《新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理1.3.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理1.3.2（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、个帅哥帅哥的 ffff 二位分为Greg 1.3.2“ 杨辉三角 ” 与二项式系数的性质 课时过关能力提升 基础巩固 1.已知 (a+b ) n 展开式中只有第5 项的二项式系数最大,则 n 等于 () A.11 B.10 C.9 D.8 解析 :只有第 5 项的二项式系数最大, +1= 5.n=8. 答案 :D 2.(a+b) n 二项展开式中与第(r-1)项系数相等的项是() A.第 (n-r)项B.第(n-r+ 1)项 C.第 (n-r+ 2)项D.第(n-r+ 3)项 解析 :因为第 (r-1)项的系数为 - ,所以第 (n-r+ 3)项与第 (r- 1)项的系数相等. 答案 :D 3
2、.若 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为() A.10 B.20 C.30 D.120 解析 :由 2n=64,得 n=6,则 Tk+1= x 6-k x 6-2k(0k 6,kN).由 6-2k=0,得 k=3.则 T 4= 20. 答案 :B 4.若(x+3y) n 的展开式的系数和等于(7a+b ) 10 展开式中的二项式系数之和,则 n 的值为 () A.5 B.8 C.10 D.15 个帅哥帅哥的 ffff 二位分为Greg 解析 :(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令 x= 1,y= 1,则由题意知 ,4n=210,解得 n=5. 答案 :A 5.若-
3、 的二项式系数之和为128,则展开式中含的项是 () AB - CD - 解析 :由-的二项式系数之和为128可得 2n=128,n= 7.其通项 Tk+ 1= (3x) 7-k -=(- 1) k 3 7-k- ,令 7-=- 3,解得 k=6,此时 T7= 答案 :C 6.已知+ 2+ 2 2 + +2 n = 729,则 的值等于 () A.64 B.32 C.63 D.31 解析 :由已知 (1+ 2)n=3n= 729,解得 n=6.则 =32. 答案 :B 7.如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第 n 行的首尾两个数均为. 解析 :由于每行第1 个数 1,3,5,7,9成等差数列,
4、由等差数列的知识可知,an=2n-1. 答案 :2n-1 8.设(2x-3) 10=a 0+a1(x-1)+a2(x-1) 2+a 10(x-1) 10,则 a 0+a1+a2+a3+ +a10=. 解析 :令 x=2,则(2 2-3)10=a0+a1+a2+a10,所以 a0+a1+ +a10=1. 答案 :1 9.如图 ,在杨辉三角中 ,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列an, 则数列的第10 项 为. 个帅哥帅哥的 ffff 二位分为Greg 解析 :由题图可知a1=1,a2=1,a3=2,a4=3, ,从第三项开始每一项为前两项之 和,a10=a9+a8=2a8+a7=3a7+
5、2a6=5a6+3a5= 8a5+ 5a4= 13a4+8a3=21a3+ 13a2=42+ 13= 55. 答案 :55 10.已知 (2x-1) 5=a 0 x 5 +a1x 4 +a2x 3+a 3x 2+a 4x+a5. (1)求 a0+a1+a2+a3+a4+a5; (2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|; (3)求 a1+a3+a5. 解 :(1)令 x=1,得(2 1-1) 5=a 0+a1+a2+a3+a4+a5,a0+a1+a2+a3+a4+a5=1. (2)(2x-1) 5的展开式中偶数项的系数为负值 , |a0|+|a 1|+|a2|+|a3|
6、+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5. 令 x=- 1,得2 (-1)-1 5=-a 0+a1-a2+a3-a4+a5,即 a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3) 5= 35. 则|a0|+|a 1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|= 3 5= 243. (3)由两式联立 ,得 则 a1+a3+a5=(1-243)=- 121. 11.若(2x-3y) 10=a 0 x 10+a 1x 9y+a 2x 8y2+ +a 10y 10,求: (1)各项系数之和; (2)奇数项系数的和与偶数项系数的和. 个帅哥帅哥的 ffff 二位分为Greg 解 :(1)各项系
7、数之和即为a0+a1+a2+ +a10,可用 “ 赋值法 ” 求解 .令 x=y= 1,得 a0+a1+a2+a10= (2- 3) 10= (-1)10=1. (2)奇数项系数的和为a0+a2+a4+ +a10,偶数项系数的和为a1+a3+a5+ +a9. 由(1)知 a0+a1+a2+a10= 1, 令 x=1,y=- 1,得 a0-a1+a 2-a3+a10=5 10, +得,2(a0+a2+ +a10)=1+5 10,则奇数项系数的和为 ; -得,2(a1+a3+a9)= 1-5 10,则偶数项系数的和为- 能力提升 1.已知 (1+x ) n 的展开式中第4 项与第 8 项的二项式系
8、数相等,则奇数项的二项式系数和为() A.2 12 B.2 11 C.2 10 D.2 9 解析 :由条件知 ,n=10. (1+x) 10 中二项式系数和为2 10,其中奇数项的二项式系数和为 2 10-1 =2 9. 答案 :D 2.(1+x) n(3-x)的展开式中各项系数的和为 1 024,则 n 的值为 () A.8 B.9 C.10 D.11 解析 :由题意知 (1+1)n(3-1)=1 024, 即 2n+1= 1 024,故 n=9. 答案 :B 3.若(1-2x) 2 016=a 0+a1x+ +a2 016x 2 016(xR),则 + 的值为 () A.2 B.0 C.-
9、1 D.-2 解析 :令 x=0,则 a0=1,令 x= ,则 a0+ + += 0,故+=- 1. 个帅哥帅哥的 ffff 二位分为Greg 答案 :C 4.(x+1) 9 按 x 的升幂排列二项式系数最大的项是() A.第 4 项和第 5 项B.第 5 项 C.第 5 项和第 6 项D.第 6 项 解析 :展开式中共有10 项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第 5 项 和第 6 项的二项式系数最大. 答案 :C 5.在(a-b) 10的二项展开式中 ,系数最小的项是. 解析 :在(a-b) 10 的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数
10、的绝对值为对应 的二项式系数 ,因为展开式中第6 项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T6= a 5(-b)5=- 252a5b5. 答案 :-252a5b5 6.设(x-1) 21=a 0+a1x+a2x 2+a 21x 21,则 a 10+a11=. 解析 :(x-1)21的展开式的通项为Tk+1= x 21-k(-1)k,a 10+a11=(-1) 11+ (-1) 10=- =- =0. 答案 :0 7.如图数表满足:(1)第 n 行首尾两数均为n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第 n(n2)行的第 2 个 数是. 解析 :由题图可知 ,第 n(n2)行的第 2 个数是第 (n
11、-1)行第 1 个数跟第2 个数的和 ,即 a2=2,a3=a2+2=2+ 2=4,a4=a3+3= 4+3= 7, .则 an=2+2+ 3+4+ 5+ +n- 1= 1+ - - 答案 : - 8.若(2x+) 4=a 0+a1x+ +a4x 4,则(a 0+a2+a4) 2-(a 1+a3) 2 的值为. 个帅哥帅哥的 ffff 二位分为Greg 解析 :令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4=(2+ ) 4,令 x=- 1,得 a 0-a1+a2-a3+a4= (-2+) 4,(a 0+a2+a4) 2- (a1+a3) 2= (a 0+a1+a2+a3+a4) (a0-a1+a
12、2-a3+a4)= (2+) 4(-2+ ) 4= 1. 答案 :1 9.已知 ( + 3x 2)n的展开式中各项系数和比它的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 解 :令 x=1 得展开式各项系数和为(1+ 3)n= 4n. 展开式二项式系数和为 + += 2 n, 由题意有 4 n-2n =992. 即(2n)2-2n-992= 0,(2 n-32)(2n+31)= 0, 解得 n=5. (1)因为 n=5,所以展开式共6 项,其中二项式系数最大的项为第3 项、第 4 项, 它们是 T3= ) 3 (3x2)2 =90 x 6, T
13、4=) 2(3x2)3=270 (2)设展开式中第k+1 项的系数最大 . 由 Tk+1= ) 5-k (3x2)k= 3 k , 得 - - - - k 因为 kZ,所以 k= 4,所以展开式中第5 项系数最大 .T5= 3 4 = 405 个帅哥帅哥的 ffff 二位分为Greg 10.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的 许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11 阶杨辉三角 : (1)求第 20 行中从左到右的第4 个数 ; (2)在第 2 斜列中 ,前 5 个数依次为1,3,6,10,15;第 3 斜列中 ,第 5 个数为 35.显然 ,1+ 3+6+ 10+15=35.事 实上 ,一般有这样的结论:第 m 斜列中 (从右上到左下)前 k 个数之和 ,一定等于第m+1 斜列中第k个数 . 试用含有 m,k(m,kN *)的数字公式表示上述结论 ,并给予证明 . 解 :(1) = 1 140. (2) - - + - - - ,证明如下 :左边 = - + - - - + + - - = = - - - - =右边 .
