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1、应用举例 第 1 课时仰角、俯角与圆弧问题 见 B本 P84 1身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面 的夹角如下表 ( 假设风筝线是拉直的) ，则四名同学所放的风筝中最高的是( D ) 同学甲乙丙丁 放出风筝线长140 m100 m95 m90 m 线与地面夹角30454560 A.甲B乙C丙D丁 【解析】设风筝的线长、风筝高分别为l，h，线与地面的夹角为 ，所以hlsin ，代 入计算，比较大小 2如图2829，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30，朝物体AB 方向前进20 米，到达点C，再次测得A点的仰角为60，则物体AB的高度为 (
2、A ) A103米 B 10 米 C203米 D. 203 3 米 图 2829 3如图 282 10，在两建筑物正中间有一旗杆，高15 米，从A点经过旗杆顶点恰好看到 矮建筑物的墙角C点，且俯角 为 60，又从A点测得D点的俯角 为 30，若旗杆底 G点为BC的中点，则矮建筑物的高CD为 ( A ) A20 米 B 103米 C153米 D 56米 图 28210 4如图28211，O的半径为4 cm，PA，PB是O的两条切线，APB 60，则AP _43_cm_ 图 28211 5如图 282 12，在高度是21 米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30，底 部D处的俯角为45，则这
3、个建筑物的高度CD_7321_米( 结果可保留根号) 图 28212 6如图 28213，为测量江两岸码头B，D之间的距离，从山坡上高度为50 米的点A处 测得码头B的俯角EAB为 15，码头D的俯角EAD为 45，点C在线段BD的延长线上， ACBC，垂足为C，求码头B，D之间的距离 ( 结果保留整数，参考数据：sin15 0.26 ， cos15 0.97 ，tan15 0.27) 图 28213 解：AEBC，ADCEAD 45. 又ACCD，CDAC50. AEBC，ABCEAB15 . 又 tan ABC AC BC ，BC AC tan ABC 185.2 ， BDBCCD185.
4、250135(米 ) 答 ：码头B，D之间的距离约为135 米 图 28214 7. 天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹如图28214，从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45和 60，若此观测点离地面的高度为51 米，A， B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离 ( 结果保留根号) 解：由题意得，ECA45，FCB60， EFAB， CADECA 45，CBDFCB60， ADCCDB 90， 在 RtCDB中， tan CBD CD BD ， BD 51 tan 60 173米， ADCD51 米， ABADBD51173. 答：A，
5、B之间的距离为(51 173) 米 8如图 282 15，甲楼AB的高度 为 123 m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角 为 45， 测得乙楼底部D处的俯角为30， 求乙楼CD的高度 ( 结果精确到0.1 m ， 3取 1.73) 图 28215 第 8 题答图 解：如图，过点A作AECD于点E，根据题意，CAE45，DAE30. 在 RtADE中，DEAB123，DAE30， AE3DE 1233. 在 RtACE中，由CAE 45，得CEAE1233， CDCEDE123(31)335.8( m) 答：乙楼CD的高度为 335.8 m. 图 28216 9. 如图 282 16，小
6、明为了测量小山顶上的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45， 再沿AC方向前进73.2 米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为 60，塔底E的仰角为30， 求塔高。 (精确到 0.1 米，31.732) 解： 在山脚B处测得塔尖D的仰角为60，塔底E的仰角为 30。 DBC 60 ，EBC 30 DBE DBCEBC60 30 30 又 BCD90 BDC 90 DBC 90 60 30 即 BDE 30 BDEDBE，BEDE. 设ECx，则BE2EC2x，BCBE 2 EC 2 （ 2x） 2x2 3x DEBE2x，DCECDEx2x3x 又 在A处测得塔尖D的仰角为45，AB 73.2 AC
7、D为等腰直角三角形，即ACDC 3x，BCACAB3x73.2 3x3x 73.2 ，即 1.732x3x73.2 ，2.268x73.2 ，x 32.3( 米 ) 故塔高约为64.6 米 10校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动 小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验( 如图 28217)：先在公路旁边选取一 点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21 米，在l上点D 的同侧取点A，B，使CAD30，CBD60. (1) 求AB的长 ( 精确到 0.1 米，参考数据：31.73 ，21.41) ； (2) 已知本路段对校
8、车限速为40 千米 / 时，若测得某辆校车从A到B用时 2 秒，这辆校车是 否超速？说明理由 图 28217 解： (1) 由题意得：在Rt ADC中， AD CD tan30 21 3 3 21336.33. 在 RtBDC中，BD CD tan60 21 3 73 12.11 ， 所以ABADBD36.33 12.11 24.2224.2( 米 ) (2) 校车从A到B用时 2 秒， 所以该车速度约为24.22 12.1( 米/秒 ) 因为 12.13 600 43 560 ， 所以该车速度约为43.56 千米 / 时，大于40 千米 / 时， 所以此校车在AB路段超速 图 28218 1
9、1. 如图 28 218，在 RtABC中，ACB 90，点D是边AB上一点，以BD为直径的 O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F. (1) 求证：BDBF； (2) 若CF1，cosB 3 5，求 O的半径 解： (1) 证明：连接OE. AC与O相切于点E， OEAC.OEA90. ACB90，OEAACB，OEBC. OEDF. OEOD，OEDODE，FODE，BDBF. (2) 设BC3x，则AB5x，又CF1， BF3x1， 由(1) 知BDBF，BD 3x1，OE3x1 2 ，AO5x3x1 2 7x1 2 . OEBF.AOEB， OE OA 3 5，
10、即 3x1 2 7x1 2 3 5，解之，得： x4 3. O的半径为 3x1 2 5 2. 第 2 课时方位角与坡度问题 见 A本 P86 1 如图 28219， 某游乐场一山顶滑梯的高为h， 滑梯的坡角为， 那么滑梯长l为( A ) A. h sin B. h tan C. h cos Dhsin 【解析】 sin h l ，l h sin . 图 28219 图 28220 2. 河堤横断面如图28220 所示， 堤高BC6 米，迎水坡AB的坡比为13，则AB的长 为( A ) A12 米 B 43米 C53米 D 63米 图 28221 3. 如图 28221 是某水库大坝横断面示意图
11、其中AB，CD分别表示水库上下底面的水平 线，ABC 120，BC的长是 50 m ，则水库大坝的高度h是( A ) A. 253 m B 25 m C. 252 m D. 503 3 m 4如图 282 22，小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60 方向上，在A处正东 400 米的B处，测得江中灯塔在北偏东30方向上，则灯塔P到沿江 大道的距离为 _2003_米 【解析】过P作PDAB于D，在 RtAPD中， PDADtan30 ，在 Rt BPD中， PDBDtan60 ， (400 BD) 3 3 BD3， BD200 米， PD3BD 2003米 图 28222
12、5某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i13，坝外斜坡的坡度i11，则 两个坡角的和为_75_xx 【解析】设两个坡角分别为、，坝内斜坡的坡度i13，即 tan 1 3 3 3 ， 30； 坝外斜坡的坡度i11，即 tan 1 11， 45， 30 45 75. 图 28223 6一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图28223 位置时，AB3 m 已知木箱高 BE3 m，斜面坡角为30，求木箱端点E距地面AC的高度EF. 解：连结AE，在 RtABE中，已知AB3，BE3， AEAB 2 BE 22 3 又 tan EAB BE AB 3 3 ， EAB30 在 RtAEF中，EAFE
13、ABBAC60， EFAE sin EAF23 sin60 23 3 2 3 答：木箱端点E距地面AC的高度是 3 m. 图 28224 7某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l( 如图 28224) 救生员甲在A处的 瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号他立即沿AB方向径直 前往救援， 同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C处入海，径直向B处游去 甲 在乙入海10 秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去，若CD40 米，B处在C处的北偏东 35方向，甲、乙的游泳速度都是2 米/ 秒，那么谁先到达B处？请说明理由( 参考数据： sin55 0.82 ，cos55
14、0.57 ， tan55 1.43) 【解析】在直角CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙到达B处 所 需的时间，比较二者之间的大小即可 解 ：由题意得BCD55，BDC90， tan BCD BD CD ， BDCDtan BCD40 tan55 57.2( 米) cosBCD CD BC ， BC CD cosBCD 40 cos55 70.2( 米) t甲 57.2 2 1038.6( 秒) ，t乙 70.2 2 35.1( 秒 ) t 甲t乙 答：乙先到达B处 8如图 282 25，学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角ABC30，斜坡AB长为 12 米，为方便学
15、生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比改为13(即CD与BC的长度 之比 ) ，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD. 图 28225 【解析】在 RtABC中，利用三角函数即可求得BC，AC的长，然后在RtBCD中，利用 坡比的定义求得CD的长，根据ADACCD即可求解 解：在 RtABC中，ABC30， AC 1 2AB 6，BCABcosABC12 3 2 63. 斜坡BD的坡比是13， CD 1 3BC 23，ADACCD623. 答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6 23) 米 9如图 28226，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD
16、.(i CEED，单位： m) 图 28226 【解析】作BFAD于点F，在 RtABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在 RtCED中， 利用坡比的定义即可求得ED的长，进而即可求得AD的长 解：如图所示，过点B作BFAD于点F，可得矩形BCEF， EFBC4，BFCE4. 在 RtABF中，AFB90，AB5，BF4， 由勾股定理可得AFAB 2BF2 5 2423. 又在 RtCED中，i CE ED 1 2， ED2CE24 8. ADAFFEED34815(m) 图 28227 10如图 28227，C岛位于我国南海A港口北偏东60方向， 距A港口 602海里处 我 海监船从A港口出发， 自西向东航行至B处时， 接上级命令赶赴C岛执行任务， 此时C岛在 B处北偏西45的方向上，海监船立刻改变航向以每小时60 海里的速
