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1、备战 2020 高考全真模拟卷13 数学（理） （本试卷满分150 分，考试用时120 分钟） 第 I 卷（选择题 ) 一、单选题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1已知集合 2 |2Ax x，|0Bx x，则ABI（） A |02xx B |22xx C |20 xx D |02xx 【答案】 D 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合 A，由交集定义求得结果 . 【详解】 2 222Ax xxxQ02ABxx 故选： D 【点睛】 本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题. 2已知复数
2、 z 满足 (1) i zi(其中 i为虚数单位 )，则 z （） A 1 2 B 2 2 C1D 2 【答案】 B 【解析】 【分析】 将复数化简为 11 22 zi，再求模长即可. 【详解】 1i z =i，则 1 111 111222 ii ii zi iii ， 22 112 222 z . 故选B 【点睛】 本题主要考查了复数运算，同时考查了复数的模长公式，属于简单题. 3已知向量 2,0a r ,向量 1,3b r ,向量 c r 满足 3cab rrr ,则 c r 的最大值为 ( ) A 2 3 3 B 2 3 C 3 D 3 3 【答案】 D 【解析】 【分析】 设,cx y
3、 r ,2,0a r ,1,3b r ,则3,3cabxy rrr ,即可求得 2 2 333xy ,将 c r 的 起点放到坐标原点,则终点在以 3, 3 为圆心 ,半径3的圆上 ,即可求得 c r 的最大值 . 【详解】 Q 设,cx y r ,2,0a r ,1,3b r 3,3cabxy rrr 故 2 2 333cabxy rrr , 即 2 2 333xy Q将 c r 的起点放到坐标原点 ,则终点在以3, 3 为圆心,半径 3的圆上 . c r 的最大值即 :圆心到原点的距离+半径 ,即9333 3, 故选 :D. 【点睛】 本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,
4、考查了分析能力和计算能力,属于基础题型. 4下列四个命题： 函数 fxcosxsinx的最大值为 1； “xR， 32 10 xx ” 的否定是 “ 32 0 ,10 xR xx ” ； 若ABCV为锐角三角形，则有sinAsinBsinCcosA cosBcosC； “0a” 是“ 函数 2 fxxax在区间0,内单调递增 ” 的充分必要条件 其中错误的个数是( ) A1B 2C3D4 【答案】 A 【解析】 【分析】 由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦 函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判
5、断. 【详解】 解：由 1 2 2 fxcosxsinxsin x ,得 fx的最大值为 1 2 ,故错误 ; “xR, 32 10 xx ” 的否定是 “ 32 0 ,10 xR xx”, 故正确 ; ABCQV为锐角三角形, 2 AB,则 2 AB， ysinxQ在 0, 2 上是增函数 , 2 sinAsinBcosB,同理可得 sinBcosC，sinCcosA, sinAsinBsinCcosA cosBcosC,故正确 ; 0a,函数 2 fxxax的零点是a,0,结合二次函数的对称轴, 可得函数 2 fxxax在区间0,内单调递增 ; 若函数 2 fxxax在区间0, 内单调递增
6、 ,结合二次函数的对称轴,可得0 2 a , 0a, “0a” 是“ 函数 2 fxxax在区间0,内单调递增 ” 的充分必要条件,故正确 其中错误的个数是1. 故选 :A. 【点睛】 本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件 的判断 ,是中档题 5已知数列 n a的通项公式为 1 1 n a n ，前 n 项和为 n S，若对任意的正整数n，不等式 2 - 16 nn m SS恒 成立，则常数m 所能取得的最大整数为（） A5B 4C3D2 【答案】 A 【解析】 【分析】 由已知条件，推导出 2 111 2321 nn SS nnn
7、,设 2nnn bSS ，推导出 1 111 0 22232 nn bb nnn ，得到 n b的最小值是 1 b，由此能求出结果. 【详解】 Q数列 n a的通项公式为 1 1 n a n ，前 n 项和为 n S， 123nn Saaaa, 212312nnnn Saaaaaa, 2122nnnnn SSaaa 111111 2341221nnn 1111 2341n 111 2321nnn 设 2nnn bSS, 则 1 11111111 342122232321 nn bb nnnnnnnn 111 0 22232nnn n b 是递增数列， n b的最小值是 1 b， 2 - 16
8、nn m SSQ恒成立， 1 16 m b， 1211212 1 3 bSSaaaa， 1 316 m ， 解得 16 3 m， m 所能取得的最大整数为5， 故选： A 【点睛】 本题主要考查了数列前n 项和公式的求法和应用，综合性强，对数学思维能力的要求较高，解题时要注意 等价转化思想的合理运用，属于难题 6已知函数( )sinf xx的图象与直线0(0)kxykk恰有三个公共点，这三为点的横坐标从小到 大分别为 1 x ，2 x ，3 x ，则 23 13 tan()xx xx 的值为 () A 3 3 B 3 C 1 2 D 1 5 【答案】 C 【解析】 【分析】 函数( )sinf
9、 xx的图象与直线0(0)kxykk恰有三个公共点，画出图象，且在区间 5 (2,) 2 内 相切，其切点为 3 (A x， 3 sin)x，利用导数的几何意义得出 33 tanxx，从而得到结论 【详解】 函数( )sinf xx的图象关于( ,0)对称，直线0kxyk过( ,0)， 则 132 22xxx，所以 2 x。 所以函数( )sinfxx的图象与直线0(0)kxykk恰有三个公共点如图所示， 且在区间 5 (2,) 2 内相切，其切点为 3 (A x， 3 sin)x，由于 5 ( )cos ,(2,) 2 fxx x， 3 3 3 sin cos x x x ，即 33 tan
10、xx ， 2333 1333 tan()tan1 22222 xxxx xxxx 故选： C. 【点睛】 本题考查函数的对称性及导数的运用，考查数形结合思想、方程思想的综合运用，考查运算求解能力，求 解的关键是准确画出函数的图形 . 7已知函数f（x）= 2 340 20 10 xx xx x ， ， ， ，则 1 2 ff= A 1 B 2C1D3 【答案】 A 【解析】 【分析】 先求出 f（ 1 2 ）=3 2 1 ( ) 2 -4=- 13 4 ，从而 1 2 ff=f（- 13 4 ） ，由此能求出结果 【详解】 解： 函数 f（ x）= 2 340 20 10 xx xx x ，
11、， ， ， f（ 1 2 ）=3 21 ( ) 2 -4= 13 4 ， 1 2 ff=f（ 13 4 ）=-1 故选： A 【点睛】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 8已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F、 2 F，过原点的直线与双曲线 C交于A， B两点，若2 60AF B， 2 ABF的面积为 2 3a ，则双曲线的渐近线方程为（） A 1 2 yxB2yxC 3 3 yx D3yx 【答案】 D 【解析】 【分析】 连接 11 ,AFBF得四边形 21 AF BF为平行四边形；根据双曲线定义及 2
12、 ABF的面积求得 12 ,BFBF，再在 12 BF F中应用余弦定理即可求得ac、关系，进而利用双曲线中的关系求得渐近线方程。 【详解】 根据题意，连接 11 ,AFBF得四边形21AF BF为平行四边形，几何关系如下图所示： 设 2 AFx，则 12 ,2BFx BFxa 2 ABF的面积为 2 3a ， 2 60AF B，则由三角形面积公式可得 2 13 32 22 xaxa ，化简得 22 240 xaxa 解得51xa，51xa（舍） 所以 2 51BFa 在 12 BF F中， 12 2F Fc由余弦定理可得 222 121212 2cos120F FBFBFBFBF o ， 即
13、 22 2 22 2515125151cos120caaaa o 化简可得 22 4ca ，由双曲线中 222 cab 可得 22 3ba 即 3 b a 所以渐近线方程为 所以选 D 【点睛】 本题考查了双曲线的定义和性质，渐近线方程求法，余弦定理的简单应用，属于中档题。 9 22 1(1)axax 的展开式中 4 x项的系数为 -8，则 a 的值为（） A2B -2 C 2 2 D 2 2 【答案】 B 【解析】 【分析】 利用二项展开式，得到 4 x 项，即可得到a 的值 . 【详解】 解： 22 (1)(1)axax的展开式中， 4 x 项为 34 a x ， 3 82aa， 故选：
14、B. 【点睛】 本题考查二项式定理，考查计算能力，属于基础题. 10新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学 都要选择其中的两门课程 .已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙 也没有相同课程.则以下说法正确的是（） A丙没有选化学 B丁没有选化学 C乙丁可以两门课都相同D这四个人里恰有2 个人选化学 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论 【详解】 根据题意可得，甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，乙必定没选化学； 又丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同
15、课程，则丁一定没选化学； 若丙没选化学，又丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学 综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B 不正确， D 正确。 假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科。不妨 假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、 政治中选一科，这样与“ 丁与丙也没有相同课程” 矛盾，故假设不成立，因此C 不正确。 【点睛】 本题主要考查学生的逻辑推理能力。 11若点N为点 M 在平面上的正投影， 则记 NfM .如图，在棱长为1的正方体1111 ABCDA B C D 中，
16、记平面 11 ABC D为， 平面ABCD为， 点P是棱 1 CC 上一动点（与C、1 C 不重合） 1 QffP， 2 QffP.给出下列三个结论： 线段2PQ长度的取值范围是 12 , 22 ； 存在点P使得1/ PQ平面； 存在点 P使得 12PQPQ. 其中，所有正确结论的序号是（） AB CD 【答案】 D 【解析】 【分析】 以点 D为坐标原点，DA 、DC、 1 DD所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系 Dxyz， 设点P的坐标为0,1,01aa，求出点 1 Q、 2 Q 的坐标，然后利用向量法来判断出命题 的正误 . 【详解】 取 1 C D 的中点2 Q，过点 P在平面11ABC D内作1 PEC D ，再过点E在平面11 CC D D内作 1 EQCD ， 垂足为点 1 Q. 在正方体 1111 ABCDA B C D中， AD 平面 11 CC D D ，PE平面11 CC D D ， PEAD ， 又 1 PEC DQ， 1 ADC DDI，PE平面 11 ABC D，即PE，fPE， 同理可证 1 EQ，CQ，则
