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1、美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 2019 级高三毕业班第三次诊断性考试 数学试题 (理科) （本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两 部分，全卷满分150 分，答题时间120 分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5 毫米的 黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正 确。 2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位 置上；非选择题用0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的 对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 3.考试结束后，将答题卡收回。 第卷（选择题， 50 分） 一、选择题： (本大题共 10
2、个小题 ,每小题 5 分,共 50 分.)在 每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1、已知 i 是虚数单位 ,则(2+i)(3+i)= A. 5-5i B. 7-5i C. 5+5i D. 7+5i 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 2、 已知实数集 R， 集合 A= x|x0 x2或 ， 集合 B= 1-xy|y ， 则 BA)(CR A.x|1x2 B.x|1x2 C.x|1x0，0， 00)的最小正 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 周期为. (I)求函数 )(xf 图象的对称中心； ()在ABC 中，内角 A、B、 C 的对边长分别为a、b、c，若 A
3、BC 为锐角三角形且 0)(Af ，求 b c 的取值范围 18、 （本题满分 12 分） 某校从参加某次数学能力测试的学生中抽出36 名学 生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120 分） ，成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间 是： )90,80 ， )100,90 ， )110,100 ， 120,110 （）在这36 名学生中随机抽取3 名学生，求同时满 足下列两个条件的概率： 有且仅有 1 名学生成绩不低于110 分；成绩在 )100,90 内 至多 1 名学生； （）在成绩是 )100,80 内的学生中随机选取3 名学生进 行诊断问卷，设成绩在 )100,90
4、内人数为随机变量 X ，求 X 的 分布列及数学期望 )(XE . 19、 （本题满分 12 分） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 圆 O上两点 C，D 在直径 AB 的两侧 (如图甲 ), 沿直径 AB 将圆 O折起形成一个二面角 (如图乙 ), 若 DOB 的平分线交 弧于点 G，交弦 BD 于点 E,F为线段 BC 的中点 . （）证明 :平面 OGF 平面 CAD; （）若二面角 C-AB-D 为 直 二 面 角 ， 且AB=2 ， CAB= 45 ,DAB = 60 ，求直线 FG 与平面 BCD 所成角 的正弦值 . 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 20、 （本
5、题满分 13 分） 设椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)，其离心率为 3 2 ，且椭 圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为 42 3 . ()求椭圆 C 的方程； （）设曲线 C 的上、下顶点分别为A、B，点 P 在曲线 C 上，且异于点A、B，直线 AP，BP与直线 :l y= 2分别交于 点 M，N (1)设直线 AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证： k1k2为定 值； (2)求线段 MN 长的最小值 21、 （本题满分 14 分） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 已知函数 )(1)(,2)( 2 Raaxxgaxexf x . ( )设函数 )()
6、()(xfxgxh ,其导函数为 / ( )hx ，若 / ( )hx 在 ), 0 上具有单调性，求 a 的取值范围； ()在()的条件下，求证： )( 4 1 ) 1 () 3 1 () 2 1 () 1( * Nnn n ffff . 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 数学试题 (理科) 参考答案 一、选择题： (本大题共 10 个小题 ,每小题 5 分,共 50 分.)在 每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 C D A B D C B D C C 二、填空题（每题5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸
7、上） 11、2 12、15 13、9 14、 3 15、 3 1 0a . 三、解答题：(本大题共 6 个小题 ,75 分)解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16、 （本题满分 12 分） 解:()设数列 由题意得首项的公差为, 1 adan 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 且 94 1563 9 15 1 1 5 432 da da a aaa 即 解得 2 1 1 d a 所以数列 12naa nn 的通项公式为 6 分 ()由()可得 n n n a b3 2 3 1 所以 n n n nb a 3. 2 1 所以 32 3 .33.23.1 1 n S 1 3. n
8、 n 两式相减得 43 3333(2 2 nS 1 3 .)3 nn n 10 分 4 3).12(3 2 3.123 3. 31 313 1 1 1 n n n n n n S nn n 即 ）（）（ 12 分 17、 （本题满分 12 分） 解: (1)由条件得 12cos2) 3 2cos(2)(xxxf 1) 6 2sin(212cos2sin3xxx 3 分 由 )( 6 2Zkkx解得 212 k x 故所求对称中心为 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 ) 1 , 212 ( k )(Zk 6 分 （2）由 01) 6 2sin(2)(AAf 解得 3 A ， 3 2 CB
9、 ，所以 2 1 tan2 3 sin ) 3 2 sin( sin sin CC C C B c b 又 ABC为锐角三角形，故 26 C 所以 2 2 1 tan2 3 2 1 Cc b ， 即 c b 的取值 范围是 )2, 2 1 (12 分 18（本题满分12 分） 19、 （本题满分 12 分） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 解析： ()OF 为 ABC 的一条中位线OF AC 又 OF? 平面 ACD,AC ? 平面 ACD OF 平面 ACD （2 分） 又OG为DOB 的平分线 OG BD 又可知 ADBD OGAD （4 分） 又 OG? 平面 ACD,AD ?
10、 平面 ACD OG平面 ACD（5 分） 又OG,OF 为平面 OGF内的两条相交直线 平面OGF平面 CAD（6 分） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 （）二面角C-AB-D为直二面角，即平面CAB 平面 DAB 由已知得 O为 Rt ABC斜边 AB 的中点， COAB 则 CO平面 DAB 又Rt DAB 中，AB = 2, DAB = 60 AD=1,又OGAD，OG= 1,OA = 1 ADGO 为菱形， AOG= 120 设 DG 中点为 M,则 AOM = 90 ,即 OM OB 直线 OM,OB,OC 两两垂直，故可如图建立空间直角坐 标系（8 分） 则 B为(0,
11、1,0) C 为(0,0,1) D 为（ 3 2 ，- 1 2 ,0） G 为 （ 3 2 ， 1 2 ,0） F为 （0， 1 2， 1 2） （9 分） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 FG ? = （ 3 2 ， 0,- 1 2 ） 为 直 线FG 的 一 个 方 向 向 量（10 分） 设n ? = (x,y,z)为平面 BCD的一个法向量 则n ? ?BC ? ? ? ? ? = 0, n ? ?BD? = 0 又BC ? ? ? ? ? = (0 ， - 1,1) BD? = （ 3 2 ， - 3 2 ,0） -y+ z = 0 3 2 x - 3 2 y = 0 令
12、y=1,则n ? = ( 3, 1,1) （11 分） cos = FG? ? n ? |FG ? ? ? |.| n ? | = 5 5 则 直 线FG与 平 面BCD所 成 角 的 正 弦 值 为 5 5 （12 分） 20、 （本题满分 13 分） 解：()C的方程为： 2 2 1 4 x y 4 分 () (1)由题意， A(0,1)，B(0，1)，令 P(x0，y0)，则 x00， 直线 AP 的斜率 k1 y01 x0 ，BP的斜率 k2 y01 x0 . 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 又点 P 在椭圆上， x 2 0 4y 2 01(x00)， 从而有 k1k2 y
13、2 01 x 2 0 1 x 2 0 4 1 x 2 0 1 4. 即k1k2为定 值 7 分 (2)由题设可以得到直线AP 的方程为 y1k1(x0)， 直线 BP的方程为 y(1)k2(x0)， 由 y1k1x， y2 得 x 3 k1， y2， 由 y1k2x， y2 得 x 1 k2， y2， 直线 AP 与直线 l 的交点 M 3 k1， 2 ， 直线 BP与直线 l 的交点 N 1 k2， 2 . 又 k1k2 1 4， 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 |MN| 3 k1 1 k2 3 k14k 1 3 k1 |4k1| 2 3 k1 |4k1|43， 当且仅当 3 k1
14、 |4k1|，即 k1 3 2 时等号成立， 故线段MN长的最小值是 43. 13 分 21、 （本题满分 14 分） 解： () 12)()()( 2x eaxaxxfxgxh ， aeaxxh x 22)( ， 设 aeaxxhxm x 22)()( ， 则 x eaxm2)( ， 2 分 （ 1）若 02)( x eaxm 在 ),0 上恒成立，则 x ea2 ，故 2 1 a ； （ 2）若 02)( x eaxm 在 ),0 上恒成立，则 x ea2 ， 此时， ), 1 x e ，故不存在 a使 x ea2 恒成 立 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 综上所述， a 的范围
15、是： 2 1 -，（ 6 分 ()由()知当 2 1 a 时， 1 2 1 )( 2x exxxh ， 0)0()(1)( hxhexxh x ， ， ), 0)(在xh 上为减函数， 所以 0)0()(hxh ， 即 01 2 1 2 xex x ， 所以 1 2 1 )(, 1 2 1 22 xxfxxe x 即 ， 依次令 n x 1 , 3 1 , 2 1 , 1 得： , 1) 1 ( 2 1 ) 1 (, 1) 3 1 ( 2 1 ) 3 1 (, 1) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 (, 11 2 1 )1 ( 2222 nn ffff 累加得： 4 1 ) n 1 -1 2 1 1 1 - n 1 4 1 - 3 1 3 1 - 2 1 2 1 -1 2 1 ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 2 1 ) 1 3 1 2 1 1 ( 2 1 ) 1 () 3 1 () 2 1 ()1( 222 2 n n n n n nn n n n ffff （ ）（）（）（）（ 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 故 )( 4 1 ) 1 () 3 1 () 2 1 () 1( * Nnn n ffff .14 分
