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1、美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 2019 年高考模拟考试 数学试卷（文科） 考生注意： 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在 答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答 一律无效； 2答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填 写清楚，并贴好条形码； 3本试卷共 23 道试题，满分150 分；考试时间120 分钟 一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题，考生应在答题卷 的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4 分，否则 一律得零分 1 已知集合 1,3,21Am ， 集合 2 3,Bm 若 BA， 则实数m 2计算： 1 3
2、1 lim 32 n nn n 3函数 3 ( )1f xx 的反函数 1 ( )fx 4函数 2 ( )(sincos )f xxx 的最小正周期为 5直线 210 xy 与直线 1y 的夹角大小为（结果用反三角函 数值表示） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 6已知菱形 ABCD ，若 | 1AB uuu r ， 3 A ，则向量 AC uuu r 在 AB uuu r 上的投影 为 7已知一个凸多面体的平面展开图由两个正 六边形和六个正方形构成，如右图所示， 若该凸多面体所有棱长均为 1，则其体积 V 8已知函数 32 ( )lg(1)f xxxx ，若 ( )f x 的定义域中
3、的 a 、 b满足 ()()3( )( )3fafbf af b ，则 ( )( )f af b 9数列 n a 中，若 1 3a ， 1nn aa （ * nN ） ，则数列 n a 的通项公式 n a 10在代数式 5 2 2 1 (425) 1xx x 的展开式中，常数等于 11若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为 5， 最大值为15， 则该椭圆的短轴长为 12满足约束条件 | 2|2xy 的目标函数 zyx 的最大值是 13有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各 3个，在每种颜色 的 3个小球上分别标上号码1、2和3，现任取出3个，它们的颜 色与号码均不相同的概率是（结果用最简分数
4、表示） 14 正 整 数 a 、 b 满 足 1ab ， 若 关 于 x 、 y 的 方 程 组 第 7 题 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 24033, |1| yx yxxaxb 有且只有一组解，则 a 的最大值为 二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有 一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案 的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分 15已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为 1111 :0la xb yc ， 2222 :0la xb yc ，那么“ 11 22 0 ab ab ”是“两直线 1 l 、 2 l 平行”的 答 ( ) A
5、充分非必要条件B必要非充分条 件 C充要条件D 既非充分又非 必要条件 16若 12i （ i 为虚数单位）是关于 x 的实系数方程 2 0 xbxc 的一 个复数根，则 答 ( ) A 2b ， 3c B 2b ， 5c C 2b ， 3c D 2b ， 5c 17若 ABC 的三条边 a ， b，c 满足 () () ()7 9 10abbcca ，则 ABC 答 ( ) 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 18已知全集 ( , ) |,Ux yxyRR ，集合 SU ，若 S中的点在
6、直角坐 标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线 yx 均对称，且 (2,3)S ，则 S中的元素个数至少有 答 ( ) A 4个 B 6个 C 8 个 D 10个 三、解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题 必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤 19 （本题满分12 分） 如图，小凳凳面为圆形， 凳脚为三根细钢管 考 虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根 细钢管相交处的节点 P 与凳面圆形的圆心 O 的连线 垂直于凳面和地面，且 P分细钢管上下两段的比值 为 0.618， 三只凳脚与地面所成的角均为60 若 A、B、 C 是凳面圆周的三等分点， 18AB
7、 厘米，求凳子的高度 h及三根细 钢管的总长度（精确到 0.01） AB C P O 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 20 （本题满分13 分）本题共有2 个小题，第 1 小题满分 6 分， 第 2 小题满分 7 分 已知函数 ( )sincosf xaxbx ，其中 a 、 b为非零实常数 （1）若 2 4 f ， ( )f x 的最大值为 10 ，求 a 、 b的值 （2）若 1a ， 6 x 是 ( )f x 图像的一条对称轴，求 0 x 的值，使其满 足 0 ()3f x ，且 0 0,2 x 21 （本题满分13 分）本题共有2 个小题，第 1 小题满分 6 分， 第 2
8、小题满分 7 分 已知函数 2 ( ) 1 xx f xa x ，其中 1a （1）证明：函数 ( )f x 在 ( 1,) 上为增函数 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 （2）证明：不存在负实数 0 x 使得 0 ()0f x 22 （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第 1 小题满分 4 分， 第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 对于双曲线 ( , )a b C ： 22 22 1 xy ab （ ,0a b ） ，若点 00 (,)P xy 满足 22 00 22 1 xy ab ， 则称 P在 ( , )a b C 的外部；若点 00 (,)P xy 满足
9、22 00 22 1 xy ab ，则称 P 在 ( , )a b C 的内 部 （1）证明：直线 310 xy 上的点都在 (1,1) C 的外部 （2） 若点 M 的坐标为 (0, 1)， 点 N 在 (1,1) C 的内部或 (1,1) C 上， 求 |MN uuu u r 的最小值 （3）若 ( , )a b C 过点 (2,1) ，圆 222 xyr （ 0r ）在 ( , )a b C 内部及 ( , )a b C 上 的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求 b、r 满足的关系式及 r 的取值范围 23 （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第 1 小题满分 4 分， 美好的未来
10、不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 已知数列 n a 的通项公式为 12 ()() n anknk ， 其中 * nN ，1 k 、 2 kZ （1）试写出一组 1 k 、 2 k 的值，使得数列 n a 中的各项均为正数 （2）若 1 1k ， * 2 kN ，数列 n b 满足 n n a b n ，且对任意的 * mN （ 3m ） ，均有 3m bb ，写出所有满足条件的 2 k 的值 （3）若 12 0kk ，数列 n c 满足 | nnn caa ，其前 n项和为n S ，且 使 0 ij cc （ i 、 * jN ， ij ）的
11、i 和 j 有且仅有 4组， 1 S 、 2 S 、 n S 中 有至少 3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求 1 k 、 2 k 的最 小值 数学试卷（文理）参考答案 一、填空题 (本大题满分 56 分) 1 1 2 1 3 3 3 (1)x ， xR 4 5 2 5 arccos 5 6 3 2 7 3 3 2 8 3 9 （理） 15（文） 1 2 3 n 10 （理） 10 3 （文） 15 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 11 （理） 1 14 （文） 10 3 12 （理） 1 6 （文） 2 13 （理） 2016（文） 1 14 14 （理） 128 （文） 2
12、016 二、选择题 (本大题满分 20 分) 15B 16D 17C 18C 三、解答题 (本大题满分 74 分) 19(本题满分 12 分) 解 联结 PO ，AO，由题意， PO 平面 ABC ，因为凳面与地面平行， 所以 PAO 就是 PA与平面ABC 所成的角，即 60PAO （2 分） 在等边三角形 ABC 中， 18AB ，得 6 3AO ， （4 分） 在直角三角形 PAO 中， 318OPAO ， （6 分） 由 0.618 OP hOP ，解得 47.13h 厘米 （9 分） 三根细钢管的总长度 3 163.25 sin60 h 厘米 （12 分） 20(本题满分 13 分)
13、本题共有 2 个小题，第1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 7 分 解（1）因为 22 ( )sincossin()f xaxbxabx （其中 22 sin b ab ， 22 cos a ab ） ， 所以 ( )f x 的最大值为 22 ab 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 由 22 10ab ， （2 分） 及 22 2 422 fab ， （4 分） 解得 1a ， 3b 或 3a ， 1b （6 分） （2）易知，当 6 x 时，取得最大值 2 1b 或最小值 2 1b ， 于是 213 1 622 fbb ，解得 3b （8 分） 于是 ( )sin3cos2sin
14、() 3 f xxxx ， （10 分） 当 ( )3f x 时，解得 2xk 或 2 3 xk （ kZ ） （12 分） 因为 0 0,2x ，故所求 0 x 的值为 0，3 ， 2 （13 分） 21(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题，第1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 7 分 证明（1）任取 12 1xx ， 12 12 12 12 22 ()() 11 xx xx f xf xaa xx 1212 1212 1212 223() ()() 11(1)(1) xxxxxxxx aaaa xxxx （3 分） 因为 12 1xx ， 1a ，所以 12 xx aa ， 1
15、10 x ， 2 10 x ， 12 0 xx ， 于是 12 0 xx aa ， 12 12 3() 0 (1)(1) xx xx ，得 12 ()()0f xf x ，即 12 ()()f xf x 因此，函数 ( )f x 在 ( 1,) 上为增函数（6 分） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 （2） （反证法）若存在负实数 0 x （ 0 1x ） ，使得 0 ()0f x ，即方程 2 0 1 xx a x 有负实数根（8 分） 对于 2 1 xx a x ，当 0 0 x 且 0 1x 时，因为 1a ，所以 0 11 0,1 x a aa U ， （10 分） 而 0 0
16、0 23 1(, 1)(2,) 11 x xx U （13 分） 因此，不存在负实数 0 x 使得 2 1 x x a x ，得证 22(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 （理） 解（1） 1 1k 、 2 2k （答案不唯一） （4 分） （2）由题设， 2 2 (1) n n ak bnk nn （6 分） 当 2 1k ， 2时， 2 ( ) k f nn n 均单调递增，不合题意，因此， 2 3k 当 2 3k 时，对于 2 ( ) k f nn n ，当 2 nk 时， ( )f n 单调递减；当 2 nk 时， ( )f n 单调递增 由题设，有 123 bbb ， 34 bbL （8 分） 于是由 23 bb 及 43 bb ，可解得 2 612k 因此， 2 k 的值为 7，8，9，10，11 （10 分） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 （3） 2
