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1、1,第九章 应力和应变分析和强度理论,2,二 主平面和主应力 主平面:单元体上无剪应力作用的方向面. 主应力:主平面上的正应力. 约定 1 2 3 主方向:主平面外法线方向. 或平行于主应力的方向.,三 应力状态分类 按主应力不为零个数划分为: 简单应力状态:单向应力状态1个主应力不为零. 复杂应力状态:二向应力状态2个主应力不为零. 三向应力状态3个主应力不为零.,3,9-1 应力状态概念 一 一点的应力状态 1 一点的应力状态概念 点的概念:指明是哪点的应力. 面的概念:过一点哪个方向面 上的的应力. 一点的应力状态:一个点各个 方向面上的应力情况.,2 一点的应力状态的表示方法 (1)空
2、间应力状态:9个分量6个独立. (2)平面应力状态:4个分量3个独立. (3)单向应力状态:1个分量.,第九章 应力和应变分析 强度理论,4,9-2 二向和三向应力状态实例,圆形薄壁容器(tD/20) 其内压为p,筒底总压力,为二向应力状态 = 1 = 2,5,9-3 二向应力状态分析解析法 1 斜截面上的应力,N =0 dA+xy dAcossin -xdAcoscos +yx dAsincos - y dAsin sin=0,T=0 dA-xy dAcoscos -xdAcossin +yx dAsin sin +y dAsin cos =0,xy = yx,6,2 主平面和主应力,直接判
3、定法: 把单元体对称分 为四个象限,剪应力箭头所指 交线象限内的主方位角对应的 主应力为极大值,另一个为极 小值.,取主方位角 0和0 +/2 代入斜截面公式,求得主应力,令,主方位角和主应力的对应关系 的判定方法直接判定法,7,3 极大极小剪应力及其所在平面,4 讨论 (1),(2),(3) 1，2+ 2，3 = x+ y = + +/2,取极大极小剪应力所在平面方位角 1和1+/2 代入斜截面公式,求得极大极小剪应力,和,令,8,9.4 二向应力状态分析图解法 1 应力圆(莫尔圆),(3) ,(2)二式平方,称为应力圆方程,也称为莫尔圆.其中,为变量.,相加得,(1),(2),(3),9,
4、2 应力圆的画法,所在位置D 按比例量取OA=x,AD=xy,确定D点.,(2) 确定y平面及其应力大小所在位置D 按比例量取OB=y,BD=yx,确定D 点.,(3) 确定圆心位置,画应力圆 连接DD交轴于C,以为CD半径画 应力圆.,D(xxy),D(yyx),C,A,B,O,E(),F,圆心座标,半径,1,2,10,已知: x=80MPa, y=-40MPa, xy=-60MPa,yx=60MPa. 求:(1) 画出单元体;(2)主应力; (3)主方向.,解:(1)画出单元体,(2)解析法,0 = 22.50或者 112.50, 主单元体图示,(3)图解法 作应力圆图示 量得1=105M
5、Pa, 3 = -65MPa, 0 = 22.50或者 112.50,11,9.5 三向应力状态 一 应力圆方程,设斜面法线n的三个方向余弦为l,m,n 且 l2 + m2 + n2 =1 (1),X=0, pxdA -1ldA = 0 Y=0, pydA 2mdA = 0 Z=0, pzdA 3ndA = 0,px = 1l py = 2 m pz = 3 n,又有 p = n2 + n 2,n = pxl + pym + pzn= 1l 2+ 2m2 +3 n2 (2),n2 = p2-n2=12l 2+2 2m2 3 2n2-n2 (3),总应力,p,12,9.5 三向应力状态 一 应力
6、圆方程,应力圆方程,13,二 应力圆,1 三个圆周交于一点,交点座标就是斜截面上的应力.,2 三个应力圆的区域 (1)l2(1-2)(1-3)0 第一个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(绿色).,(2)m2(2-3)(2-1)0 第二个应力圆方程半径小于和它同心的圆周(黄色).,(3) n2(3-1)(3-2)0 第三个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(粉红色).,三个圆周围成的区域中任一点D表示任意斜截面上的应力.,3 最大最小正应力 max= 1 min= 3,4 主剪应力,14,9.6平面应变状态分析 一 平面应变状态分析,在xoy座标下应变为x y xy 旋转角度 在xoy座标下应变为
7、,15,9.6平面应变状态分析 一 平面应变状态分析,比较转轴公式,比较斜截面应力公式,三套公式类似,在xoy座标下应变为x y xy 旋转角度 在xoy座标下应变为,16,二 主应变和主应变方向 主应变,三 应变的实测 实测中xy不易测定,可先测定 三个选定方向的线应变计算,联立解出x y xy,实测中常用的有 直角应变花和等应变花,17,9.7 广义胡克定律 1 广义胡克定律,角度改变剪应变,以上六式称为广义胡克定律,棱边改变线应变,18,其中,19,4 体积应变,变形前体积 V=dxdydz,变形后体积 V1=(1+1)(1+2)(1+3)dxdydz =(1+1+2+3)dxdydz,
8、单位体积改变,称为体积应变,令,-体积弹性模量,-平均应力,20,简单应力状态比能,三向应力状态比能,体积改变比能,9.8 复杂应力状态的变形比能,形状改变比能,21,例 导出各向同性线性材料常数E, G,之间的关系. 解: 纯剪切时 1= 2=0 3=- 变形比能,三向应力状态比能,两式相等,(1),(2),22,7.10 强度理论概述,一 材料的破坏形式,(1) 塑性屈服,(2) 脆性断裂,二 应力状态对材料破坏形的影响,(1) 拉伸带切口的低碳钢,发生脆性断裂的原因:切口尖端材料处于三向拉应力状态.,(2)压缩加围压的大理石,发生塑性屈服的原因:材料处于三向压应力状态.,应力状态的改变会
9、影响会影响同一种材料的破坏形式.,如:拉伸低碳钢,压缩铸铁.,如:拉伸铸铁,扭转铸铁.,23,极限应力u和u是直接由实验测得,而建立的强度条件. 不考虑材料破坏的原因.,2 复杂应力条件下的强度条件 (1) 提出假说 例如:常用的四个强度理论就基于如下假说 a 材料的某一破坏是由某一特定因素引起的. b 无论是简单应力状态还是复杂应力状态下,某种类型的破坏 是由同一因素引起的.于是可以用简单应力状态下的结果建 立复杂应力状态下的强度条件.,(2) 建立强度准则,(3) 实践检验,三 强度条件的建立 1 简单应力条件下的强度条件,24,9.9 常用的四个强度理论,实用范围:脆性材料,如铸铁,陶瓷
10、,工具钢等.,实用范围:脆性材料,如合金,铸铁,石料等. 脆性材料在二向压缩和二向拉伸情况下此理论误差较大.,1 最大拉应力理论(第一强度理论) 引起材料破坏的主要原因: max= b= u,强度条件,2 最大伸长线应变理论(第二强度理论) 引起材料破坏的主要原因: max= 1= u,简单应力状态下,复杂应力状态下,强度条件,25,实用范围:塑性A3材料,如A3,45钢,銅,铝等.,实用范围:塑性A3材料,如A3,45钢,銅,铝等.,引起材料破坏的主要原因:,简单应力状态下,复杂应力状态下,强度条件,3 最大剪应力理论(第三强度理论),4 形状改变比能理论(第四强度理论) 引起材料破坏的主要原因:,简单应力状态下 1 =s 2 =0 3=0,复杂应力状态下,强度条件,26,5 相当应力,其中 i = 1、 2 、 3 、 4,27,试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件,并寻求许用剪应力 与许用拉应力之间的关系.,解:纯剪切实为二向拉压应力状态:1= 2=0 3=-,脆性材料,第一强度理论 1= ,第二强度理论 1-(2+ 3) ,取=0.25, =(0.8-1.0),第三强度理论 1- 3 + = 2 , =0.5 ,第四强度理论, 0.6 = 0.6, =(0.5-0.6),塑性材料,+ =(1+) ,
