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1、1,图论,2,图论部分,第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树,3,第5章 图的基本概念,5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色,4,5.1 无向图及有向图,无向图与有向图 顶点的度数 握手定理 简单图 完全图 子图 补图,5,无向图,多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: AB=(x,y) | xAyB 定义 无向图G=, 其中 (1) 顶点集V是非空有穷集合, 其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集， 其元素称为无向边，简称边. 例如, G=, 其中 V=v1, v2, ,v5, E=(v
2、1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5),6,有向图,定义 有向图D=, 其中 (1)顶点集V是非空有穷集合, 其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集，其 元素称为有向边，简称边. D的基图:用无向边代替有向边 如D=, 其中 V=a,b,c,d E=, 图的数学定义与图形表示,在同构意义下一一对应,7,无向图与有向图(续),通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图. V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集. n 阶图: n个顶点的图 零图: E= 平
3、凡图: 1 阶零图 空图: V=,8,顶点和边的关联与相邻,定义 设e=(u,v)是无向图G=的一条边, 称u,v为e的端点, e与u ( v)关联. 若u v, 则称e与u ( v)的关联次数为1;若u=v, 则 称e为环, 此时称e与u 的关联次数为2; 若w不是e端点, 则称e与 w 的关联次数为0. 无边关联的顶点称作孤立点. 定义 设无向图G=, u,vV, e,eE, 若(u,v) E, 则称u,v 相邻; 若e,e至少有一个公共端点, 则称e,e相邻. 对有向图有类似定义. 设e=u,v是有向图的一条边,又称u是e 的始点, v是e的终点, u邻接到v, v邻接于u.,9,顶点的
4、度数,设G=为无向图, vV, v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G的最大度(G)=maxd(v)| vV G的最小度(G)=mind(v)| vV 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, (G)=4, (G)=1, v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环,10,顶点的度数(续),设D=为有向图, vV, v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和 v的入度d(v): v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v) D的最大出度
5、+(D) =maxd+(v)|vV 最小出度+(D) =mind+(v)|vV 最大入度(D) =maxd(v)|vV 最小入度(D) =mind(v)|vV 最大度(D) =maxd(v)|vV 最小度(D) =mind(v)|vV,11,例,例 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3, +(D)=4, +(D)=0, (D)=3, (D)=1, (D)=5, (D)=3.,12,图论基本定理握手定理,定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数. 证 G中每条边（
6、包括环）均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m条边共提供2m度. 有向图的每条边提供一个入度和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数. 推论 任意无向图和有向图的奇度顶点个数必为偶数.,13,图的度数列,设无向图G的顶点集V=v1, v2, , vn G的度数列: d(v1), d(v2), , d(vn) 如右图度数列:4,4,2,1,3 设有向图D的顶点集V=v1, v2, , vn D的度数列: d(v1), d(v2), , d(vn) D的出度列: d+(v1), d+(v2), , d+(vn) D的入度列: d(v1), d(v2), ,
7、d(vn) 如右图度数列:5,3,3,3 出度列:4,0,2,1 入度列:1,3,1,2,14,握手定理的应用,例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数列吗?,解 不可能. 它们都有奇数个奇数.,例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点?,解 设G有n个顶点. 由握手定理, 43+2(n-4)210 解得 n8,15,握手定理的应用(续),例3 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的多面体.,证 用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G=, 其中V=v | v为多面体的面, E=(u,v) | u,vV
8、 u与v有公共的棱 uv. 根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握 手定理的推论矛盾.,16,多重图与简单图,定义 (1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的条数称为重数. (2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数. (3) 含平行边的图称为多重图. (4) 既无平行边也无环的图称为简单图. 注意:简单图是极其重要的概念,17,实例,e5和e6 是平行边 重数为2 不是简单图,e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7 不是平行边 不是简单
9、图,18,图的同构,定义 设G1=, G2=为两个无向图(有 向图), 若存在双射函数 f: V1V2, 使得对于任意的 vi,vjV1, (vi,vj)E1（E1）当且仅当 (f(vi),f(vj)E2（E2）， 并且, (vi,vj)（）与 (f(vi),f(vj)（） 的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.,19,同构实例,彼得森图,例1 证明下述2对图是同构的,20,同构实例(续),例2 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图 例3 判断下述每一对图是否同构: (1),度数列不同 不同构,21,同构实例(续),(2) (3),不同构 入(出)度列不同,不同构(左边没有三角
10、形,右边有三角形) 注意:度数列相同,(1) (2),22,图的同构(续),几点说明： 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性. 能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件: 边数相同，顶点数相同 度数列相同(不计度数的顺序) 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构 至今没有找到判断两个图同构的多项式时间算法,23,完全图,n阶无向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图. 简单性质: 边数m=n(n-1)/2, =n-1 n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图. 简单性质: 边数m=n(n-1), =2
11、(n-1), +=+=-=-=n-1,K5,3阶有向完全图,24,子图,定义 设G=, G =是两个图 (1) 若V V且E E, 则称G 为G的子图, G为G 的 母图, 记作G G (2) 若G G 且V =V，则称G 为G的生成子图 (3) 若V V 或E E，称G 为G的真子图 (4) 设V V 且V , 以V 为顶点集, 以两端点都在 V 中的所有边为边集的G的子图称作V 的导 出子图，记作 GV (5) 设E E且E , 以E 为边集, 以E 中边关联的 所有顶点为顶点集的G的子图称作E 的导出子 图, 记作 GE ,25,生成子图实例,K4的所有非同构的生成子图,26,导出子图实例,G,D,Gv1,v2,Ge1,e3,e4,De1,e3,Dv1,v2,27,补图,定义 设G=为n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作 . 若G , 则称G是自补图. 例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对子图, 并指出哪些是自补图.,
