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1、1,第四章 函数,4-1 函数的概念 授课人：李朔 Email:,2,函数是一个基本的数学概念，在通常的函数定义中，y=f(x)是在实数集合上讨论，我们这里把函数概念予以推广，把函数看作是一种特殊的二元关系。 可以把函数看作输入输出关系，它把一个集合（输入集合）的元素变成另一个集合（输出集合）的元素。 例如，计算机中的程序，可以把一定范围内的任一组数据（输入数据）变化成另一组数据（输出数据），它就是一个函数。,3,一函数,函数也称作映射，它是一种特殊的二元关系，以前讨论的集合和关系的有关运算和性质对函数完全适用。 定义4.1.1 设X, Y为两个集，f为X到Y的一个关系。若对于每一个xX，有唯
2、一的yY，使得f，称关系f为函数，记作 f: XY 或 假如f，则x称为自变元，y称为在f作用下x的象，f 也可记作 y=f(x) 由所有xX的象构成的象集合称为函数的值域ran f，即 ran f=f(X)=f(x)|xXY,4,一函数,函数的定义可以知道它与关系有别于以下两点。 a. 函数定义域是X，而不是X的某个真子集。即任意xX都有象yY存在（象存在性）。 b.一个xX只能对应于唯一的一个y。即如果f(x)=y且f(x)=z，则y=z。 （象唯一性） *通常把函数f看成一个映射规则，它把X的每一个元素变换为Y的一个元素，因而从X到Y的函数也叫从X到Y的映射。,5,一函数,f的前域即为定
3、义域，记domf =X f的值域：ranf Y,有时也记为Rf(= y|( x)(x X) (y=f(x) 集合Y称为f的共域，ranf也称为函数的象集合。 例如：X=x1,x2,x3,Y=y1,y2 f1 = , , 是函数， 而f2 = , , , 不是函数。,6,思考,关系图中的关系是函数吗?,7,例1 设X=1，5，p，张明，Y=2，q，7，9，G，f=， 即：f(1)=2，f(5)=q，f(p)=7，f(张明)=G， 故：dom f=X,Rf=2，q，7，G 例2 设A是房子的集合，B是不同颜色油漆的集合，那么，油漆房子的一种颜色的分配方案是A到B的一个函数， 即f：AB 其中dom
4、 f=A,ran f B。,8,例3：判定下列关系哪个能构成函数 1）f = x1, x2N, 且x1+x2 y1, y2R, 且y22= y1 3）f = x1, x2N, x2为小于x1素数个数 答案： 1）因为x1不能取定义域中所有的值，且x1对应很多x2，故这个关系不能构成函数。（违反象存在性与象唯一性） 2）因为一个y1对应两个y2，故也不是函数。（违反象唯一性） 3）可以构成函数。,9,一函数,函数是序偶的集合，但XY的子集并不能都为函数。 例：X=a, b, c, Y=0, 1而XY有26个不同子集，但其中仅有23个可以构成函数，即： f0 = , , f1 = , , f2 =
5、, , f3 = , , f4 = , , f5 = , , f6 = , , f7 = , , ,由函数定义可知，X Y的子集并不能都成为X到Y的函数。 一般来说，若X = m，Y = n, m, n 不为0，则从X到Y共有nm个不同函数，今后把从X到Y的所有函数的集合记成YX。读作Y上X。甚至当X和Y是无限集时，也用这个符号。,10,一函数,因为函数是序偶的集合，故两个函数相等可用集合相等的概念予以定义 P148 定义4-1.2 设函数f: AB，g: AB，如果A=C，B=D，且对于所有xA和xC有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记作f=g。 下面讨论函数的几类特殊情况：,11,
6、定义4-1.3 设f: XY，如果ranf =Y，即Y中每个元都是X中一个或多个元素的象点，则f称为满射（或到上映射）。 例如，A=a,b,c,d,B=1,2,3,如果f ：AB为 f (a)=1，f (b)=1，f (c)=3，f (d)=2 则f 是满射的。,12,一函数,定义4-1.4 设f: XY，若对于任何x1, x2X, x1 x2，都有f (x1) f (x2)，则称f为入射（单射或一对一映射）。（即X中没有两个元素有相同的象） 该定义等价于：若有f (x1) = f (x2)，则x1= x2 例如，函数f ：a,b2,4,6为 f (a)=2，f (b)=6，则这个函数是入射，
7、但不是满射。,13,一函数,定义4-1.5 设f: XY，若f既是满射又是入射，则称f为双射，（或一一对应映射）。 例如，令a,b表示实数的闭区间，即a,b=x | a x b, 令f：0,1 a,b，这里f(x)=(ba)xa， 这个函数是双射的。,14,15,一函数,例：下列函数是单射、满射？ （1） f: 1, 20, f (1) = f (2) = 0 则f为满射，但非单射。 （2）f : NN, f (x) = 2x, 是单射，但不满。 （3）f : ZZ, f (x) = x+1 是双射。 例：分别确定以下各题中的f是否为从A到B的函数，若是，指出是否为满射、入射、双射，若不是，说
8、明理由。 1）A1, 2, 3, 4, 5, B=6, 7, 8, 9, 10 f = , , , , ,（是函数，不是单射，因f (3) = f (5) = 9，也不满7ranf ）,16,一函数,2）A，B同1） f = , , , 3）A，B同1） f = , , , , ， 4）A，B为实数集R f (x) = x2-x 5）A，B为R f (x) = x3,（不是函数，因domf = 1, 2, 3, 4A）,（不是函数，1domf 对应7，9）,（是，不是入射，f (0) = f (1) = 0, 不是满射 ）,（双射）,17,一函数,6）A，B为R， 7）A，B为实数集R， 8）
9、A，B为正整数集，f (x) = x+1 9）A，B为正整数集,（不是函数，domf = 0, + R）,（不是函数，因为0domf ）,（是函数，f是单射，但不满, 1ranf）,（是，f是满射，但不单，f (1) = f (2) =1 ）,18,一函数,若：f: AB且存在yB，使对所有xA都有f (x) = y， 称f: AB为常函数。 A上的恒等关系IA为A上的恒等函数。,19,一函数,P150 定理4-1.1 若X，Y为有限集，且X和Y的元素个数相同，即X=Y，则f: XY是入射的当且仅当f是满射。 证明： 若f是入射，则 f (X) = X = Y，又f (X)Y，且Y有限， 故f (X)=Y，即f是满射的。 反之，若f是满射的，则f(X)=Y于是X = Y = f (X) 即X = f (X) ，且因X有限故为入射。 *定理对无限集并不成立。 例：f是整数集I到I的函数f(x)=2x，显然这是入射，但非满射。,20,本课小结,函数 映射 满射 入射 双射,21,作业,P151 （1）,
