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1、 2015 年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测 高三理科数学答案 一、选择题： 二、填空 题： 题号11 12 13 14 15 答案2 10 2 2 e 222 三、解答题： 16. (本小题满分12 分) 在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，面积为S，已知 223 coscos 222 CA acb （）求证：abc、 、成等差数列； （）若,4 3 3 BS，求b. 命题意图：三角函数与解三角形，简单题 解： （）由正弦定理得： 22 3 sincossincossin 222 CA ACB 即 1cos1cos3 sinsinsin 222 CA ACB2 分 s
2、insinsincoscossin3sinACACACB 即sinsinsin()3sinACACB4 分 sin()sinACB sinsin2sinACB即2acb , ,a b c成等差数列。 6 分 （） 13 sin4 3 24 SacBac16ac 8 分 又 222222 2cos( + )3bacacBacaca cac 10 分 由（）得：2acb 22 4484bbb 12 分 17. (本小题满分12 分) 为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60 人，从文科乙班抽取50 人参加环保知识测 试。 （） 根据题目条件完成下面2 2 列联表， 并据此判断是否有9
3、9%的把握认为环保知识成绩优秀与学生 的文理分类有关. 优秀人数非优秀人数总计 甲班 乙班30 总计60 （）现已知,A B C三人获得优秀的概率分别为 1 1 1 , 2 3 3 ，设随机变量X 表示,A B C三人中获得优秀的 人数，求X 的分布列及期望()E X. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B B C C D A C B D A 附: 2 2() ()()()() n adbc K abcdac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
4、命题意图： 2 2 列联表，概率，分布列及期望，中档题 解（） 2 2 列联表如下 优秀非优秀总计 甲班40 20 60 乙班20 30 50 总计60 50 110 由 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 算得， 2 2 110(40302020) 7.86.635 (4020)(2030)(4020)(2030) K， 所以有 99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关5 分 （）设,A B C成绩优秀分别记为事件,MN R， 则 11 (), ()() 23 P MP NP R5 分 随机变量X 的取值为0，1， 2，3 6 分 所以 1222
5、(0)() 2339 P xP M NR, 1221121214 (1)() 2332332339 P xP M NRMNRM NR 1121111215 (2)() 23323323318 P xP MNRMNRM NR 1111 (3)() 23318 P xP MNR10 分 所以随机变量X 的分布列为： 所以随机变量X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 2 9 4 9 5 18 1 18 E(X) =0 2 9+1 4 9+2 5 18+3 1 18 = 7 6 12 分 18. (本小题满分12 分) 如图，已知 E , F 分别是正方形ABCD 边 BC ,CD 的中点， EF
6、 与 AC 交于点 O ，,PA NC都垂直于平面ABCD ，且2P AA BN C， M 是 PA中点 （）求证：平面PAC平面 NEF ； （）求二面角MEFN 的余弦值 第 18 题图 N M O P F E D C B A 命题意图：空间点、线、面的位置关系，中档题 解：法 1： （）连结BD，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD， 又BDAC，ACPAA，BD平面PAC， 又E，F分别是BC、CD的中点，/EFBD， EF平面PAC，又EF平面NEF， 平面PAC平面NEF；5 分 （）EF平面PAC，OM平面PAC， EFOM， 在等腰三角形NEF中，点O为EF的中点，NO
7、EF， MON为所求二面角MEFN的平面角， 设 AB=4 ，点M是PA的中点，2AMNC， 所以在矩形MNCA中，可求得4 2MNAC，6NO， 22MO9 分 在MON中，由余弦定理可求得： 222 33 cos 233 MOONMN MON MO ON ， 二面角MEFN的余弦值为 33 33 12 分 法 2： （）同法1；5 分 （）设 AB=4, 建立如图所示的直角坐标系，则(0,0, 4)P，(4,4,0)C，(4,2,0)E，(2,4,0)F，M(0 ， 0，2) ，(4,4,2)N(4,4,4)PC，( 2,2,0)EF， 则 (0,2,2)EN ，设平面NEF的法向量为 (
8、 , , )mx y z ， 则 0 0 m EN m EF ，即 220 220 yz xy ，令1x， 则1y，1z，即(1,1, 1)m， 同理可求平面MEF 一个法向量(1,1,3)n，9 分 1 1333 cos, 33 311 m n ， 二面角 MEFN 的余弦值为 33 - 33 12 分 19. (本小题满分12 分) 已知数列 n a的前n项和 (1) 2 n n na S，且1 1a （）求数列 n a的通项公式； （）令ln nn ba，是否存在k(2,)kkN，使得 k b、 1k b 、2k b 成等比数列 若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由 z
9、y x N M O P F E D C B A 命题意图：数列综合应用，中档题 （）解法1：当2n时， 1 1 1 22 nn nnn na na aSS， 1 分 即 1 1 nn aa nn 2n 3 分 所以数列 n a n 是首项为 1 1 1 a 的常数列4 分 所以1 n a n ，即n ann * N 所以数列 n a的通项公式为 n an n * N6 分 解法 2：当2n时， 1 1 1 22 n n nnn na na aSS，1 分 即 1 1 n n an an 2n3 分 132 1 1221 132 1 1221 nn n nn aaaann aan aaaann
10、4分 因为 1 1a，符合 n a的表达式5 分 所以数列 n a的通项公式为 n ann * N 6 分 （）假设存在k (2,)kkN ，使得 k b 、1k b、 2k b成等比数列， 则 2kk b b 2 1k b 7 分 因为lnln nn ban2n， 所以 2 2 2 +2 lnln(k2)ln(k2 ) =lnln(k2) 22 kk kk b bk10 分 2 2 2 1 ln(k 1) 2 k b. 11 分 这与 2 21kkk b bb矛盾 故不存在k (2,)kkN ，使得 +1+2kkk bbb、 成等比数列12 分 20. (本小题满分13 分) 已知椭圆 22
11、 2 1(3) 3 xy a a 的左、右顶点分别为A , B ，右焦点为( ,0)F c，点 P 是椭圆 C 上异于 A ， B 的动点，过点B 作椭圆 C 的切线l，直线 AP 与直线l的交点为 D ，且当 |2 2BDc时，|=|AFDF. （）求椭圆C 的方程； （）当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并证明你的结论 命题意图：圆锥曲线与圆综合应用 难题 解： （）依题可知(,0)Aa、 ,22D ac ， 1 分 由| |AFFD，得， 2 2 8acacc ， 2 分 化简得2ac，由 22 3ac得 2 4a 4 分 故所求椭圆 C的方程是 22 1
12、43 xy . 5 分 （）由（）知2,0 ,2,0AB, 在点 B 处的切线方程为2x. 以BD为直径的圆与直线PF相切 证明如下：由题意可知直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为(2)yk x(0)k. 则点D坐标为(2, 4 )k，BD中点E的坐标为(2, 2 )k6 分 由 22 (2), 1 43 yk x xy 得 设点P的坐标为 00 (,)xy，则 2 0 2 1612 2 34 k x k 8 分 所以 2 0 2 68 34 k x k ， 00 2 12 (2) 34 k yk x k 因为点F坐标为(1, 0)， （1）当 1 2 k时，点P的坐标为 3 (1,) 2
13、，直线 PF 的方程为1x， 点D的坐标为(2,2). 此时以BD为直径的圆 22 (2)(1)1xy与直线PF相切9 分 （2）当 1 2 k时，直线PF的斜率 0 2 0 4 114 PF yk k xk . 所以直线PF的方程为 2 4 (1) 14 k yx k ,即 2 14 10 4 k xy k 11 分 故点E到直线PF的距离 22 22 22 1414 |221| 42 | 2| 1414 1()() 44 kk k k dk kk kk 综上得，当点P 运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切13 分 21. (本小题满分14 分) 已知函数( )ln a f xxax x
14、，其中 a 为常数 （）若( )f x的图像在1x处的切线经过点（3,4） ，求a的值； （）若 01a ，求证： 2 ()0 2 a f； （）当函数( )f x存在三个不同的零点时，求a的取值范围 命题意图：函数与导数综合应用 难题 解： （） 2 11 ( )(1)fxa xx (1)12fa 2 分 O F E P D BA y x 4(1) (1)2 31 f f又 1 122 2 aa4 分 （） 2233 22 ()ln2lnln 2 2222 aaaa fa aa ，令 3 2 ( )2lnxln 2 2 x g x x ，则 24 22 22334(1) ( ) 22 xxx
15、 g x xxx 7 分 (0,1x）时，( )0,( )gxg x单调递减， 故(0,1x）时， 1 ( )(1)2ln 20 2 g xg， 当 01a 时， 2 ()0 2 a f9 分 （） 2 22 11 ( )(1) axxa fxa xxx 00( )0,( )afxf x当时，在（，）上，递增， ( )f x至多只有一个零点，不合题意；10 分 1 0( )0,( ) 2 afxf x当时，在（ ，）上，递减， ( )f x至多只有一个零点，不合题意；11 分 1 0( )0, 2 afx当时，令得 22 12 114114 1,1 22 aa xx aa 此时，( )f x在 1 (0,)x上递减， 12 (,)xx上递增， 2 (,)x上递减， 所以，( )f x至多有三个零点。因为( )f x在 1 (,1)x 递 增 ， 所 以 1 ()(1)0f xf ， 又 因 为 2 ()0 2 a f， 所 以 2 01 (,) 2 a xx， 使 得 0 ()0f x ， 又 0 0 1 ()()0 ,( 1)0ffxf x ，所以恰有三个不同零点： 0, 0 1 1,x x ，所以函数( )f x存在三个不同的零点时，a 的取值范围是 1 (0,) 2 。14 分
