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1、最大似然估计的 matlab 实现实验目的：在 MVU 估计量不存在或存在但不能求解的情况下，最大似然估计是获得实用估计的最通用的方法，利用它可简便地实现对复杂的估计问题的求解。对绝大多数实用的最大似然估计，当观测数据足够多时，其性能是最优的。本实验旨在通过网格搜索法和 Newton-Raphson 迭代法实现对未知信号的最大似然估计，并观察估计性能随样本数据量和信噪比的变化，加深对最大似然估计的理解。实验原理：对于一个达不到 CRLB 的估计问题，不存在一个有效的估计量，不能实现利用充分估计量求解 MVU 估计的办法。利用基于最大似然原理的估计量，即最大似然估计量（MLE） ，可以求得非常接
2、近于 MVU 估计量的估计量。其近似的本质在于，对于足够多的数据记录，MLE 具有渐近有效性。 、设信号 x 的 PDF 已知，为 0(,)px。当存在两个估计量 1和 2，且0102(,)(,)pp，显然会更倾向于选取 1为估计量，即argm,x。似然函数 (,)p表征参数 给定条件下输入 x 的概率密度，当 时使(,)px达到最大，表明 使此输入 x 的出现概率最大。现在观测到的输入 x，可判断为由使它最可能出现的那个引起的。因此，最大似然估计的优点是无需知道参量的先验知识，同时代价函数也不必给定，对未知先验概率的变量估计适用。实验内容：问题：设观测数据集为 0cos2xnfwn1,2.N
3、其中 wn是方差为 2的 WGN，N、 2已知，试通过网格搜索法和 Newton-Raphson 迭代法求出频率 0f的 MLE，并分析估计性能随 N、SNR 的变化。分析： wn是方差为 2的 WGN，有 xn的 PDF 为 20 0211(,)exp(cos)Nnpxf xfn使得上式取得最大值时的 0f即为所求估计量 0f。对 0(,)pxf求导，得220 01ln(,)ln()(cos)NnNpxf xfn当 0l,f取得最大值时， 0,)pf最大。方案：网格搜索法 220 01ln(,)ln()(cos)NnNpxf xfn从上式可以看出 0l,pxf的值只与第二项有关，有2 20
4、00(cos)coscsxnf ffn20001=(1+44Nnfff001cosl(,)Nnxfnpxf最 大 最 大在 0f的变化范围 00.5 内，使得01cos2Nnfn最大的 0f值即为所求估计量 0f。运用网格搜索法， 0f以 0.01 的间隔递增，分别代入01cos2Nnxfn。Newton-Raphson 迭代法迭代方法通过求导函数的零值而使对数似然函数最大，即 0ln(,)=pxf使用迭代方法求解此方程，令 ln(,)()pxfgf假设有一个求解上式的初始猜测值，称为 f1,，如果 g(f)在 f1 附近是近似线性的，能近似表示为 11()()|)fdggfff令 g(f)=0，求解对应的 f2，利用 f2 作为新的猜测值，对函数 g 再次线性化，并重复上述方法求得新的零值。最终这个猜测值序列将收敛到 g(f)的真零值。Newton-Raphson 迭代法是根据前一个猜测值，求出一个新的猜测值，即 121ln(,)ln(,)|kk fpxfpxf 当 1()0kf时，可认为迭代结束，得到估计量 01kff
