( x ) 对任意实数a,b都有 ,且f(0)0,则f ( x )是,(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)是奇函数也是偶函数 (D)既非奇函数也非偶函数,【解法1】, f ( b ) = f (b )且bR f ( x )是R上的偶函数 由于f ( 0 )0,所以f ( x )不是奇函数 应选(B),于是, f ( a )+f (a ) = 2 f ( 0 )f ( a ) = f ( a ) f (a ) = f
9、 ( a ),aR f ( x )是R上的偶函数 而f ( 0 )0,故f ( x )不是奇函数 应选(B),由题意可知g(x)=f(2-x), g(x)=(2-x),例15、(1)设f(x)是R上的奇函数,且f(x3)f(x),当0 x 时,f(x)x,则f(2009)( ) A.1 B.0 C.1 D.2009,解:f(x6)f(x33)f(x3)f(x) f(x)的周期为6f(2009)f(63351)f(1)f1,问题:函数f(x)满足f(a+x) =f(b-x)且f(c+x)= f(d-x)那么f(x)是不是周期函数?为什么?若是,周期是多少?,(2)定义在实数集上的函数f(x),对
10、一切实数x都有f(x1)f(2x)成立,若f(x)0仅有101个不同的实数根,那么所有实数根的和为( ) A.150 B. C.152 D.,解:由已知,函数f(x)的图象有对称轴x 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是,其余100个根可分为50对, 每一对的两根关于x对称利用中点坐标公式,这100个根的和等于 100150,6、函数的周期性,如果函数yf(x)对于定义域内任意的x,存在一个不等于0的常数T,使得f(xT)f(x) 恒成立,则称函数f(x)是周期函数,T是它的一个周期.一般情况下,如果T是函数f(x)的周期,则kT(kN)也是f(x)的周期.,例13、已知函
11、数f ( x ),对任意实数x,有下面四个关系式成立: (1)f ( x ) =f (x+a)(a为非零常数); (2)f ( x ) = f (ax)(a为非零常数); (3)f (ax) = f (bx)(a,b为常数且a2 + b20),(4)f (ax) =f (bx)(a,b为常数且a2+b20) 其中使f ( x )是周期函数的关系式是_,【解】考查(1),f ( x )=f (x+a)说明“两个自变数相差a,则函数值互为相反数”,于是相差2a时,函数值相等: f ( x )=f (x+a) = f (x+2a) 等式(1)使f ( x )是周期函数, 且2a是周期;,考查(2),
12、f ( x )=f (ax)表明函数f ( x )的图像关于直线 对称,这不一定能使其为周期函数; 考查(3),f (ax)= f (bx)表明自变数相差ab时, 函数值相等, 即 f ( x ) = f (ab+x) 等式(3)使f (x)是周期函数,且ab是周期,考查(4),f (ax) =f (bx)表明自变数相差ab时,函数值互为相反数,于是相差2(ab)时,函数值相等故(4)同(1),能使 f ( x )为周期函数,且 2(ab)是周期 综上所述,应填(1),(3),(4),例16、 f ( x )是R上的以2为周期的周期函数,又是奇函数,且x(0,1)时, 则f ( x ) 在(1
13、,2)上 (A)是增函数,且f ( x )0 (B)是减函数,且f ( x )0 (C)是增函数,且f ( x )0 (D)是减函数,且f ( x )0,【讲解】认识f ( x )在(1,2)上的性质,可以把f ( x )在(1,2)上的解析式求出来,或者由f ( x )的性质去推断:,例17、(1)(2010安徽卷4)若f ( x )是R上的以5为周期的奇函数,且满足f ( 1 )=1,f ( 2 )=2,则f ( 3 )- f ( 4 )= A.1 B. 1 C. 2 D. 2,例18、(1)已知函数 (a 0 且a 1) 在其定义域 1, 1 上是减函数,则实数 a 的取值范围是_.,7
14、、幂函数、指数函数与对数函数,(2)如果不等式 x2 0在区间 上恒成立,那么实数a的取值范围是_,解:(1)由a0且a1知t3ax是减函数,从而lg(3ax) 也是减函数,故只有a1时,f (x)才是减函数; 另外, x 1 ,1 时要保证 3ax0,为此只须考虑最小值: x1时, tmin=3a,要3a0, 则a3,综上知1a3,解(2)设yx2 y 当a1时,函数在 上取负值, 因此 不可能有x2 成立 在 上函数的最大值是 , 在 上,当0a1时,的最小 值是 ,,例20、(1)已知函数 f (x)|2x 1 1 |, abc 且 f (a)f (c)f (b) ,则必有 (A) ab
15、,b1,c1 (B) a1,b1,c1 (C) 2a 2c (D) 2a2c4,【解】函数y=2x的图像右移1个单位得 y = 2x1 ,再下移1个单位得y = 2x1 1,再把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得y =| 2x11|,图像如下图,由于在 上,f (x) 是减函数,所 以 a, b,c 不能同时在 上;同理,a,b,c 也不能同时在 上,故必有a1且c1 从而2a11,2c11 f (a)12a1,f (c)2c11 f (a) f (c) 12a12c11 2a2c4 故选(D),(2),8、求函数值域(最值)的方法:,(1)配方法,(2)换元法,(3)函数有界性法,(4)单调性法,(5)数形结合法,(6)判别式法,(7)不等式法,(8)导数法,例23、(1),(2),9、利用导数研究函数性质;,(3),(4),B,高三的每一节复习课的教学定位要准确,课堂教学一定要能够揭示出数学的本质,要能够从观念上启发学生去深入的、科学的思考数学问题 . 紧紧抓住“核心知识”与“核心思想”是高考数学复习的最重要的特征;概括数学的思维特点和方法是高考复习的主旋律.,结束语:,感谢聆听, 请批评指正,