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1、1,推理与证明,2,由某类事物的 具有某些特征, 推出该类事物的 都具有这些特征 的推理,或者由 概括出 的推理,称为归纳推理(简称归纳).,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,归纳推理,具体的材料,观察分析,猜想出一般性的结论,归纳推理的过程：,归纳推理的结论不一定正确,3,例2 已知数列an中,a1=-2/3 ,其前n项和Sn满足： (n2), 计算S1, S2, S3, S4, 猜想 Sn , 并证明.,ak+1=Sk+1-Sk,解：S1=a1=-2/3, S2=-3/4, S3=-4/5, S4=-5/6.,猜想Sn= .,证明：1）n=1时由前可知，公式成立。,2）假设当n=k(
2、kN)时有： Sk=,当n=k+1时：,=Sk+1+ +2,当n=k+1时公式仍成立,由1）、2）可知,对一切nN公式均成立。,4,观察、比较,猜想新结论,联想、类推,类比推理的一般模式:,A 事物具有性质a,b,c,d,B 事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同）,所以B事物可能具有性质d.,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.,类比推理：,类比推理是由特殊到特殊的推理.,5,练习：,从而猜想：,6,推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理,即演绎推理是由一般到特殊的推理。,
3、归纳推理,是从特殊到一般的推理,类比推理,是从特殊到特殊的推理,一切奇数都不能被2整除,一般性的原理,特殊情况,结论,因为(2100+1)是奇数,所以2100+1不能被2整除.,大前提,小前提,7,分析：考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间.,”,解：平面类比到空间:,“在三棱锥P-ABC中,三个侧面PAB, PBC, PCA两两垂直,有如下猜想且与底面所成的角分别为,，则,8,从而PCPM，又PMC=，,证明：设P在平面ABC的射影为O，,延长CO交AB于M，记PO=h，,由PCPA,PCPB得PC平面PAB，,9,1.综合法 一般的，利用已知条件和
4、某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：,直接证明和间接证明,10,2.分析法 一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法. 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：QP1 P1 P2P2 P3 得到一个明显成立的条件,11,3.反证法 (1)定义：一般的，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因
5、此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. (2)用反证法导出的矛盾主要有： 与假设矛盾； 与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾； 与公认的简单事实矛盾.,12,1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的( ),A,A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件,分析法是执果索因，允许原因能推出结论即可，并不一定需要充要条件，故必须为充分条件.,练习,13,2.若a,bR,且ab，有下列四个式子 a2+ab2b2; a5+b5a3b2+a2b3; a2+b22(a-b-1); + 2. 其中一定成立的有( ),D,A.4个 B.3个 C.
6、2个 D.1个,因为a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20, 所以a2+b22a-2b-2,一定成立， 均可找到反例.,14,3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是( ),B,A.假设三内角都不大于60 B.假设三内角都大于60 C.假设三内角至多有一个大于60 D.假设三内角至多有两个大于60,“至少有一个不大于的否定”为“都大于”.,15,4.设a= ,b= - ,c= - ,则a,b,c的大小 关系是 .,acb,因为b= - = , c= - = ,所以bc， 又a= = ，,也可用分析法.,所以ac，故acb.,16,题型一 用综
7、合法证明,已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边AB的中点，并且PA=PB=PC，求证：PO平面ABC.,要证明PO平面ABC，也就是要证明PO垂直于平面ABC内的两条相交直线.,17,连接OC,OP，如图所示， 因为AB是RtABC的斜边，O是AB的中点， 所以OA=OB=OC. 又因为PA=PB=PC， 所以POAPOBPOC, 所以POA=POB=POC. 因为POA+POB=180,所以POA=POB=90,所以POC=90. 即POOA，POOC，所以PO平面ABC.,18,综合法证明立体几何问题，以立体几何的公理、定理、定义为基础，以递推的性质为依据进行推理论证，因此
8、，关键是找到与要证结论相匹配的公理、定理、判定定理及其性质.同时综合法必须保证前提是正确的，推理形式合乎逻辑，才能保证结论成立.,19,已知a0,b0，且a+b=1，试用分析法证明不等式(a+ )(b+ ) .,题型二 用分析法证明,例2,题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明问题的步骤即可.,20,要证(a+ )(b+ ) , 只需证ab+ , 只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40, 只需证4(ab)2-8ab-25ab+80, 只需证4(ab)2-33ab+80,即证ab8或ab , 由a+b=1,只需证ab , 而由1=a+b2 ，所以ab 显然成立， 所
9、以原不等式(a+ )(b+ ) 成立.,21,分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件(不一定是充要)，直到最后，把要证明的结论归结到判定一个明显成立的条件为止，这种证法也是直接证法中一种常用的方法，特别是当从已知条件推证要证的结论有困难时，往往采用分析法.,22,题型三 用反证法证明,例3,已知a,b,cR,a+b+c0,ab+bc+ac0, abc0.利用反证法证明： .,a0,b0,c0,假设a,b,c不同时为正数，不妨先考虑a不是正数，从而有a=0和a0矛盾， 故a=0不可能; 若a0,所以bc0.,23,又因为a+b+c0,所以b+c-a0, 所以ab+bc+ac=a(
10、b+c)+bc0矛盾,所以a0成立. 同理可知b0,c0成立. 所以原命题得证.,24,反证法证明问题的一般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，也就是假设在已知条件下，存在与要证明的结论相反的情形；(2)归谬：由反设出发，结合已知条件，通过正确的逻辑推理，推得矛盾；(3)存真：由所得的矛盾断言反设不真，从而肯定原命题的正确性.,25,在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 + = ,试问：A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由；若成等差数列，请给出证明.,26,A，B，C成等差数列，下面用综合法给出证明. 因为 + = ,所 + =3, 所以 + =1， 所以c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)， 所以b2=a2+c2-ac. 在ABC中,由余弦定理,得cosB= = = . 因为0B180，所以B=60， 所以A+C=2B=120,所以A、B、C成等差数列.,
