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1、一、函数知识结构：,二、近年高考动向：,从近几年来看，对本部分内容的考查形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以以下的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。,高考对函数概念与表示法的考查是以选择题或填空题为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本部分知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。,利用函数图象的直观性是研究函数性质的有效载体，在已知函数解析式的基础上做出函数图象的简图，能够迅速得到函数的有关性质。用导数工具研究函数的单调区间问题、函数的极值问题和函数的最值问题是
2、解答题的命题方向。,课堂教学中要注意函数的思维方式的教学，要能够揭示出数学的本质，要能够从观念上启发学生去深入的、科学的思考数学问题。,1、函数是中学数学最重要的内容之一，在复习时要全面掌握，透彻理解每一个知识点。,2、对于二次函数问题要特别引起重视，复习时应适当加宽加深；关于函数性质问题的考查在高考中，使用抽象函数的约占1/5，而使用具体函数约占4/5，所以在复习函数性质时，可以多结合具体函数进行研究；函数的极值、最值问题在高考中多次出现，是高考中的重要题型之一；含参数函数的讨论是函数问题中的重点，复习时应加强这方面的训练；函数应用题仍然要引起重视。,三、复习建议：,这里主要研究运用函数的概
3、念及函数的性质解题,函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材复习,这里以例题讲解应用为主。,1、映射的概念：,在理解映射概念时要注意： A中元素必须都有象且唯一； B中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。,2、函数的概念：,（3）,注意： 函数特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。 构
4、成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。,3、求函数定义域的常用方法：,说明： 根据解析式要求如偶次根式的被开方数大于零，分母不能为零，对数 中 且 ，三角形中 , 最大角 ，最小角 等。 根据实际问题的要求确定自变量的范围。 复合函数f（x）的定义域：若已知的定义域为 ,其复合函数 的定义域由不等式 解出即可；若已知 的定义域为 ,求f（x）的定义域，相当于当 时，求g（x）的值域（即f（x）的定义域）。,4、函数的单调性,例4、已知函数 ，判断该函数在区间 上的单调性，并说明理由,【解法1】 设
5、 , f (x1 ) f (x2 ) 故函数 是减函数,【解法2】,x0时， 和 都是增函数，,从而 是 上的减函数,例7、函数 的递增区间是_,在y轴左侧，增减的转折点是x=2，且先减后增，故-2,0 是递增区间；,在y轴右侧，增减的转折点是x = 2，且先减后增，故2,+) 是递增区间,【答案】C,5、从函数的奇偶性到函数的对称性：,例10、函数y = f ( x ) 对任意实数x，总有 （1）f (ax) = f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论； （2）f (ax) =f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结
6、论, PQ垂直直线 ，且被其平分，,【解（1）】 设y = f (ax) = f ( b + x )则点P (ax，y)，Q ( b + x， y) 都在函数y = f (x)的图像上,且P、Q两点纵坐标相等，, P、Q 两点关于直线 对称,而P、Q又是曲线y = f (x)上的动点，, 函数y = f (x)的图像关于直线,对称,【解（2）】设 y= f (ax)=f (b + x ) 则点R (ax，y)，S ( b+x，y)都在函数y = f (x) 的图像上,线段RS的中点是定点M（ ）,即R、S两点关于定点M 对称， 而R、S是曲线y = f (x)上的动点, 函数y = f (x)
7、的图像关于点 M（ ）对称,问题:当a=0,b=0函数f(x)具有什么性质?,例11、 （1）f ( x )是奇函数，x0时，f ( x ) = x (43x)，那么x0时f ( x ) = _,【解法1】x0时，f ( x ) = x(43x)，,在其上取三点P1（0，0）、,则它们关于原点的对称点分别是Q1 (0，0)，,设x时，, Q2在其上， ,解之，得a = 3，, x时，,【解法2】 设x0，则x0 f (x) = (x)(4 + 3x) f ( x )是奇函数， f (x) = f ( x ) x0时， f ( x ) =f (x )=x(4+3x),若把问题改为: f ( x
8、)满足f ( 1+x ) = f (3- x ) ，x2时，f ( x ) = x (43x)，那么x2时求 f ( x ) 的解析式.请解答.,例12、已知函数 f ( x ) 对任意实数a，b都有 ，且f（0）0，则f ( x )是,（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）是奇函数也是偶函数 （D）既非奇函数也非偶函数,【解法1】, f ( b ) = f (b )且bR f ( x )是R上的偶函数 由于f ( 0 )0，所以f ( x )不是奇函数 应选（B）,于是, f ( a )+f (a ) = 2 f ( 0 )f ( a ) = f ( a ) f (a ) = f
9、 ( a )，aR f ( x )是R上的偶函数 而f ( 0 )0，故f ( x )不是奇函数 应选（B）,由题意可知g(x)=f(2-x), g(x)=(2-x),例15、（1）设f(x)是R上的奇函数，且f(x3)f(x)，当0 x 时，f(x)x，则f(2009)( ) A.1 B.0 C.1 D.2009,解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x) f(x)的周期为6f(2009)f(63351)f(1)f1,问题：函数f(x)满足f(a+x) =f(b-x)且f(c+x)= f(d-x)那么f(x)是不是周期函数?为什么?若是,周期是多少?,（2）定义在实数集上的函数f(x)，对
10、一切实数x都有f(x1)f(2x)成立，若f(x)0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B. C.152 D.,解：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是，其余100个根可分为50对， 每一对的两根关于x对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于 100150,6、函数的周期性,如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x) 恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期.,例13、已知函
11、数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关系式成立： （1）f ( x ) =f (x+a)（a为非零常数）； （2）f ( x ) = f (ax)（a为非零常数）； （3）f (ax) = f (bx)（a,b为常数且a2 + b20）,（4）f (ax) =f (bx)(a,b为常数且a2+b20） 其中使f ( x )是周期函数的关系式是_,【解】考查（1），f ( x )=f (x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等： f ( x )=f (x+a) = f (x+2a) 等式（1）使f ( x )是周期函数， 且2a是周期；,考查（2），
12、f ( x )=f (ax)表明函数f ( x )的图像关于直线 对称，这不一定能使其为周期函数； 考查（3），f (ax)= f (bx)表明自变数相差ab时， 函数值相等， 即 f ( x ) = f (ab+x) 等式（3）使f (x)是周期函数，且ab是周期,考查（4），f (ax) =f (bx)表明自变数相差ab时，函数值互为相反数，于是相差2（ab）时，函数值相等故（4）同（1），能使 f ( x )为周期函数，且 2（ab）是周期 综上所述，应填（1），（3），（4）,例16、 f ( x )是R上的以2为周期的周期函数，又是奇函数，且x(0，1)时， 则f ( x ) 在（1
13、，2）上 （A）是增函数，且f ( x )0 （B）是减函数，且f ( x )0 （C）是增函数，且f ( x )0 （D）是减函数，且f ( x )0,【讲解】认识f ( x )在（1，2）上的性质，可以把f ( x )在（1，2）上的解析式求出来，或者由f ( x )的性质去推断：,例17、（1）（2010安徽卷4）若f ( x )是R上的以5为周期的奇函数，且满足f ( 1 )=1，f ( 2 )=2，则f ( 3 )- f ( 4 )= A.1 B. 1 C. 2 D. 2,例18、（1）已知函数 (a 0 且a 1) 在其定义域 1, 1 上是减函数，则实数 a 的取值范围是_.,7
14、、幂函数、指数函数与对数函数,（2）如果不等式 x2 0在区间 上恒成立，那么实数a的取值范围是_,解：（1）由a0且a1知t3ax是减函数，从而lg(3ax) 也是减函数，故只有a1时，f (x)才是减函数； 另外， x 1 ，1 时要保证 3ax0，为此只须考虑最小值： x1时, tmin=3a，要3a0， 则a3，综上知1a3,解（2）设yx2 y 当a1时，函数在 上取负值， 因此 不可能有x2 成立 在 上函数的最大值是 ， 在 上，当0a1时，的最小 值是 ，,例20、(1)已知函数 f (x)|2x 1 1 |, abc 且 f (a)f (c)f (b) ，则必有 (A) ab
15、，b1，c1 (B) a1，b1，c1 (C) 2a 2c (D) 2a2c4,【解】函数y=2x的图像右移1个单位得 y = 2x1 ，再下移1个单位得y = 2x1 1，再把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得y =| 2x11|，图像如下图,由于在 上，f (x) 是减函数，所 以 a， b，c 不能同时在 上；同理，a，b，c 也不能同时在 上,故必有a1且c1 从而2a11，2c11 f (a)12a1，f (c)2c11 f (a) f (c) 12a12c11 2a2c4 故选（D）,(2),8、求函数值域（最值）的方法：,（1）配方法,（2）换元法,（3）函数有界性法,（4）单调性法,（5）数形结合法,（6）判别式法,（7）不等式法,（8）导数法,例23、（1）,（2）,9、利用导数研究函数性质；,（3）,（4）,B,高三的每一节复习课的教学定位要准确，课堂教学一定要能够揭示出数学的本质，要能够从观念上启发学生去深入的、科学的思考数学问题 . 紧紧抓住“核心知识”与“核心思想”是高考数学复习的最重要的特征；概括数学的思维特点和方法是高考复习的主旋律.,结束语：,感谢聆听， 请批评指正,
